2024-2025学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布11.4离散型随机变量的分布列均值与方差理

PAGEPAGE1考点11.4离散型随机变量的分布列、均值与方差考点梳理考点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果改变而改变的变量称为随机变量．全部取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布假如随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X听从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为胜利概率．3．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．4．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)5．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)，即X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.假如一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X听从超几何分布．真题演练真题演练1．（2024•浙江）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P111则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大 B．D（X）减小 C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大【答案】D【解析】E（X）＝0×13+a×D（X）＝（a+13）2×13+（a-a+13）2=127[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]=29（a2﹣a+1）=29∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选D．2．（2024•浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1-p1p则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是E（ξ）＝0×1-p2+1×12方差是D（ξ）=＝﹣p2+p+=-(p-∴p∈（0，12）时，Dp∈（12，1）时，D∴D（ξ）先增大后减小．故选D．3．（2024•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，DX＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝（）A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事务，满意X～B（10，p），P（x＝4）＜P（X＝6），可得C104p4(1-p)因为DX＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．故选B．4．（2024•浙江）已知随机变量ξi满意P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2＜1A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【答案】A【解析】∵随机变量ξi满意P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2，…，0＜p1＜p2＜1∴12＜1﹣p2＜1﹣pE（ξ1）＝1×p1+0×（1﹣p1）＝p1，E（ξ2）＝1×p2+0×（1﹣p2）＝p2，D（ξ1）＝（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=pD（ξ2）＝（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=pD（ξ1）﹣D（ξ2）＝p1﹣p12﹣（p2-p22）＝（p2﹣p1）（p∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选A．5．（2024•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝__________，E（ξ）＝__________．【答案】13【解析】由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P（ξ＝0）=CP（ξ＝1）=CP（ξ＝2）=A所以E（ξ）＝0×13+1×故答案为：136．（2024•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝__________．【答案】1.96【解析】由题意可知，该事务满意独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，则DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案为：1.96．7．（2024•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn﹣1+qn﹣1的递推关系式和Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．【解析】（1）由题意可知：p1=13，q1=23，则q2=2（2）由题意可知：pn+1qn+1两式相加可得2pn+1+qn+1=2则：2pn+qn=1所以，2pn+qn﹣1=1因为2p1+q1-1=13，数列{2pn所以2pn+qn﹣1=(1即2pn+qn=(1所以E（Xn）＝2pn+qn+0×（1﹣pn﹣qn）=(18．（2024•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校状况互不影响，且任一同学每天到校状况（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事务“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事务M发生的概率．【解析】（I）甲上学期间的三天中到校状况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23故X～B（3，23从而P（X＝k）=C3k所以，随机变量X的分布列为：X0123P1248随机变量X的期望E（X）＝3×2（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，23且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）=9．（2024•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅运用A18人9人3人仅运用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率；（Ⅱ）从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变．现从样本仅运用A的学生中，随机抽查3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元．依据抽查结果，能否认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．