文科经管类微积分第三章

高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十三讲导数概念脚本编写：教案制作：一、引例二、导数的定义三、求导数举例四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系§2.1导数概念上页下页

结束返回首页=f

(x0+

x)

f

(x0)

y=f

(x)

f

(x0)x=x0+x,

相应地,函数有改变量

y

x=x

x0称为自变量

x在基点x0点处的改变量.

y=f(x)f(x0)x0+Dxx0

f(x0+Dx)DxDyy=f(x)f(x0)xx0

f(x)DxDy一、问题的提出1.变速运动物体的即时速度问题:取极限得N两个问题的共性:瞬时速度切线斜率

以上引例一个是物理学中的瞬时速度,一个是几何学中的切线斜率.仅从数量关系来看,二者的数学结构完全相同:都是一种讨论函数改变量与自变量改变量之比的型的极限,简称差商的极限.二、导数的定义定义1.函数在一点处的导数

否则称f

在x0处不可导.其它形式导数定义形式一导数定义形式二例1

求函数y(x)=x2在点x=2处的导数

解

方法一

下页

方法二

例2设对任意的均有求解：由题设令则且定义！函数抽象的题目或无从着手的时候！若则设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，那么左右导数首页函数的导数

定理导数与左右导数的关系:好像见过面啊！分段函数求导,在分段点处必须按函数表达式求左右导数．例４设问在处是否可导.解:函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导

函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导

且在a点有右导数、在b点有左导数

函数在区间上的可导性函数的导数

若

x(a,b),函数

f(x)皆可导,则说

f(x)在(a,b)内可导.这时

f(x)是关于x的一个新函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：定义函数的导数

4.导函数概念函数在点x0处的导数与导函数的关系:先求导、后代值.函数的导数

2.用定义求函数的导数:步骤:函数的导数

例1设函数求.解:函数的导数

四、导数的几何意义导数f

(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0

f(x0))处的切线的斜率

即f

(x0)=tana

其中a是切线的倾角

切线方程为

y-y0=f

(x0)(x-x0)

切线下页在任意一点

x处,有在点(1,

1)

处

故所求切线方程为：求曲线y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点

(1,1)

处,(－2,4)的切线方程.即

y=2x–1.y–1=2(x–1),例3解在任意一点

x处,有在点(－2,4)

处

故所求切线方程为：求曲线y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点

(1,1)

处,(－2,4)的切线方程.即

y=－4x－4.y–4=－4(x＋2),例3解在点(－2,4)

处在点(1,

1)

处

故所求切线方程为：即

y=－4x－4.y–4=－4(x＋2),故所求切线方程为：即

y=2x–1.y–1=2(x–1),

y=2x–1函数的导数

导函数给出了函数在任意点处切线的斜率.切点：过切点的切线方程：切线5.函数可导与函数连续的关系

例12

函数f(x)=|x|在区间(-

+

)内连续

但在点x=0处不可导

y=-x

y=x连续但不可导的函数函数的导数

处,尖点！无切线．该图像不“光滑”，这是函数不可导的一种几何形象.这是因为函数在点x=0处导数为无穷大

连续但不可导的函数

x=0处不可导

例11

函数的导数

该图像有一条与x轴相垂直的切线，该切线的斜率不存在；这是函数不可导的另一种几何形象.只是必要条件！定理不连续一定不可导．如果函数y=f(x)在点x0处可导

则它在点x0处连续.连续但不可导的函数

x=0处不可导

例11

yxO在间断点处曲线无切线(不可导)

作业P1161.~5.

8.

10.

