2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）3.1 函数的概念及其表示（十一大题型）

3.1函数的概念及其表示目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：函数的概念 2题型二：给出解析式求函数的定义域 3题型三：抽象函数求定义域 4题型四：给出函数定义域求参数范围 5题型五：同一函数的判断 6题型六：给出自变量求函数值 7题型七：求函数的值域 9题型八：求函数的解析式 10题型九：分段函数求值、不等式问题 12题型十：区间的表示与定义 13题型十一：函数的图象 14【重难点集训】 16【高考真题】 27【题型归纳】题型一：函数的概念1．（2024·高一·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应，显然A、B、C符合题意，而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义.故选：D2．（2024·高一·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（

）A．，，B．，，对应关系如图：C．，，f：D．，，f：【答案】B【解析】对于A，，一个可以对应两个，不属于函数，故A错误；对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确；对于C，中，，而，故集合中的元素2在集合中没有对应的函数值，故C错误；对于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中没有对应的函数值，故D错误.故选：B3．（2024·高一·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（

）种．A．4 B．6 C．7 D．9【答案】B【解析】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数，根据函数的定义知：若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况；若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况，所以函数的值域的不同情况有种.故选：B.题型二：给出解析式求函数的定义域4．（2024·高一·江苏常州·期中）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，解得且，所以函数的定义域为.故选：C5．（2024·高一·广西钦州·开学考试）函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（

）A． B．且C． D．或【答案】C【解析】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：C6．（2024·高一·广东湛江·期末）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得且，所以函数的定义域是.故选：C.7．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为.故选：A题型三：抽象函数求定义域8．（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【解析】依题意，函数的定义域为，所以函数有意义应满足，解得，所以的定义域为.故答案为：9．（2024·高二·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为.故选：A.10．（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）函数定义域是，则定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数定义域是，所以由f2x+1得，解得则f2x+1故选：B.11．（2024·高一·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的定义域是，即，则；对于函数，可知，解得，所以函数的定义域为.故选：C.题型四：给出函数定义域求参数范围12．（2024·高一·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立.若，不等式转化为：，显然成立；若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述，故选：A13．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为R，可知的解集为R，若，则不等式为恒成立，满足题意；若，则，解得．综上可知，实数k的取值范围是．故选：B．题型五：同一函数的判断14．（2024·高一·贵州六盘水·期中）下列函数中与相同的函数为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为的定义域为，值域，对A，定义域，故错误；对B，，定义域，故错误；对C，，定义域，解析式相同，故正确；对D，定义域，故错误.故选：C15．（2024·高一·福建三明·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】对于A，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，故选项A正确；对于B，，与的对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B不正确；对于C，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故选项C不正确；对于D，定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一函数，故选项D不正确，故选：A.16．（2024·高一·四川·阶段练习）下列各组函数中表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，，定义域不同，即不是同一函数，故A不正确；对于B，定义域、对应关系相同，故为同一函数，故B正确；对于C，，定义域相同，对应关系不同，即不是同一函数，故C不正确；对于D，定义域不同，函数不是同一函数，故D不正确.故选：B题型六：给出自变量求函数值17．（2024·高三·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令得；令得，所以；令得，所以；令得，所以；令4得.综上只有正确.故选：A18．（2024·高一·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】取，有.故选：D.19．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数，，都有成立.(1)求，的值;(2)求证：（）;(3)若，（，均为常数），求的值.【解析】（1）令，则，故.令，则，故.（2），，又，故（）.（3），，故.题型七：求函数的值域20．（2024·高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【解析】（1），且，则．所以函数的值域为.（2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为.（3）函数图象的对称轴为，而，当时，，当时，，所以函数的值域为．（4）函数的定义域为，，所以函数的值域为．21．（2024·高一·上海·假期作业）求值域：(1)，(2)，【解析】（1）因为，所以函数的值域为.（2）因为，其中对称轴为，且，则时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为，所以函数值域为.22．（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）求下列函数的值域.(1);(2);(3),.【解析】（1）设,则,所以,根据二次函数的图像和性质,函数的值域为.（2）函数的定义域为,,所以函数的值域为.（3）因为函数的对称轴为,所以函数在单调递减,单调递增,所以函数的值域为.23．（2024·高一·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域.（2）已知，求函数的最小值.【解析】（1），当且仅当时等号成立，则函数值域为.（2）因为，，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为，此时.题型八：求函数的解析式24．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式；【解析】（1）设，则.，解得，或，或.（2）令，则，，即.（3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立，得，解得.25．（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式；（4）已知，求的表达式．【解析】（1）设．∵，，解得或，∴或．（2）令则．∵，∴．（3）令，，则，即．∵，∴，∴．（4）∵，①∴．②得，∴．26．（2024·高一·山西大同·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足.求的解析式.【解析】设一次函数，由，可得，整理得，由于的任意性，所以，解得，故的解析式为.题型九：分段函数求值、不等式问题27．（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】当时，，，得，所以；当时，，，得，所以；当时，，，得，所以无解；综上所述，不等式的解集为.故答案为：28．（2024·高一·山东泰安·期中）设，则的值为.【答案】11【解析】.故答案为：.题型十：区间的表示与定义29．（2024·高一·上海·专题练习）用区间表示下列集合：(1)；(2)不等式的所有解组成的集合．【解析】（1）转化为区间为（2）不等式的所有解组成的集合为，转化为区间为.30．（2024·高一·全国·课后作业）用区间表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）31．（2024·高一·全国·专题练习）将下列集合用区间表示出来．(1)；(2)；(3)；(4)或．【解析】（1）用区间表示为；（2）用区间表示为；（3）用区间表示为；（4）或用区间表示为.32．（2024·高一·全国·课后作业）将下列集合用区间表示出来：(1)；(2)；(3).【答案】【解析】根据区间的定义可得：,，故答案为：；；题型十一：函数的图象33．（2024·高一·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（