【解析】（Ⅰ）由题意得：从全校全部学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不运用的有5人，仅运用A的有30人，仅运用B的有25人，∴A，B两种支付方式都运用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率p=40（Ⅱ）从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅运用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅运用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0）=18P（X＝1）=18P（X＝2）=12∴X的分布列为：X012P6136数学期望E（X）=0×6（Ⅲ）不能认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变，理由如下：从样本仅运用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p=C虽然概率较小，但发生的可能性为14060故不能认为认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变．10．（2024•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务A发生的概率．【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=k)=C4k所以随机变量的分布列为：X0123P112184随机变量X的数学期望E（X）=0×1（ii）设A为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，设事务B为：抽取的3人中，睡眠足够的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事务C为抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）=6所以事务A发生的概率：6711．（2024•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设全部电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜爱．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜爱（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【解析】（Ⅰ）设事务A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部，第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25＝50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P（A）=50（Ⅱ）设事务B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25＝50部，第五类获得好评的有：800×0.2＝160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）=50×(800-160)+(200-50)×160（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=0，第k类电影没有得到人们喜欢则ξk听从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：ξ110P0.40.6E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．其次类电影：ξ210P0.20.8E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第三类电影：ξ310P0.150.85E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．第四类电影：ξ410P0.250.75E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．第五类电影：ξ510P0.20.8E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第六类电影：ξ610P0.10.9E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．12．（2024•天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【解析】（Ⅰ）随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3；则P（X＝0）＝（1-12）×（1-13）（1P（X＝1）=12×（1-13）×（1-14）+（1-12）×P（X＝2）＝（1-12）×13×14+1P（X＝3）=1所以，随机变量X的分布列为X0123P11111随机变量X的数学期望为E（X）＝0×14+1×1124（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示其次辆车遇到红灯的个数，则所求事务的概率为P（Y+Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）+P（Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0）•P（Z＝1）+P（Y＝1）•P（Z＝0）==11所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为114813．（2024•山东）在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意．（Ⅰ）求接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【解析】（I）记接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事务为M，则P（M）=C（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=CP（X＝4）=C∴X的分布列为X01234P151051X的数学期望EX＝0×142+1×521+214．（2024•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k＝1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最终一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜n【解析】（1）设事务Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p＝p（A2）＝P（A2|A1）P（A1）+P（A2|A1）P（A==n证明：（2）∵X的全部可能取值为1n，1P（x=1k）=Ck-1n-1Cm+nn，k＝n，∴E（X）=k=nn+m（1==1(n-1)C=1∴E（X）＜n15．（2024•新课标Ⅲ）某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X＝200）=2+16P（X＝300）=36P（X＝500）=25+7+4∴X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n﹣4n＝2n；若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n﹣4n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．∴n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．强化训练强化训练1．