高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十四讲基本初等函数的导数及导数的四则运算法则脚本编写：教案制作：二、导数的四则运算法则一、基本初等函数的导数

上页下页

结束返回首页三、求导数举例

例2

求函数f(x)≡C（C为常数）的导数

解

即(C)

=0

几个基本初等函数的导数

函数的导数

解

几个基本初等函数的导数三、求导数举例

例4

函数的导数

更一般地证明：更一般地例如,(为实常数)

例7

求函数f(x)=sinx的导数

解

(sinx)

=cosx

同理,(cosx)

=-sinx

例解即特别地,求函数

f(x)=ax

的导数,(常数a>0

a

1)

例5解即特别地,二、求导举例

三、求导公式小结

一、求导法则

§2.2函数的和、差、积、商的求导法则上页下页

结束返回首页一、函数的和、差、积、商的求导法则函数之和差的求导法则

设函数u(x)与v(x)可导

则函数u(x)

v(x)也可导并且

[u(x)

v(x)]

=u

(x)

v

(x)

>>>函数之积的求导法则

设函数u(x)与v(x)可导

则函数u(x)

v(x)也可导并且

[u(x)

v(x)]

=u

(x)

v(x)+u(x)

v

(x)

>>>

设函数u(x)与v(x)可导

则函数也可导并且函数之商的求导法则此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设

则例如,1.证明二、求导举例例1

y=2x3-5x2+3x-7

求y

=6x2-10x+3

=2·3x2-5·2x+3=2(x3)

-5(x2)

+3(x)

=(2x3)

-(5x2)

+(3x)

-(7)

解

y

=(2x3-5x2+3x-7)

函数之和差的求导法则

设函数u(x)与v(x)可导

则函数u(x)

v(x)也可导并且

[u(x)

v(x)]

=u

(x)

v

(x)

>>>

设则有2.证明证设u

C(C为常数

),v=v(x)可导,则

通常说成:常数因子可以提到导数符号外面例7

例3

y=e

x

(sinx+cosx)

求y

=2e

x

cosx

解

y

=(e

x

)

(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)

=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)下页二、求导举例求导法则

(u

v)

=u

v

(uv)

=u

v+uv

3.证明故用乘法公式证明除法公式求导法则的推广

(u

v

w)

=(u

v)

w

=u

v

w

(uvw)

=(uv)

w+(uv)w=u

vw+uv

w+uvw

特殊情况

(Cu)

=Cu

函数的和、差、积、商的求导法则首页解

例2

下页二、求导举例求导法则

函数在点x0处的导数与导函数的关系:先求导、后代值.求导法则

例３求解：

分析:本题可以直接使用商的求导法则,但注意到函数的特点，将函数恒等变形为幂函数，则更简单.解由和的求导公式

由此可知,多项式的导数仍是多项式,其最高次数降低一次,系数相应改变.例6设例6.求下列函数的导数例6.求下列函数的导数方法二求导法则的推广(uvw)

=(uv)

w+(uv)w=u

vw+uv

w+uvw

求导法则

例6.求下列函数的导数

例4

y=tanx，求y

即(tanx)

=sec2x

解

下页二、求导举例求导法则

(cotx)

=-csc2x

同理可得

例5

y=secx

求y

即(secx)

=secxtanx

用类似方法

还可求得

(cscx)

=-cscxcotx

解

首页二、求导举例求导法则

三、求导公式小结1

(C)

=0

2

(x

m)

=mx

m-1

其中m为常数

3

(sinx)

=cosx

(cosx)

=-sinx

4

(ax)

=

a

xlna

特殊地(e

x

)

=e

x

(tanx)

=sec2x

(cotx)

=-csc2x

(secx)

=secxtanx

(cscx)

=-cscxcotx

5

求导法则

xοy=sinx例5求解:当时,当时,当时,故不存在.方法:分段函数在分段点处必须求出左和右导数，在各分段区间内部可直接求导.y=－sinxy函数的导数

f(x)在x=0处可导,从而

f(x)=1+bx,x≤0ex,x>0

f(x)在x=0处连续,例6解设a+bx,x≤0求

a,b之值.ex,x>0y=在x=0可导,两个未知数，两个方程．由可导性：故b=1,此时函数为f(x)=1+x,x≤0ex,x>0f(x)=1+bx,x≤0ex,x>0

