成都市高一联考数学试卷

成都市高一联考数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则$a$、$b$、$c$的关系是（）

A.$a>0$，$b=0$，$c$为任意实数

B.$a>0$，$b\neq0$，$c$为任意实数

C.$a<0$，$b=0$，$c$为任意实数

D.$a<0$，$b\neq0$，$c$为任意实数

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的表达式为（）

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_n=a_1-(n-1)d$

C.$a_n=a_1+nd$

D.$a_n=a_1-nd$

3.若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则第$n$项$a_n$的表达式为（）

A.$a_n=a_1q^{n-1}$

B.$a_n=a_1q^{n+1}$

C.$a_n=a_1q^{n-2}$

D.$a_n=a_1q^{n+2}$

4.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f'(x)$的表达式为（）

A.$f'(x)=3x^2-6x$

B.$f'(x)=3x^2-2x$

C.$f'(x)=2x^2-3x$

D.$f'(x)=2x^2-2x$

5.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上单调递减，则$f'(x)$的值（）

A.$f'(x)<0$

B.$f'(x)>0$

C.$f'(x)=0$

D.$f'(x)$不存在

6.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，首项为$a_1$，公差为$d$，则$S_n$的表达式为（）

A.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

B.$S_n=\frac{n(a_1-a_n)}{2}$

C.$S_n=\frac{n(a_1+a_1+(n-1)d)}{2}$

D.$S_n=\frac{n(a_1-a_1+(n-1)d)}{2}$

7.若函数$f(x)=\lnx$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，则$f'(x)$的值（）

A.$f'(x)>0$

B.$f'(x)<0$

C.$f'(x)=0$

D.$f'(x)$不存在

8.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上连续，则$f(x)$的图像（）

A.在$x=0$处有垂直渐近线

B.在$x=0$处有水平渐近线

C.在$x=0$处有斜渐近线

D.在$x=0$处无渐近线

9.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上可导，则$f'(x)$的表达式为（）

A.$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$

B.$f'(x)=\frac{1}{x^2}$

C.$f'(x)=-\frac{1}{x}$

D.$f'(x)=\frac{1}{x}$

10.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f'(x)$的值（）

A.$f'(x)=2x+2$

B.$f'(x)=2x$

C.$f'(x)=2$

D.$f'(x)=1$

二、判断题

1.在一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中，如果$a\neq0$，那么该方程有两个实数根。（）

2.等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$中，$d$可以是任意实数。（）

3.等比数列的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$中，$q$不能等于1。（）

4.如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a,b]$上一定可导。（）

5.函数$f(x)=x^3$在定义域内是奇函数。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4$的导数$f'(x)$为_______。

2.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，若$a_1=3$，$a_n=21$，则$n$的值为_______。

3.若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公比$q=\frac{1}{2}$，则第$5$项$a_5$的值为_______。

4.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的定义域为_______。

5.一元二次方程$x^2-5x+6=0$的两个根之和为_______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的求根公式及其适用条件。

2.解释等差数列和等比数列的通项公式，并说明它们在数学中的应用。

3.如何判断一个函数在某个区间上是否连续？请举例说明。

4.请简述导数的概念及其几何意义。

5.如何求解一元二次方程的根？请至少给出两种不同的解法。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$处的导数值。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=3n^2+3n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

3.若等比数列$\{a_n\}$的前三项分别为$2$，$4$，$8$，求该数列的公比$q$和第$6$项$a_6$。

4.求解一元二次方程$x^2-4x+3=0$，并写出其解的表达式。

5.设函数$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$，求$f'(x)$并计算$f'(1)$的值。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一批产品，已知产品的合格率与生产过程中的温度有关。通过实验，得到以下数据：

