2024-2025学年高中数学第二章一元二次函数方程和不等式第2节基本不等式课时同步练习含解析新人教A版必修第一册

其次章一元二次函数、方程和不等式第2节基本不等式基础巩固1．（2024·浙江省高二学业考试）已知实数，满意，则的最大值是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】解：因为，所以，得.2．（2024·驻马店市基础教学探讨室高二期末（理））已知正实数x，y满意.则的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】解：由，得，因为x，y为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D3．4．（2024·吉林省长春市试验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.5．（2024·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.6．（2024·四川省高一期末）若正数满意，则的最大值为（）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.7．（2024·重庆市育才中学高一期末）已知，，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．8．（2024·江门市其次中学高一期中）若实数满意，则的最小值是（）A．18 B．9 C．6 D．2【答案】C【解析】解：因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6，故选：C9．（2024·海南省海口一中高二期中）已知，若的值最小，则为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，等号成立当且仅当，故选：B.10．（2024·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确；B.，即恒成立，故B正确；C.当时，不等式不成立，故C不正确；D.当时，不等式不成立，故D不正确.11．（2024·江苏省淮阴中学高一期中）已知，，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.12．（2024·贵州铜仁伟才学校高一期中）若正实数，满意，则的最小值为（）A．2 B． C．5 D．【答案】C【解析】依据题意，若正实数，满意，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为5；13．（2024·浙江省高二期中）若，满意，，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，当且仅当，即时，取等号.14．（2024·浙江省浙江邵外高二期中）若实数a，b满意ab＞0，则的最小值为A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】实数a，b满意ab＞0，则，当且仅当时等号成立．故选：C．15．（2024·全国高一）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A．30 B．36 C．40 D．50【答案】C【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，依据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.16．（2024·全国高一）当时，函数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，由于，所以，当且仅当时，等号成立.17．（2024·全国高一）已知，且，那么下列结论肯定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:因为，且,所以.当且仅当时取等号，故选:C.18．（2024·安徽省高一月考（理））已知，，且，则的最小值为（）A．8 B．9 C．12 D．6【答案】B【解析】由题意可得，则，当且仅当，时等号成立，故的最小值为9.19．（2024·吉林省试验高一期末）函数的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】,当且仅当x=3时，函数取得最小值，最小值为5.20．（2024·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）函数的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】因为，所以，取等号时，即，所以.21．（2024·黑龙江省鹤岗一中高一期末（理））若，且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，且，，，故不成立；，故成立；，故不成立，，故不成立.22．（2024·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为223．（2024·河南省高三其他（理））若对随意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得，因此，实数的取值范围为.24．（2024·安徽省六安中学高一期末（理））已知正实数满意，则的最小值是（）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】解：，当且仅当时取等号，即，时等号成立，故选：．25．（2024·浙江省高一期末）实数、，，且满意，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.26．（多选题）（2024·苏州外国语学校高二期中）（多选题）设正实数满意，则（）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】选项A：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；选项B：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是不正确的；选项C:因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；选项D:因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的，故本题选ACD.27．（多选题）（2024·南京市秦淮中学高二期末）若实数，，，则下列选项的不等式中，正确的有（）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】由于，，，由基本不等式得，，，，上述不等式当且仅当时，等号成立.故选：ABCD.28．（多选题）（2024·山东省高二期中）下列表达式的最小值为的有()A．当时，B．当时，C．D．【答案】BC【解析】解：①对选项A,当均为负值时,,故最小值不为2;②对选项B,因为,所以同号,所以,所以,当且仅,即时取等号,故最小值为;③对选项C,,当时,取最小值2;④对选项D,当且仅当,即时,取等号,但等号明显不成立,故最小值不为.29．（多选题）（2024·山东省枣庄八中高二期中）设，且，那么（）A．有最小值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】AD【解析】解：①由题已知得：,故有,解得或（舍）,即（当且仅当时取等号）,A正确;②因为,所以,又因为,有最小值,D正确.30．（多选题）（2024·辽宁省高一月考）（多选题）下列推断错误的是（）A．的最小值是2 B．C．不等式的解集为 D．假如，那么【答案】AC【解析】对选项A,当时，为负数，故A错误；对选项B,，故B正确；对选项C,不等式的解集为，故C错误；对选项D,若，则，所以，所以，故D正确.故选：AC拓展提升1．（2024·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：．【解析】∵，∵由均值不等式得，．由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．2．（2024·全国高一课时练习）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．【解析】设矩形菜地的长为，宽为，由题意可知．由均值不等式，得，即，当且仅当时，等号成立．故当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为3．（2024·全国高一课时练习）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数，∴（1）（1）（1）8．∴（1）（1）（1）＞84．（2024·黄冈中学第五师分校高一开学考试）如图，某人安排用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若运用的篱笆总长度为，求的最小值.【解析】（1）由已知可得，而篱笆总长为；又因为，当且仅当，即时等号