分段函数求导时,当左右函数在分段点处分别皆可导时，可按函数求导四则运算法则分别直接求左右导数。8.解注意：以下解法错误：例４设求解：逢山开路遇河搭桥作业P1211~3P11675~7高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十五讲复合函数的求导法则脚本编写：教案制作：一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、求导法则小结§2.3反函数、复合函数的求导法则上页下页

返回首页结束一、反函数的导数

如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导

那么它的反函数x=j(y)在对应区间Iy内也可导

且若j

(y)

0

则

简要说明：

因为y=f(x)连续

所以当Dx

0时

Dy

0

从而

设x=j

(y)在点y

的改变量是Δy≠0.则Δx=

j

(y+Δy)–j(y),Δy=ƒ(x+Δx)–ƒ(x)

例1

求(arcsinx)

及(arccosx)

解

因为y=arcsinx是x=siny的反函数

所以一、反函数的导数

如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导

那么它的反函数x=j(y)在对应区间Iy内也可导

且若j

(y)

0

则

例2

求(arctanx)

及(arccotx)

解

因为y=arctanx是x=tany的反函数

所以一、反函数的导数

如果函数y=f(x)在某区间Ix内单调、可导

那么它的反函数x=j(y)在对应区间Iy内也可导

且若j

(y)

0

则基本初等函数的导数公式小结首页(1)(C)

0

(2)(xm)

m

xm

1

(3)(sinx)

cosx

(4)(cosx)

sinx

(5)(tanx)

sec2x

(6)(cotx)

csc2x

(7)(secx)

secx

tanx

(8)(cscx)

cscx

cotx

(9)(a

x)

a

xlna

(10)(e

x)

ex

二、复合函数的求导法则下页

假定Du

0

此时有

简要说明

=

f

(u)

g

(x)

例1求解：设复合函数的求导法则

复合函数的求导法则

解

函数y=lntanx是由y=lnu

u=tanx复合而成

例3

下页复合函数的求导法则

例2求解：（1）设（2）设

例4

解

复合函数的求导法则

下页

对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。复合函数的求导法则

解

例6

下页例2解例3解在初等函数求导中，复合求导法则经常要与四则运算求导法则共用，例如：证综上所述,例20复合函数的求导法则

复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。复合函数的求导法则

解

例8

下页复合函数的求导法则

解

复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。

例9

下页复合函数求导数可推广到任意有限次复合的情形.解其中a

为常数，例21

例5

求y

xsinx

(x>0)的导数

解

将幂指函数改写成指数函数,再利用求导的乘法法则：

y

xsinx

esinx·lnx

有时需将给定函数改写成明确的初等函数表示形式，然后再用复合求导法则进行计算，例如：对一般幂函数(为常数),对数恒等式

a为常数.有时需将给定函数改写成明确的初等函数表示形式，然后再用复合求导法则进行计算，例如：例1

考察解:

写出的分段表达式：它在处不可导．

的可导性．时的导数为而当时,由于因此在解例4或解：直接利用复合函数的求导法则，C书P126例3-22设为可导函数,求(1)

解

(1)设则注意表示复合函数对自变量求导;表示复合函数对中间变量求导.有一类函数表示式中含有抽象函数记号的求导问题，计算这类问题时，仍应注意复合求导的法则应用，例如：书P126例3-22设为可导函数,求（2）解：作业P1261.(2)(4)(6)(8)(10)(12)2.(2)(5)(7)(10)3~6高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十六讲

隐函数求导法脚本编写：教案制作：一、隐函数的导数§2.6隐函数的导数

上页下页

结束返回首页例如,隐函数可确定显函数可确定y是x

的函数,但不能显化.一、隐函数的导数显函数与隐函数形如y

f(x)的函数称为显函数

例如

y

sinx

y

lnx

e

x

都是显函数

由方程F(x

y)

