2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE1-课时分层作业(十九)圆的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为()A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外C[∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点P在圆内．]2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于()A.eq\f(6,5) B.eq\f(8,5)C.eq\f(24,5) D.eq\f(26,5)B[C(－4,3)，则d＝eq\f(|－16＋9－1|,\r(42＋32))＝eq\f(8,5).]3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5A[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.]4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]5．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10D[∵圆心在x轴上，∴可设方程为(x－a)2＋y2＝r2.由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－a2＋1＝r2，,1－a2＋9＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r＝\r(10)，))故方程为(x－2)2＋y2＝10.]二、填空题6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为______．x2＋(y－2)2＝1[设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.]7．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))[由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2得a＜－eq\f(5,2).]8．以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程是________．(x－4)2＋(y－1)2＝5[设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋2－b2＝r2，,5－a2＋3－b2＝r2，,3－a2＋－1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，,r2＝5，))即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.]三、解答题9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．[解](1)因为点M(6,9)在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，所以a＝eq\r(10).(2)因为|PN|＝eq\r(3－52＋3－62)＝eq\r(13)，|QN|＝eq\r(5－52＋3－62)＝3，所以|PN|＞|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，所以3＜a＜eq\r(13).10．已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程．[解]法一：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a由题意得圆心到两点A，B的距离相等，即a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r＝eq\r(2－02＋－3＋42)＝eq\r(5)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则由条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋－4－b2＝r2，,0－a2＋－2－b2＝r2，,2a－b－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3，,r＝\r(5)，))所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.1．当a为随意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5C[直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,－x－y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.]2．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为()A．(x－3)2＋(y－3)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x－1)2＋(y＋1)2＝1D．不存在C[设圆心为C(a，b)，则|a|＝|b|，∵圆心在2x－y＝3上，∴当a＝b时，代入得a＝b＝3，圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.当a＝－b时，同理得a＝1，b＝－1，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.]3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．(x－2)2＋(y－4)2＝20[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝eq\r(2－02＋4－02)＝2eq\r(5)，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.]4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．1＋eq\r(2)[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)．圆心到直线x－y＝2的距离为d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).所以圆心到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋r＝1＋eq\r(2).]5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．[解](1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为－3.又点T(－1,1)在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由eq\b\lc\