（2024•浙江模拟）设，随机变量的分布列为12则当在增大时，A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】C【解析】由题意可得，随机变量的数学期望，随机变量的数学期望，随机变量的方差，当在增大时，先增大后减小，故选．2．（2024•下城区校级模拟）已知随机变量的分布列如表：012则当在内增大时A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】C【解析】由随机变量的分布列的性质得：，解得，，，，当在内增大时，先增大后减小．故选．3．（2024•丹东模拟）同时抛掷2枚质地匀称的硬币4次，设2枚硬币均正面对上的次数为，则的数学方差是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】同时抛掷2枚质地匀称的硬币，恰好出现两枚正面对上的概率，枚硬币均正面对上的次数，的方差，故选．4．（2024•浙江模拟）已知随机变量的分布列如表：01其中，，．若的方差对全部都成立，则A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，故，当时，故，，令，则，，故，在时恒成立，当时有最小值，故，故，即，所以，故选．5．（2024•镇海区校级模拟）某射手射击所得环数的分布列如下：789100.10.3已知的数学期望，则的值为A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2【答案】C【解析】由表格可知：，解得．故选．6．（2024•柯桥区二模）已知随机变量满意，，，，2若，则A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由数学期望与方差的性质可知：，，则，，因为，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为0，所以，，则，，所以，因为所以，，故选．7．（2024•海曙区校级模拟）盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】表示取出的为一个黑球，，，，表示取出2个球为黑球，，表示取出2个球为一黑一白，，表示取出2个白球，，，，．故选．8．（2024•柯城区校级模拟）已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】，．故选．9．（2024•永康市模拟）随机变量的分布列如表，则在增加时，的改变是1234A．始终增加 B．始终减小 C．先增加后减小 D．先减小后增加【答案】A【解析】由随机变量的分布列的性质得：，，在增加时，的改变是递增的．故选．10．（2024•东阳市模拟）已知随机变量，满意：，，且，则A． B． C． D．【答案】C【解析】随机变量满意：，且，，解得，，，，．故选．11．（2024•浙江模拟）现有4个人通过掷一枚质地匀称的骰子去参与篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球．用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，设“这4个人中恰有人去打篮球”为事务，1，2，3，，则，的全部可能取值为0，2，4．由于与互斥，与互斥，故，，．所以的分布列是224随机变量的数学期望．故选．12．（2024•浙江模拟）设，随机变量的分布列是：12则当最大时的的值是A． B． C． D．【答案】D【解析】由随机变量的分布列知：，，，，当最大时的的值是．故选．13．（2024•浙江模拟）随机变量的分布列如表：123已知，则当在内增大时A．递减，递减 B．递增，递减 C．递减，递增 D．递增，递增【答案】B【解析】由题，，即，则，，，，所以当在内增大时，递增，依据二次函数图象和性质，可知递减．故选．14．（2024•鹿城区校级模拟）袋中有3个白球和个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为，其中，2，则A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】袋中有3个白球和个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为，其中，2，则，，，，，，，．故选．15．（2024•平湖市模拟）已知，随机变量的分布如表：01当在内增大时，A．减小，减小 B．减小，增大 C．增大，减小 D．增大，增大【答案】D【解析】由题意可得：，当在内增大时，增大；，在内增大时，增大．故选．16．（2024•武汉模拟）某几位高校生自主创业创办了一个服务公司供应、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发觉：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．（1）求，并证明数列是等比数列；（2）记其次次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过许多次该两款产品，那么公司每天应至少打算、产品各多少份．（干脆写结论、不必说明理由）．【解析】（1），由题意可知，，又，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）的可能取值有0，1，2，3，且，故，，，，故的分布列为：0123．（3）由（1）知，故，当时，，故打算产品份，打算产品份．17．（2024•湖北模拟）在赌场内，甲乙进行一场嬉戏．嬉戏规则如下：初始时甲乙各从携带的总财产中押出确定金额并进行嬉戏，当一方获胜时将赢得对方所押以及赢得的全部财产，败方则须要重新押出他失去的等额的押金．如甲先押100元并从乙的身上赢得50元，当再次进行嬉戏且乙获胜时，他将获得150元，并且甲须要重新押150元．直到一方输掉全部财产或他的剩余财产无法支持他接着支付押金时嬉戏结束．若甲共有1000元财产，乙共有300元财产，甲乙获胜的概率都是0.5，初始时甲乙各押100元．（1）求出现决胜局（甲乙均抵押出全部财产）的概率（结果保留2位小数）（2）求乙赢钱的分布列及均值（结果可用2的幂表示）【解析】（1）由题目意思可知，押金不行半途取出，且当甲或乙输钱后，输了多少，则要重新押多少，而赢则赢的为增加自己的押金，直到另一个输掉全部财产或无法支付排金时嬉戏结束．出现决胜局（甲乙均抵押出全部财产）时，甲、乙的全部财产都在嬉戏中，身上无钱，最初甲有1000元财产，乙有300元财产，初始甲、乙各押100元，对于乙来说，乙最终身上无钱的状况分为两种，①乙连输2把，则身上剩下元，②乙赢一把再输一把，则身上剩元，决胜局确定在①②两种状况的基础上发生．①乙连输2把，则第三把起先时，乙扣金为100元，剩0元，甲押金为元，剩元为整数，故可出现决胜局，此时，②乙赢一把再输一把，则第三把起先时，乙扣金为元，剩0元，甲押金为元，剩元，不为整数，故不会出现决胜局．（2）所求为乙赢钱的分布列和均值，故思索乙赢钱的可能性即可．起先时乙共有300元财产，且乙甲100元，乙要赢钱分成三大种状况：①乙始终赢，②乙输一把，③乙输两把，①乙始终赢，则第一把起先时，乙押金100元，剩元，甲押金100元，剩元，为整数，故甲输光，所以此次乙赢1000元，，②乙输一把，因乙有300元，所以此状况分两小类，乙输第一把和乙输其次把．乙输第一把，则其次把起先时，乙押金100元，剩元，甲押金元，剩元，，故甲最终剩100元，所以此次乙赢元，，乙输第两把，则第三把起先时，乙押金元，剩元甲押金元，剩元，故甲最终剩200元，所以此次乙赢元，，③乙输两把，因乙有300元，且第一次押100元，故此为乙连输两把，则第三次起先时，乙押金100元，剩元，甲押金元，剩元，故甲输光，所以乙此次赢1000元，，乙赢钱的概率为：，由上述知乙赢钱的可能取值有800，900，1000，，乙赢钱的分布列如下表：8009001000．18．（2024•庐阳区校级模拟）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球嘉奖50元，1个黑球嘉奖20元，没有摸到黑球嘉奖15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将全部黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出全部黑球嘉奖50元，3次摸出全部黑球嘉奖30元，4次摸出全部黑球嘉奖20元，5次摸出全部黑球嘉奖10元．