福建省邵武某中学2024届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

福建省邵武七中2024届高三第五次模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（幻=5十一。一1），（4€/?）若对区间［（）,1］内的任意实数为、匕、毛，都有了（%）4/*2）2/（不），

则实数。的取值范围是（）

A.[1,2]B.[e,4]C.[1,4]D.[l,2)u[e,4]

2

2.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B=(x\x-x+2>Q]t则A：8=(

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2)

3.设A为非零向量，贝肝是〜与人共线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/（x）=8s2xRw［一4,2乃|）的图象与函数g（x）=sinx的图象的交点横坐标的和为（）

A5n7乃

B.24D.4

A-TT

x>0

5.若x,y满足约束条件x+y-3>0,则z=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,4-00)D.[4,4-oo)

6.过双曲线£-4=1（4>0/>0）的左焦点/作直线交双曲线的两天渐近线于A,5两点，若8为线段科的中

a2b2

点，且O8_LE4（。为坐标原点），则双曲线的离心率为（)

A.叵B•&C,2D.75

（\1V0

7.一犬-一汽的展开式中有理项有（）

A.3项B.4项C.5项D.7项

8.设机，〃是两条不同的直线，a，夕是两个不同的平面，给出下列四个命题；①若〃?//〃，心。，则

②若mHa,mHB,则a/0；③若mJLa,nila,则m_L〃；④若"〃/a,mLp,则a_L/?；具中真命题的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知（1+九E）"展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，（1+4幻"=〃0+，4/+。2/+…+巴/,

若4+%+…%=242,则4—q+&---卜的值为(

C.81

10.sin8()cos5()+cos140sin1()=()

B73\_£

222

11.函数/(x)=x%osx+xln|x|在［-4,0)UQ%］的图象大致为()

12.已知集合4=卜|沈』,3=卜|3'<1},则AU低5)=()

A.{x|x<0}B.{x|0M1)C.{x|-l„x<0}D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物

理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节

和下午第一节不算相邻），则不同的排法有_________种.

14.如图，A3c的外接圆半径为2后，。为4c边上一点，且5D=2DC=4,N创力=90。，则..A6c的面积

为1

x-y+l>0

15.实数x,J满足约束条件（x+2y-2W0,则z=x—2），的最大值为.

），+2"

16.如图是一个算法的伪代码，运行后输出匕的值为.

a4—0

64-1

/—2

White/<6

a—a+b

b—a+b

/4-/>2

EndWhile

Printb

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

〃+2

17.（12分）数歹!]｛。”｝满足4+2/+3。3+一+nan=2一一—.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；

a2

（2）设也，=（1+%）j+a”j，7.为色｝的前〃项和，求证：Tn<-.

18.（12分）已知函数f（x）=Y-2#nx,函数g（x）=x+@-（In】）？，其中〃eR,%是g（x）的一个极值点，且

x

g（N））=2.

（1）讨论了。）的单调性

（2）求实数和。的值

n11

（3）证明Z/,>彳皿（2〃+1）（〃£”）

MJ4A2_12'7

19.（12分）（某工厂生产零件A,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为工人

424

乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为二.己知生产一件一等品、二等品、三等品零件4

333

给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.

（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；

（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一

件零件4,如果一方生产的零件4品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的

零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜.Pi+4(Z=-4,-3,-2,…，4)表

示甲总分为i时，最终甲获胜的概率.

①写出几，R的值；

②求决赛甲获胜的概率.

20.(12分)设函数/(外石中工+今+cos2x+石sinxcosx.

(1)若次l<f,求函数/(x)的值域；

4

(2)设A,民C为AABC的三个内角，若/(A]=9,cos(A+C)=-亚，求cosC的值；

21.(12分)已知椭圆£+畏=1包>/>>0),点A(l,0),B(0,l),氤P满足0A+咚OB=OP(其中。为坐标原

点)，点B,P在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右焦点为尸，若不经过点尸的直线/：)，=丘+相(攵<0,〃?>0)与椭圆C交于两点.且与圆

f+y2=i相切的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

22.(10分)已知函数/(x)=x|x+a|,awR.

(1)若f(l)+/(-1)>1,求。的取值范围；

(2)若avO,对Vx,〉£(-8,-,不等式/(X)wy+：+y+葭恒成立，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分析：先求导，再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间［0,1］内的任意实数内、毛、/，都有

/(%)+/(其2)2/(七),得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.

