2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程课时分层作业含解析北师大版必修2_第1页
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PAGE1-课时分层作业(十九)圆的标准方程(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点P(3,2)和圆的方程(x-2)2+(y-3)2=4,则它们的位置关系为()A.在圆心 B.在圆上C.在圆内 D.在圆外C[∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.]2.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于()A.eq\f(6,5) B.eq\f(8,5)C.eq\f(24,5) D.eq\f(26,5)B[C(-4,3),则d=eq\f(|-16+9-1|,\r(42+32))=eq\f(8,5).]3.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5A[(x+2)2+y2=5的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以关于原点的对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.]4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0D[圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.]5.过点C(-1,1)和点D(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=10 B.x2+(y+2)2=10C.(x+2)2+y2=10 D.(x-2)2+y2=10D[∵圆心在x轴上,∴可设方程为(x-a)2+y2=r2.由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1-a2+1=r2,,1-a2+9=r2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,r=\r(10),))故方程为(x-2)2+y2=10.]二、填空题6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为______.x2+(y-2)2=1[设圆心坐标为(0,b),则由题意知eq\r(0-12+b-22)=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.]7.点(a,a)在圆(x-1)2+(y+2)2=2a2的内部,则aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(5,2)))[由(a-1)2+(a+2)2<2a2得a<-eq\f(5,2).]8.以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程是________.(x-4)2+(y-1)2=5[设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-a2+2-b2=r2,,5-a2+3-b2=r2,,3-a2+-1-b2=r2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=4,,b=1,,r2=5,))即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.]三、解答题9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上,求半径a;(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的范围.[解](1)因为点M(6,9)在圆上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10.又a>0,所以a=eq\r(10).(2)因为|PN|=eq\r(3-52+3-62)=eq\r(13),|QN|=eq\r(5-52+3-62)=3,所以|PN|>|QN|,故点P在圆外,点Q在圆内,所以3<a<eq\r(13).10.已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的标准方程.[解]法一:由圆心在直线2x-y-7=0上,可设圆心坐标为(a,2a由题意得圆心到两点A,B的距离相等,即a2+(2a-3)2=a2+(2a-5)2,解得所以圆心坐标为(2,-3),圆的半径长r=eq\r(2-02+-3+42)=eq\r(5),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则由条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0-a2+-4-b2=r2,,0-a2+-2-b2=r2,,2a-b-7=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=-3,,r=\r(5),))所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.1.当a为随意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,eq\r(5)为半径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5C[直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1=0,,-x-y+1=0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-1,,y=2,))∴C(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.]2.圆心在直线2x-y=3上,且与两坐标轴相切的圆的标准方程为()A.(x-3)2+(y-3)2=9B.(x-1)2+(y+1)2=1C.(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1D.不存在C[设圆心为C(a,b),则|a|=|b|,∵圆心在2x-y=3上,∴当a=b时,代入得a=b=3,圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.当a=-b时,同理得a=1,b=-1,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1.]3.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是________.(x-2)2+(y-4)2=20[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+2=0,,2x+y-8=0,))可得x=2,y=4,即圆心为(2,4),从而r=eq\r(2-02+4-02)=2eq\r(5),故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.]4.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.1+eq\r(2)[圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1).圆心到直线x-y=2的距离为d=eq\f(|1-1-2|,\r(1+1))=eq\r(2).所以圆心到直线x-y=2的距离的最大值为d+r=1+eq\r(2).]5.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程;(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.[解](1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以AD边所在直线的斜率为-3.又点T(-1,1)在AD边所在直线上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由eq\b\lc\

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