0所确的函数称为隐函数

隐函数隐函数求导问题：求由方程x3+y3=1所确定的隐函数

y=y(x)的导数

y’.隐函数求导例1解解得5y

y

2y

1

21x6

0

因为当x

0时

从原方程得y

0

所以

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所确定的隐函数y

f(x)在x

0处的导数y

|x

0

下页隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数

然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出

求导时要注意

是x的函数

解法一

把方程两边分别对x求导数得5y

y

2y

1

21x6

0

根据原方程

当x

0时

y

0

上述方程限制在x

0得

从而y

|x

0

0

5

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所确定的隐函数y

f(x)在x

0处的导数y

|x

0

下页解法二

把方程两边分别对x求导数得例4

证明下页证：令则两边对求导：由于同理可证：

解

把椭圆方程的两边分别对x求导

得所求的切线方程为

例3

下页y

f(x)

[lnf(x)]

此方法是先在y

f(x)的两边取对数

然后用隐函数求导法求出y的导数

设y

f(x)

两边取对数

得lny

lnf(x)

两边对x求导

得对数求导法：下页

对数求导法适用于求幂指函数y

[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

例5

求y

xsinx

(x>0)的导数

解法二

两边取对数

得

下页对一般幂函数(为常数),

lny

sinx

lnx

上式两边对x求导

得

例5

求y

xsinx

(x>0)的导数

解法一

将函数写成指数函数，然后利用求导的乘法法则：

y

xsinx

esinx·lnx

下页因此幂指函数求导→利用乘法的求导法则

解

先在两边取对数

得上式两边对x求导

得

例6

首页运用取对数求导法两边关于x求导：解例34复杂的乘积、根式求导→对数函数和的求导整理得例34取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.

例5

求y

xsinx

(x>0)的导数

例6

例8方程确定是的函数,求解:两边取对数两边关于求导得当时,代入原方程得另一方面(*)将代入(*)式得基本初等函数的导数导数的四则运算法则分段函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法取对数求导法求导方法小结按定义求导求导法作业P1301.(4)(5)2.(3)(4)3.(1)(3)(5)4.5.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十七讲

高阶导数脚本编写：教案制作：一、高阶导数的定义二、几个初等函数的n阶导数三、函数积的n阶导数

§2.5高阶导数上页下页

结束返回首页一.高阶导数的概念例函数的导数

一、高阶导数的定义我们把函数y

f(x)的导数y

f

(x)的导数(如果可导)叫做函数y

f(x)的二阶导数

记作

2.二阶导数计算示例例2解例3.

y=3x

5

求y

y

3

解

y

0

例3解一、高阶导数的定义我们把函数y

f(x)的导数y

f

(x)的导数(如果可导)叫做函数y

f(x)的二阶导数

记作类似地，二阶导数y

=f

(x)的导数叫做函数y=f(x)的三阶导数，记作

下页一般地

函数y=f(x)的(n

1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数

记作我们把y

f(x)的导数f

(x)叫做函数y

f(x)的一阶导数

把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数

对于n阶导数

，以下两则运算是成立的：这一公式称为莱布尼茨公式

函数积的n阶导数

用数学归纳法可以证明(uv)

u

v

uv

(uv)

[(uv)

]=

[u

v

uv]=u

v

2u

v

uv

(uv)

u

v

3u

v

3u

v

uv

下页莱布尼茨公式

例3-35设解:设则由莱布尼茨公式

例4(Ⅰ98二3

)（A）3（B）2（C）1（D）0分析解例5(Ⅰ92二3)

分析二、几个初等函数的n阶导数

例3

求函数y

e

x

的n阶导数

即(e

x)(n)

e

x

一般地

可得y(n)

e

x

y

e

x

解

y(4)

e

x

y

e

x

y

e

x

下页

例4

求正弦函数和余弦函数的n阶导数

解

y

sinx

一般地

可得二、几个初等函数的n阶导数

例5

求函数ln(1

x)的n阶导数

一般地

可得

y

=(-1)(-2)(1+x)-3

y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4

解

下页——

观察归纳的技巧

例6

求幂函数y

x

m(m是任意常数)的n阶导数公式

解

y

mx

m

1

而(xn)(n

1)

0

(xn)(n)

n

(n

1)(n

2)

3

2

1

n!