详解：由题得f\x)=ax-［ex+(x-l)ex］=ax-xex=x(a-ex).

当aVl时，尸(幻＜0,所以函数f(x)在［0,1］单调递减，

因为对区间［0，1］内的任意实数A、々、占，都有/(西)+/(玉)2/(七)，

所以/⑴+/⑴之”0),

所以1a+gaNl,

22

故&1,与aVl矛盾，故aVl矛盾.

当1金4时，函数f(x)在［OJna］单调递增，在(加a,1］单调递减.

所以/(X)max=/(Ina)=；。In%-。hi。+a,

因为对区间［0,1］内的任意实数玉、々、七，都有/(%)+/(%2)之/(七)，

所以/(0)+八1)2/(1。。)，

11,

所以1+—aN—alira—aIna+4,

22

1,1

即一〃lrr〃-41n〃+—〃-1«0

22

1,1

令g(a)=—aln~Q-〃lna+一＜a＜e)t

所以g'(〃)=g(In*。-1)＜(),

所以函数g(a)在(1,e)上单调递减，

所以g(a)a=g6=-；＜()，

所以当iWave时，满足题意.

当aNe时，函数f(x)在(0,1)单调递增，

因为对区间［0，1］内的任意实数%、尤2、当，都有〃%)+/(毛)之/(七)，

所以/(0)+/(。)2/⑴，

故1+12—〃，

2

所以。44.

故cWaW4.

综上所述，ae[l,4].

故选C.

点睛：本题的难点在于“对区间[o,i]内的任意实数玉、修、小，都有的转化.由于是函数的问

题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就

是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.

2、D

【解析】

先求出集合不再与集合A求交集即可.

【详解】

17

由已知，P-X+2=（X--）2+->0,故,B=R,所以4仆8={-2,-1,0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

3、A

【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若,+*同+忖，则4与〃共线，且方向相同，充分性；

当〃与〃共线，方向相反时，"+/2WQ+W，故不必要.

故选：4

【点睛】

本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

4、B

【解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.

【详解】

।冗3兀

令sinx=cos2x,有sinx=1%,所以sinx=-l或sinx=1.又xw[-万,2〃],所以工=-万或工=万或

x=3或x=K，所以函数小）=c°s2M大£卜",2句）的图象与函数g（"=sinx的图象交点的横坐标的和

TC34TC57r..

s=-----1------1-----1-----=27r,故选B.

2266

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

5、D

【解析】

解，x,y满足约束条件x+y-3>0,表示的可行域如图,

x-2y40

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由

；察°解得C⑵D，

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是［4,+8).

故选D.

【解析】

由题意可得双曲线的渐近线的方程为y=±2工.

a

・・,4为线段£4的中点，0B_L£4

：.OA=OF=c,则AAO/为等腰三角形.

:・/BOF=/BOA

由双曲线的的渐近线的性质可得ZBOF=ZAOA

:./BOF=/BOA=AxOA=60°

/.—=tan60°=6,即b2=3a2•

，双曲线的离心率为e=-=J"+”=—=2

ciaa

故选C.

点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角

形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,代入公式e二£；

a

②只需要根据一个条件得到关于。，儿。的齐次式，转化为GC的齐次式，然后转化为关于。的方程（不等式），解方程（不

等式），即可得的取值范围）.

7、B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时厂的个数，即可求解.

【详解】

2——D'Zio,jT，0W10,

当厂=0,3,6,9时，（+1为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

8、C

【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线〃7

平行于平面。与平面£的交线时也有m〃a,，〃〃尸，故②错误；若m_La,则〃?垂直平面

a内以及与平面a平行的所有直线，故③正确；若mlla,则存在直线/ua且机/〃，因

为〃所以/，尸，从而a_L/?,故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

9、B

【解析】

根据二项式系数的性质，可求得〃，再通过赋值求得。。以及结果即可.

【详解】

因为(1+尤刈"展开式中第二项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

故可得〃=5,

令x=0,故可得1=劭，

又因为a+%++%=242,

令JV=1,则(1+几)'=4)+4+a2+・・•+6=243,

解得4=2

令1=-1,则(I-2)'=q)_q+4-…+(7)'4•

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.

