2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法练习新人教A版选修2-2

PAGEPAGE1§2.2.2反证法[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，干脆写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.答案A2．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角解析“最多有一个”的反设是“至少有两个”．答案C3．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交解析易知直线a，l共面且b，l共面，假设a，b都不与l相交，则a∥l，且b∥l，∴a∥b，这与a，b是异面直线冲突，故a，b至少有一条与直线l相交，故选B.答案B4．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.其中真命题的个数为A．1 B．2C．3 D．4解析易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)与条件冲突，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．故选D.答案D5．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值A．△A1B1C1和△A2B2CB．△A1B1C1和△A2B2CC．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2CD．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C解析因为正弦值在(0，π)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°冲突，所以原假设不成立．故选D.答案D6．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1，(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是A．0 B．1C．2 D．无穷多解析假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n，使得an＝bn，但若a＞b，n∈N＋，恒有a·n＞b·n，从而an＋2＞bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案a，b不全为08．用反证法证明：“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个角是直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确依次为________．解析由反证法的证题步骤：“反设—归谬—结论”可知上述步骤的正确依次为③①②.答案③①②9．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________．解析必要性明显成立；“PQR＞0”包括P，Q，R同时大于零或其中有两个为负两种状况．假设P，Q分别小于零，则2b＜0，这与b为正实数冲突，同理，P，R同时小于零或Q，R小于零的状况亦得到冲突，故P，Q，R同时大于零．答案充分必要条件三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：eq\f(1＋x,y)<2与eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．证明假设eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，则有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同时成立．因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y>2冲突．故eq\f(1＋x,y)<2与eq\f(1＋y,x)<2至少有一个成立．11．(12分)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.证明假设a＜0，由abc＞0得bc＜0，由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知冲突．又若a＝0，则abc＝0，与abc＞0冲突，故a＞0，同理可证b＞0，c＞0.12．(13分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且