当m

n时

得到即(x

m

)(n)

m(m

1)(m

2)

(m(n－1))x

m

n

y(n)

m(m

1)(m

2)

(m(n－1))x

m

n

一般地

可得

y(4)

m(m

1)(m

2)(m

3)x

m

4

y

m(m

1)(m

2)x

m

3

y

m(m

1)x

m

2

首页练习思考：——

拆分技巧

例设则解：例４方程确定为的函数，求解：方程两边对求导：（*）另一方面,将代入原方程得将代入(*)式得即有(*)式两边再关于求导:即将代入上式得将上式限制在x

0,作业P1331.(1)(4)(6)2.3.(1)(2)(4)4.~7.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十八讲

微分的概念及其应用脚本编写：教案制作：一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式与微分运算法则§2.7函数的微分上页下页

结束返回首页一、微分的概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.设边长由x0变到x0+Dx,(2):Dx的高阶无穷小,当|Dx|很小时可忽略(1):Dx的线性函数,且为DA的主要部分(2)(1)∵正方形面积A=x02A=x02

再如,设函数在点处自变量的改变量为时，求函数的改变量既容易计算又是较好的近似值问题:所有函数的改变量是否都有这个线性主部?如何求?当|Dx|很小时,(2)是Dx的高阶无穷小,o(Dx)(1)(2)微分的定义函数y=f(x)在x0某一邻域内有定义,定义x0和x0+Dx都在领域内.如果成立(其中A与Dx无关).则称f(x)在x0

可微,并且把A

·

Dx称为f(x)在x0的微分,记为dy或df(x),即dy由定义知:(1)dy是自变量的改变量Dx的线性函数;dy(2)Dy

－dy=o(Dx),即是Dx的高阶无穷小;(3)当A

≠0时,dy~

Dy,即是等价无穷小;(4)A是与Dx无关的常数,但与f(x)和x0有关;(5)当|Dx|很小时,Dy

≈dy(线性主部).定理证设f(x)在x0可微,即=A即f(x)在x0可导,且y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导

且函数在点x0的微分一定是有

dy

f

(x0)Dx

定理证设f(x)在x0可导,即即故可微.函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导

且函数在点x0的微分一定是有

dy

f

(x0)Dx

y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

函数y

f(x)在任意点x的微分

称为函数的微分

记作dy或df(x)

即dy

f

(x)Dx

y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

函数f(x)在点x0可微

函数f(x)在点x0可导

函数在点x0的微分一定是dy

f

(x0)Dx

可微与可导的关系下页因此,导数也称为微商.自变量x的增量Dx

就是自变量的微分,即dx=Dx.可微可导函数y=f(x)的微分为:例如

dcosx

(cosx)

dx

因为当

y=x

时

dy=dx=(x)

Dx=Dx

sinxdx

dy

df(x)=f

(x)dx

即函数f(x)在点

x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法,这一下复合函数的求导公式就好理解了.

例2

求函数y

x3当x

2

Dx

0

02时的微分

解

先求函数在任意点x的微分

dy

(x3)

Dx

3x2Dx

再求函数当x

2

Dx

0

02时的微分

=3

22

0

02=0

24

y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy

下页5.微分计算实例（1）显函数求微分题型3.微分的几何意义yDyd

当|Dx|很小时,Dy

≈dy.微分公式一目了然.微分的运算法则1.微分的基本公式可微

可导

微分的基本公式与导数的基本公式相似

微分公式

d(x

m)

mx

m

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

a

x

lnadx

d(e

x)

e

xdx

导数公式

(x

m)

mx

m

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

a

x

lna

(e

x)

e

x下页三、微分公式与微分运算法则微分公式

导数公式

下页函数和、差、积、商的微分法则求导法则

(u

v)

u

v

(Cu)