）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，没有图象对应；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时离开家的距离图像为递增图像，与学校的距离为递减图象，对应图像BD；故选：C34．（2024·高一·上海·期中）如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意，故选：D．35．（2024·高一·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（

）12343-1

A．-1 B．0 C．3 D．4【答案】A【解析】由图象可知，而由表格可知，所以.故选：A36．（2024·高一·四川内江·期中）在下列图象中，表示函数图象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对A，存在一个，有无数个与之对应，所以不是函数图象，A错误；对B，对定义域内的任意，有且仅有唯一的与之对应，是函数图象，B正确；对C，存在一个，有两个与之对应，所以不是函数图象，C错误；对D，存在一个，有两个与之对应，所以不是函数图象，D错误；故选:B.37．（2024·高一·福建福州·期中）某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D．【重难点集训】1．（24-25高一上·湖南株洲·开学考试）定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（

）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【解析】因为直线经过点，则，解得，直线，由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以该等腰三角形的高等于斜边的一半，因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），因为当时，，当时，，当时，，所以美丽抛物线的顶点只有，①若为顶点，由，则；②若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】显然，．当时，．令，当时，，当且仅当时等号成立，则；当时，，当且仅当时等号成立，则．综上所述，的值域为，所以根据高斯函数的定义，函数的值域是，故选：C．3．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，则.故选：A.4．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于选项A，，，故，故A不正确；对于选项B，，，故，故B不正确；对于选项C，，，故，故C不正确；对于选项D，，，故，故D正确.故选：D.5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）函数称为取整函数，也称高斯函数.其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.解的个数（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【解析】由题意可知，不妨设，，将其代入中，可得：，即：.①当时，可得，因，故，即方程有5个解；②当时，可得，故，即方程有5个解；③当时，可得，故，即方程有5个解；④当时，可得，故，即方程有5个解；⑤当时，可得，故，即方程有5个解；⑥当时，可得，故.综上，解的个数为.故选：B.6．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（

）．A．2012 B． C．2013 D．【答案】B【解析】由可得：，所以，，所以设，则两式相加可得：．故选：B.7．（23-24高一上·浙江·期末）若函数y=fx的定义域为，则函数的定义域为（

A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数y=fx所以，解得或，故函数的定义域为，故选：A.8．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（

）A．0 B．1 C．5 D．【答案】C【解析】由题意在中令，则，解得，令，则，则，所以.故选：C.9．（多选题）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，.【答案】BD【解析】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数；选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数；选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，故选：BD10．（多选题）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（

）A．与表示同一个函数B．函数的定义域为则函数的定义域为C．关于x的不等式，使该不等式恒成立的实数k的取值范围是D．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以函数的定义域为，因为，所以函数的定义域为，所以两个函数的定义域相同，又，所以两个函数的解析式相同，故两个函数表示同一函数，故A正确；对于B，因为函数的定义域为，由，得，所以，即，所以的定义域为，故B正确；对于C，当时，不等式恒成立，故C错误；对于D，的解集为，，，，，，即，解得：或，即不等式的解集为，故D正确；故选：ABD.11．（多选题）（23-24高一上·江西上饶·期末）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（

）A．方程的解为B．对任意，都存在，C．对任意，恒成立D．存在三个点，，，使得为等边三角形【答案】ABD【解析】A选项，若，则，若，则（舍去），所以，A选项正确.B选项，对任意，都存在，，B选项正确.C选项，若，则，此时，，C选项错误.D选项，为等边三角形，则高为，则边长为，如时，为等边三角形，D选项正确.故选：ABD12．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数y=fx满足：(为实数），且，那么代数式．【答案】【解析】根据题意，令，则，所以.所以，因为共有个，所以.故答案为：.13．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为．（2）函数的定义域为．【答案】【解析】（1）由题意得，即，解得，所以的定义域为；（2）由题意得，解得且，所以的定义域为．故答案为:，14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为．【答案】【解析】因为，且，可知，令，整理可得，解得或，若方程有唯一解，则或，解得，又因为，解得，所以．故答案为：.15．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）（1）已知，，求的值域．（2）已知，求的值域．【解析】（1）因为，，所以，则当时，，所以的值域为；（2）因为，令t≥3，则，所以t≥3，所以，所以当时，，则的值域为16．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数(1)求函数的解析式；(2)求关于的不等式解集.（其中）【解析】（1）由题意，函数，令，则，所以.（2）由（1）知，即不等式转化为，则，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.17．（23-24高一上·天津·期末）函数，(1)若的解集是或，求实数，的值；(2)当时，若，求实数的值；(3)，若，求的解集.【解析】（1）不等式的解集为或，，且的两根为，，，，，.（2），得，.（3），，即，（1）当时，（2）当时，则，①当时，；②当时，若，即时，或，若，即时，；若，即时，或；综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18．（24-25高一上·吉林·阶段练习）对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，.(1)对于函数，分别求出集合和；(2)对于所有的函数，证明：；(3)设，若，求集合.【解析】（1）由，得，解得；由，得，解得，集合，．（2）若，则显然成立；若，设为中任意一个元素，由，可得.（3），，即，解得，，，，，，或或，.【高考真题】1．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））某地一年内的气温（单位：）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为.令