10、D

【解析】

利用10'=90,一80°,140=90+50°,根据诱导公式进行化简，可得sin80。cos500-cos80°sin50"，然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

*80=90°-10°,140=90+50°

所以sin1()=sin(90,-80)=cos1()

cos140=cos(90+5())=-sin5(),

所以原式=sin80cos50-cos80sin5()=sin(8()-5())

所以原式=5抽30=-

2

故sin80cos50+cos140sin10=-

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

11、B

【解析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.

【详解】

/(X)是奇函数，排除C,。；/(4)=乃0n乃一42)<(),排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的判断，属于常考题.

12、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合〃的补集，然后求AL(^B)

【详解】

A={x|-掇/\}yB={x\x<O}t所以AU(^B)={x|x..-l}.

故选：D

【点睛】

此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1344

【解析】

分四种情况讨论即可

【详解】

解：数学排在第一节时有：C：xA：xC：=384

数学排在第二节时有：C；xA：xC：=288

数学排在第三节时有：C；xA；xC：=288

数学排在第四节时有：C!X4：XC=384

所以共有1344种

故答案为：1344

【点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

14、36

【解析】

先由正弦定埋得到N84C=120，再在二角形A"。、A&C中分别由正弦定埋进一步得到6=C,最后利用面积公式计

算即可.

【详解】

依题意可得8。=6,由正弦定理得———=2Rf即sin/BAC=—1=立，由图可

sinNBAC4V32

知NA4C是钝角，所以N84C=120，ND4C=30，在三角形AE。中，AD=BDsinBf

=4sinB,在三角形AOC中，由正弦定理得生~=———即AO=4sinC,

sinCsinZDAC

所以，sinB=sinC,故4=C=3（）,AB=?6AD=2,故「.ABC的面积为

-ABBCsinB=35/3.

2

故答案为：3石.

【点睛】

本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档

题.

15、10

【解析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.

【详解】

解：作出可行域如下：

当）'—经过点3时，截距最小，z最大

22

解得4（6,-2）

z=x—2y的最大值为10

故答案为；10

【点睛】

考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.

16、13

【解析】

根据题意得到：a=0,b=1,i=2

A=l,b=2,i=4,

A=3,b=5,i=6,

A=8,b=13,i=8

不满足条件，故得到此时输出的b值为13.

故答案为13.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）%=*（2）证明见解析

【解析】

（1）利用S”与%的关系即可求解.

（2）利用裂项求和法即可求解.

【详解】

解析：（1）当〃=1时，a.=2--=—；

22

,_zi+2f_n+l\n_工1

当“22，min=2~---1^2-­j=—,可得可二至，

又丁当〃=1时也成立，•,.〃”=!；

…+_^---L_

(2+122+122+l23+l2"+l2,,+I+1

1222

=22n+,+lJ~3—;—v-

<32叫13

【点睛】

本题主要考查了s”与%的关系、裂项求和法，属于基础题.

18、（1）“X）在区间（0,+8）单调递增；（2）鹏=1，。=1；⑶证明见解析.

【解析】

（1）求出/（x）,在定义域内，再次求导，可得在区间（0,+。）上尸卜）20恒成立，从而可得结论；（2）由g'（x）=0,

可得片由g（毛）=2可得不；-/（皿％））2-2%）+。=0,联立解方程组可得结果；（3）由⑴知

/（x）=x2-2xinx在区间（0,y）单调递增，可证明«-J=>lnx,取X=可得

Vx2k~\

>]n（2Jl+1）-ln（2A-1）,而二/:,利用裂项相消法，结合放缩法可得

V2^-lV2I+T、2k-l72k+l"J

结果.

【详解】

（1）由已知可得函数/（"的定义域为（0,y）,K/（x）=2x-2lnx-2,

令〃（力=/（力，则有力'（幻=2。-）,由厅（力=0,可得x=l,

x

可知当X变化时，力'（力,〃（"的变化情况如下表:

X(0,1)1(1,+co)

-0+

，(x)极小值z

.-./2（x）>/?（l）=0,即/'（同之0,可得/（X）在区间（0,+8）单调递增；

（2）由已知可得函数g（x）的定义域为（0,+8）,且g（x）=l—子―中日

由已知得g'(x)=0,即x；-2%)lnxo-〃=0，①

由g(%))=2可得,片一飞(lnxo)2-2xo+a=0,②

联立①②，消去。，可得2xo—(lnxo)2—21nxo—2=0,③

A,、c八、2…crn,/、c21nx22(x-Inx-l)

