2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法练习新人教A版选修2-2_第1页
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PAGEPAGE1§2.2.2反证法[限时50分钟,满分80分]一、选择题(每小题5分,共30分)1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,干脆写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故应选A.答案A2.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角解析“最多有一个”的反设是“至少有两个”.答案C3.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则A.a,b都与l相交B.a,b中至少有一条与l相交C.a,b中至多有一条与l相交D.a,b都不与l相交解析易知直线a,l共面且b,l共面,假设a,b都不与l相交,则a∥l,且b∥l,∴a∥b,这与a,b是异面直线冲突,故a,b至少有一条与直线l相交,故选B.答案B4.已知f(x)是R上的增函数,a,b∈R,下列四个命题:①若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);②若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0;③若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b);④若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0.其中真命题的个数为A.1 B.2C.3 D.4解析易知①③正确.②用反证法:假设a+b<0,则a<-b,b<-a,∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)与条件冲突,故a+b≥0,从而②为真命题,④类似于②用反证法.故选D.答案D5.假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值A.△A1B1C1和△A2B2CB.△A1B1C1和△A2B2CC.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2CD.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C解析因为正弦值在(0,π)内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形.假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cosA1=sinA2,则cosA1=cos(90°-∠A2),所以∠A1=90°-∠A2.同理设cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,则有∠B1=90°-∠B2,∠C1=90°-∠C2.又∠A1+∠B1+∠C1=180°,∴(90°-∠A2)+(90°-∠B2)+(90°-∠C2)=180°,即∠A2+∠B2+∠C2=90°.这与三角形内角和等于180°冲突,所以原假设不成立.故选D.答案D6.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为:an=an+2,bn=bn+1,(a,b是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是A.0 B.1C.2 D.无穷多解析假设存在序号和数值均相等的两项,即存在n,使得an=bn,但若a>b,n∈N+,恒有a·n>b·n,从而an+2>bn+1恒成立.∴不存在n,使得an=bn.答案A二、填空题(每小题5分,共15分)7.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”,其反设为________.解析“a,b全为0”即是“a=0且b=0”,因此它的反设为“a≠0或b≠0”.答案a,b不全为08.用反证法证明:“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°冲突,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC中有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确依次为________.解析由反证法的证题步骤:“反设—归谬—结论”可知上述步骤的正确依次为③①②.答案③①②9.设a,b,c均为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的________.解析必要性明显成立;“PQR>0”包括P,Q,R同时大于零或其中有两个为负两种状况.假设P,Q分别小于零,则2b<0,这与b为正实数冲突,同理,P,R同时小于零或Q,R小于零的状况亦得到冲突,故P,Q,R同时大于零.答案充分必要条件三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(10分)若x,y都是正实数,且x+y>2,求证:eq\f(1+x,y)<2与eq\f(1+y,x)<2中至少有一个成立.证明假设eq\f(1+x,y)<2和eq\f(1+y,x)<2都不成立,则有eq\f(1+x,y)≥2和eq\f(1+y,x)≥2同时成立.因为x>0且y>0,所以1+x≥2y且1+y≥2x,两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2.这与已知x+y>2冲突.故eq\f(1+x,y)<2与eq\f(1+y,x)<2至少有一个成立.11.(12分)已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.证明假设a<0,由abc>0得bc<0,由a+b+c>0,得b+c>-a>0,于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,这与已知冲突.又若a=0,则abc=0,与abc>0冲突,故a>0,同理可证b>0,c>0.12.(13分)已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且

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