（1）记为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量的数学期望；（2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由．【解析】（1）易知符合超几何分布，，故．另解：，，，．（2）方案一：记为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额，则可取50，20，，，，．方案二：记为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额，则可取50，30，20，，，，．．因此，我会选择方案一进行摸奖．19．（2024•七星区校级模拟）“一带一路”为世界经济增长开拓了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践．某企业为抓住机遇，安排在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品，，的开发．（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择状况的条形图．若饮品的百件利润为400元，饮品的百件利润为300元，饮品的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润；（2）为进一步提高企业利润，企业确定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发．已知工艺改进胜利的概率为，开发新饮品胜利的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立；（一求工艺改进和新品研发恰有一项胜利的概率；（二若工艺改进胜利则可为企业获利80万元，不胜利则亏损30万元，若饮品研发胜利则获利150万元，不胜利则亏损70万元，求该企业获利的数学期望．【解析】（1）依据样本的条形图可得顾客选择饮品的频率为0.35；选择饮品的频率为0.45，选择饮品的频率为0.20；可用频率代替概率，则可以得到总体的百件利润平均值为．（2）（一设饮品工艺改进胜利为事务，新品研发胜利为事务，依题意可知事务与事务相互独立，事务为工艺改进和新品研发恰有一项胜利，则．（二由题意知企业获利的取值为，10，120，230，所以的分布列为10120230所以．20．（2024•鼓楼区校级模拟）已知6名某疾病病毒亲密接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，须要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．（1）若从这6名亲密接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者．实行逐一化验，求所需检验次数的数学期望；实行平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案．【解析】（1）6名某疾病病毒亲密接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，从这6名亲密接触者中随机抽取3名，抽到感染者的概率：．（2）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：12345．首先考虑分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，，，分布列如下：23．再考虑，2，分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，，，分布列如下：23所以按，2，或分组进行化验均可．21．（2024•眉山模拟）一次考试中，五名同学的数学、物理成果如表所示：学生数学分）8991939597物理分）8789899293（Ⅰ）求出这些数据的回来直线方程；（Ⅱ）要从4名数学成果在90分以上的同学中选2人参与一项活动，以表示选中的同学的物理成果高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望的值．附：对于一组数据，，，，，，，其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【解析】（Ⅰ）设所求的回来直线方程为，，，，，．，故所求回来直线方程为．（Ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2．，，，故的分布列为：012．22．（2024•河南模拟）在一次庙会上，有个“套圈嬉戏”，规则如下：每人3个竹环，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，依据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小华每次投掷的结果相互独立．（1）求小华恰好套中一次的概率；（2）求小华总分的分布列及数学期望．【解析】（1）设小华恰好套中一次为事务，则（D）．（2）的取值可能有0，1，2，3，4，5，且，，，，，，的分布列为：012345．23．（2024•河南模拟）随着互联网金融的发展，许多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条．花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于许多90后来说，他们更习惯提前消费．某探讨机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：信用支付方式银行信用卡蚂蚁花呗京东白条其他人数30015050每个人都仅运用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率．（1）估计90后运用蚂蚁花呗的概率；（2）在所抽取的1000人中用分层抽样的方法在运用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记为这4人中运用蚂蚁花呗的人数，求的分布列及数学期望和方差．【解析】（1），所以运用蚂蚁花呗的概率为．（2）这8人中运用信用卡的人数为人，运用蚂蚁花呗的人数为5人，则随机变量的取值为1，2，3，4，所以，，，．所以随机变量分布列为：1234故，．24．（2024•东湖区校级模拟）某公司选购 了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，，，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率．（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中，，的值；（2）若从这批零件中随机选取3个，记为抽取的零件长度在，的个数，求的分布列和数学期望；（3）若变量满意且，则称变量满意近似于正态分布的概率分布．假如这批零件的长度（单位：分米）满意近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺当被签收；否则，公司将拒绝签收．试问，该批零件能否被签收？【解析】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于1.6（0分）米的共有18件．则这批零件的长度大于1.6（0分）米的频率为．记为零件的长度，则．故，，．（2）由（1）可知从这批零件中随机选取1件，长度在，的概率．且随机变量听从二项分布．则，，，．故随机变量的分布列为01230.0270.1890.4410.343（或．（3）由题意可知，．则；．因为，，所以这批零件的长度满意近似于止态分布的概率分布，应认为这批零件是合格的，将顺当被该公司签收．25．（2024•沙坪坝区校级模拟）在中华人民共和国成立70周年之