Cu

(u

v)

u

v

uv

微分法则

d(u

v)

du

dvd(Cu)

Cdu

d(u

v)

vdu

udv

d(uv)

=(u

v

uv

)dx

vu

dx

uv

dx

下页公式d(u

v)

vdu

udv的证明

因为而u

dx

du

v

dx

dv

所以d(uv)

vdu

udv

复合函数的微分法则设y

f(u)及u

j(x)可微

则复合函数y

f[j(x)]的微分为dy

y

xdx

f

(u)j

(x)dx

因为j

(x)dx

du

所以

复合函数y

f[j(x)]的微分公式也可以写成dy

f

(u)du.由此可见

无论u是自变量还是中间变量

微分形式dy

f

(u)du保持不变

这一性质称为微分形式不变性

下页dy

f

(u)du复合函数的求导法则

说明可以用两种方法求复合函数的微分

例3

y

sin(2x

1)

求dy

解法1分析微分的计算:

计算函数的导数,乘以自变量的微分.

例3

y

sin(2x

1)

求dy

解法二

把2x

1看成中间变量u

则ysinu

u

2x

1

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)

dy=dsin(2x

1)

d(sinu)

cosudu若y

f(u)

u

j(x)

则dy=

f

(u)du

在计算过程中也可以不写出中间变量

若y

f(u)

u

j(x)

则

例2

dy=

f

(u)du例2解法2分析微分的计算:

计算函数的导数,乘以自变量的微分.

例5

y

e1

3xcosx

求dy

解

应用积的微分法则

得

e1

3x(3cosx

sinx)dx

(cosx)e1

3x(

3dx)

e1

3x(

sinxdx)

dy

d(e1

3xcosx)

cosxd(e1

3x)

e1

3xd(cosx)下页

(cosx)e1

3xd(1-3x)

e1

3x(

sinxdx)微分法则

d(u

v)

vdu

udv若y

f(u)

u

j(x)

则dy=

f

(u)du

例6

在括号中填入适当的函数

使等式成立

d()

xdx

解

(1)因为d(x2)

2xdx

所以例4方程确定是的函数,求解法一先求解得从而即（2）隐函数求微分题型例4方程确定是的函数,求解法二方程两边求微分从而d(u

v)

vdu

udv因此（3）抽象函数求微分题型例5平衡常数是绝对温度的函数,已知他们有如下关系(为常数).求解:一、近似公式§2.8微分在近似计算中的应用上页下页

结束返回首页一、近似公式当函数y

f(x)在点x0处的导数f

(x)

0

且|Dx|很小时

我们有

Dy

dy

f

(x0)Dx

f(x0

Dx)

f(x0)

dy

f

(x0)Dx

f(x0

Dx)

f(x0)

f

(x0)Dx

若令x

x0

Dx

即Dx

x

x0

那么又有

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)

下页y

f(x)在点x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

既容易计算又是较好的近似值

这个公式成为近似计算中的理论依据

例6解：半径10厘米的金属圆盘加热后,半径伸长了0.05厘米,问面积变化了多少？r=10厘米,Dr=0.05厘米求函数增量的近似公式

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)

例6求的近似值.解:设则由公式f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)有由上式常用近似公式(1)证

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)

求函数在x=0附近的值的近似公式

f(x)

f(0)

f

(0)x

例3

首页

f(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)

例9解计算的近似值.精确值=9.994997=9.995

f(x)

f(0)

f

(0)xf(x)

f(x0)

f

(x0)(x

x0)例10计算的近似值.解:由近似公式得作业P1401.2.(2)(8)3.5.(2)4.7.~9.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第十九讲导数在经济学中的简单应用

脚本编写：教案制作：

导数与微分在经济学中的简单应用

1.边际分析2.函数的弹性要求：掌握边际和弹性的定义； 给具体问题后会计算边际和弹性； 并能够给出相应的经济解释；.边际分析

在经济学中,边际这个概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1.总成本、平均成本、边际成本

“总成