-当温度为$T_1$时，合格率为$P_1$；

-当温度为$T_2$时，合格率为$P_2$；

-当温度为$T_3$时，合格率为$P_3$。

请问：

（1）如何根据上述数据建立合格率$P$与温度$T$之间的函数关系？

（2）如果工厂希望提高产品的合格率，应该如何调整温度？

2.案例背景：某城市居民用电量与家庭人口数之间存在一定的关系。通过对部分家庭的调查，得到以下数据：

-家庭人口数为$N_1$的家庭，平均用电量为$E_1$；

-家庭人口数为$N_2$的家庭，平均用电量为$E_2$；

-家庭人口数为$N_3$的家庭，平均用电量为$E_3$。

请问：

（1）如何根据上述数据建立用电量$E$与家庭人口数$N$之间的函数关系？

（2）如果该城市希望减少居民用电量，可以采取哪些措施？如何通过数学模型来评估这些措施的效果？

七、应用题

1.应用题：某商品原价为$200$元，商家决定进行打折促销，设打折后的价格为$y$元，打折比例与原价的关系为$y=200(1-0.1x)$，其中$x$为打折比例的十分之一（例如，$x=0.5$表示打$5$折）。若商家希望打折后的利润是原价的$40\%$，求打折比例$x$。

2.应用题：某班级有$30$名学生，其中$18$名学生参加了数学竞赛，$12$名学生参加了物理竞赛，$5$名学生同时参加了数学和物理竞赛。求：

（1）只参加了数学竞赛的学生人数；

（2）只参加了物理竞赛的学生人数；

（3）没有参加任何竞赛的学生人数。

3.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品的生产成本为$10$元，售价为$15$元。已知工厂的固定成本为$1000$元，每增加$100$件产品的生产，固定成本增加$200$元。求：

（1）生产$x$件产品的总成本；

（2）生产$x$件产品的总利润。

4.应用题：某市决定对居民用水进行阶梯式收费，收费标准如下：

-每户每月用水量不超过$30$立方米，按$2$元/立方米计费；

-超过$30$立方米至$50$立方米，超出部分按$3$元/立方米计费；

-超过$50$立方米，超出部分按$4$元/立方米计费。

某户居民一个月用水量为$45$立方米，求该户居民的水费总额。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.A

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.×

4.×

5.√

三、填空题答案：

1.$f'(x)=6x^2-6x+9$

2.$n=10$

3.$a_6=32$

4.定义域为$\{x|x\neq1\}$

5.根之和为$5$

四、简答题答案：

1.一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，适用条件是判别式$b^2-4ac\geq0$。

2.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$。它们在数学中的应用包括求和公式、中位数、平均数等。

3.函数在区间$[a,b]$上连续的条件是：在$[a,b]$上任意一点$c$，都有$\lim_{x\toc}f(x)=f(c)$。

4.导数的概念是函数在某一点的瞬时变化率，几何意义是函数图像在该点的切线斜率。

5.解一元二次方程的两种方法：公式法和因式分解法。公式法使用求根公式，因式分解法是将方程左边分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于零求解。

五、计算题答案：

1.$f'(2)=6(2)^2-6(2)+9=21$

2.$a_1=3$，$d=2$

3.$q=2$，$a_6=32$

4.根为$x=3$和$x=2$

5.$f'(x)=2x-\frac{1}{x^2}$，$f'(1)=2-1=1$

六、案例分析题答案：

1.（1）建立函数关系：$P=f(T)$，其中$T$为温度，$P$为合格率。由于数据有限，可以使用线性回归等方法建立近似函数关系。

（2）调整温度：根据函数关系，分析合格率随温度变化的情况，确定提高合格率的最优温度。

2.（1）只参加了数学竞赛的学生人数：$18-5=13$；

（2）只参加了物理竞赛的学生人数：$12-5=7$；

（3）没有参加任何竞赛的学生人数：$30-(13+7+5)=5$。

七、应用题答案：

1.$x=0.4$，即打$4$折。

2.（1）$13$人；

（2）$7$人；

（3）$5$人。

3.（1）总成本$C(x)=10x+1000$；

（2）总利润$L(x)=5x-1000$。

4.水费总额为$30\times2+(50-30)\times3+(45-50)\times4=90$元。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学中的基础知识，包括：

-一元二次方程的求解

-等差数列和等比数列的性质

-函数的连续性和可导性

-导数的概念和计算

-应用题的解决方法

各题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，如一元二次方程的根、等差数列的通