令t(x)=2x-(Inx)--21nx-2,贝！|f(x)=2----------=-----------

XXX

由(1)知，x-\nx-l>0,故i'(x)20,.」(x)在区间(0,+8)单调递增,

注意到"1)=(),所以方程③有唯一解毛二1,代入①，可得〃=1,

••跖=1,4=1；

(3)证明：由(1)知〃x)=x2-2xlnx在区间(0,+e)单调递增，

故当时，/(x)>/(i)=i,

XX

可得g(l)在区间(1,+8)单调递增,

因此，当X>1时,g(x)>g(l)=2,即x—(Inxf>2,亦即>(Inx)2,

这时人--L>0,lnx>0,故可得4--U>lnx,取工=丝土

XyjXIk—1

一工以+1J2左一1,,一]2k+ll2k-l2

可得J--------/>ln(2左+1)-ln(2Z-1),而、匕---J——-=一1~~；——,

\2K-19R72k-lV2Z+1"J

故£~/=^=>Z(m(2Z+l)-ln(2A-1))=ln(2〃+1)

k=\yJ4k~-1hl

n11

Z[,>-ln(2x+1)(〃£N').

MJ以2-12

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用

导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性,

求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并

运用己证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

19、(1)乙的技术更好，见解析(2)①4=0,G=1；②;

【解析】

(1)列出分布列，求出期望，比较大小即可；

(2)①直接根据概率的意义可得Po,P8；②设每轮比赛甲得分为X,求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概

率，甲得—1分的概率，可的勺=；4*+1匕+；勺+|，〃=，+4,可推出｛匕｝是等差数列，根据《二£芦可得答

JJJ4

案.

【详解】

(1)记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为x元、y元,

随机变量x,y的分布列分别为

X1052

\_

P

424

Y1052

P

333

所以EX=LX10+!X5+」X2=U,Ey=-xl0+-x5+ix2=—,

42423333

所以EXvEK,即乙的技术更好

(2)①片表示的是甲得T分时，甲最终获胜的概率，所以4=0,

耳表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以&=1；

②设每轮比赛甲得分为X,则

每轮比赛甲得1分的概率尸(X=1)=—+—J+—X—=—,

I、JJJJJ

甲得0分的概率P(X=0)=-xl+-xl+-xl=l,

4323433

甲得一1分的概率P(X=-1)=彳x1+ix—+,

所以甲得Ki=-3,-2,…3)时，最终获胜有以下三种情况：

(1)下一轮得1分并最终获胜，概率为:匕4+1；

(2)下一轮得。分并最终获胜，概率为g6M；

(3)下一轮得-1分并最终获胜，概率为:匕J；

所以匕=>组=%+么”(〃=2,3,4,567),

所以｛1/是等差数列,

则…g=」h_+一R=1

22

即决赛甲获胜的概率是7.

2

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.

20、(1)佶-后((2)cosC=—

122」14

【解析】

(1)将f(x)=sin2x+^\+cos2x+>/3sinxcosx,利用三角恒等变换转化为:，/(x)=2sin2x+J+4，再

根据正弦函数的性质求解.

(2)根据得sin(A+f|=l,又A为3c的内角，得到A=£,再根据c°s(A+C)=—九3,利

12；2I6,1314

用两角和与差的余弦公式求解,

【详解】

(1)/⑴=立sin2s+：cos2x+"。酬2。十@而2s,

2222

=5/3sin2x+cos2x+—=2sin|2x+—|+—,

2I6)2

..71不兀2冗.6.(乃

・「|

X63632I6j

-&</(x)A'

115-

即/(X)的值域为--V3,-;

122J

(2)由/—=彳，得sin(A+丁=1,

12J2\6)

71

又4为ABC的内角，所以A=工，

3

又因为在AABC中，cos(4+C)=—」一，

14

所以sin(A+C)=—,

14

所以cosC=cosA+C-yl=—cos(A+C)+-^-sin(A+C)=^^-.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，

21、(1)y+y2=1(2)是，2五

【解析】

(1)设P(xy),根据条件可求出P的坐标，再利用8,P在椭圆上，代入椭圆方程求出。，〃即可；

(2)设.“(药》)%(均遍)(%>°，々>。)运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出|NQ|,再利用焦半