2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）2．1 等式性质与不等式性质（七大题型）

2．1等式性质与不等式性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：用不等式（组）表示不等关系 2题型二：作差法比较两数（式）的大小 3题型三：作商法比较两数（式）的大小 3题型四：利用不等式的性质判断命题真假 4题型五：利用不等式的性质证明不等式 6题型六：利用不等式的性质比较大小 7题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 9【重难点集训】 10【高考真题】 17【题型归纳】题型一：用不等式（组）表示不等关系1．（2024·高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．2．（2024·高三·福建福州·开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为、、（单位：），这个规定用数学关系式可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知．故选：D．3．（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【解析】长、宽、高之和不超过Mcm，∴a+b+c≤M.故选：A.4．（2024·高二·湖南怀化·期中）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意：生活费a不低于300元，即.故选：B题型二：作差法比较两数（式）的大小5．（2024·高一·上海·随堂练习），则．【答案】【解析】由作差法得，所以.故答案为：.6．（2024·高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小.【解析】由，又a、b为实数，，，则，所以.7．（2024·高一·上海·课堂例题）已知，求证：.【解析】，因为，所以，又，所以，所以.8．（2024·高一·上海·课堂例题）已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件．【解析】由题意可知：，因为，则，且，当且仅当时，等号成立，所以，即，等号成立的条件为.题型三：作商法比较两数（式）的大小9．（2024·高一·北京·阶段练习）设，，则（填入“＞”或“＜”）．【答案】【解析】∵，即.又，.故答案为：>.10．（2024·高二·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是.【答案】【解析】因为，所以，，因为，，所以，即故答案为：11．（2024·高一·上海·专题练习），则的大小关系为．【答案】≥【解析】因为，则由所以故答案为：12．（2024·高一·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是【答案】【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：题型四：利用不等式的性质判断命题真假13．（2024·高一·广东湛江·阶段练习）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（

）A．若， B．若，C．若， D．若，【答案】D【解析】对于A：若，，则，则，故A错误；对于B：若，，例如，则，故B错误；对于C：若，可得，则，无法得出，故C错误；对于D：若，则，可得，则，所以，故D正确．故选：D．14．（2024·高一·广东湛江·期末）下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误；B选项，不妨设，满足，但，B错误；C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误；D选项，∵，∴，平方得，D正确.故选：D.15．（2024·高一·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】对于A，若，又，则，故A正确，对于B，若，，满足，但是，故B错误，对于C，若，则，故C错误，对于D，若，，满足，但是，故D错误，故选：A．16．（2024·高一·上海·单元测试）若a、b、且，则下列不等式中成立的是（

）．A． B．C．（n为自然数） D．【答案】C【解析】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，若，则，所以D错误.故选：C题型五：利用不等式的性质证明不等式17．（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，求证．【解析】证明：因为，，所以，又因为，，所以，由不等式传递性，．18．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小；（2）证明：已知，且，求证：.【解析】（1），则；（2）因为，且，则，则，则，则，则，则，又则.命题得证.19．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）（1）当时，比较与的大小；（2）当时，求证：．【解析】（1），若，，所以，若，，所以，综上：若，；若，.（2）由于，因为，所以，，，所以，所以.20．（2024·高一·浙江温州·阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以.题型六：利用不等式的性质比较大小21．（多选题）（2024·高一·广西南宁·期末）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，知必有，所以两边同乘以a，得，故A正确；因为b的符号不能确定，所以不一定正确，故B错误；由两边同乘以c，得，故C正确；当，时，满足且，但，故D错误．故选：AC．22．（多选题）（2024·高一·山东·专题练习）对于实数，下列命题是真命题的为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，当时，由可得，当时，由可得，综上可得若，则，故B正确；对于C：当，，满足，但是，故C错误；对于D：因为，，即，，即，，，，故D正确．故选：ABD23．（多选题）（2024·高一·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确；对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确；对于C，若，可得，故C错误；对于D，由及，可得，故D正确．故选：ABD．24．（多选题）（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知均为非零实数，则下列一定正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，时，显然不成立，故B错误；对于C，因为，且函数在上单调递减，所以，故C正确；对于D，因为，所以，根据不等式的性质可知，，故D正确.故选：ACD.25．（多选题）（2024·高二·湖南·期中）已知且，．则下列关系一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由题意可知，，对于A，由，，根据同向可加性得，故A正确；对于B，取，验证B错误；对于C，若，等式不成立，故C错误；对于D，两式做差得，因为，所以，所以，故D正确.故选：AD.题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围26．（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的范围是．【答案】【解析】因为，所以，27．（2024·高一·山东枣庄·期中）若，则的范围为.【答案】【解析】∵，∴，又，∴．故答案为：28．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）若，，则的范围是，的范围是．【答案】【解析】因为，所以，由可得，所以，由可得，因为，所以，29．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）设，，求，，的范围.【解析】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【重难点集训】1．（2024·高二·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确；对于B，当，时，，，则，故B错误；对于C，当，时，，，则，故C错误；对于D，当，时，，故D错误.故选：A.2．（2024·高三·浙江杭州·专题练习）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生【答案】C【解析】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根据题意可知，，根据异向不等式可减的性质有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.3．（2024·高一·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A，当时，无意义，故A错误，对于B，当时，无意义，故B错误，对于C，若且，则，，故C正确，对于D，令，则，，显然，故D错误，故选：C4．（2024·高一·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（

）A． B．C． D．与的大小与的取值有关【答案】A【解析】由，且，即，可得，即，故选：A.5．（2024·高一·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，，，，，，，．故选：C．6．（2024·高一·北京昌平·期末）对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】对于A：如果，当时，则，选项A不正确；对于B：如果，取，，满足条件，但，选项B不正确；对于C：如果，取，，满足条件，但，选项C不正确；对于D：如果，则必有，故，则，选项D正确.故选：D.7．（2024·高三·全国·专题练习）根据条件：a，b，c满足，且，有如下推理：①

②

③

④其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】由，因为，所以，对于b的值可正可负也可为0，因为，而，所以，所以①错误；因为，，从而，所以②错误；因为，当时，，当时，由，所以③正确；因为，，④正确；综上可知，③④正确.故选：B．8．（2024·高一·安徽·期中）已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.因为，所以.故选：B.9．（多选题）（2024·高一·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【解析】对于A，由，，知，得，故A正确；对于B，当时，故B错误；对于C，当时，由，得，又，则，故有，故C正确；对于D，当，时，，D中不等式不一定成立，故D错误．故选：AC.10．（多选题）（2024·高一·云南昭通·期末）已知，，则以下正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因为，，所以，对于A，当，时，；当，时，，则，即；当，时，，则，即；当，时，，，则；综上，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当，时，，故D错误，故选：ABC.11．（多选题）（2024·高一·湖北襄阳·期末）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数，满足，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为，而，，所以，即，故A正确，B错误；因为，，所以，即，故C正确，D错误.故选：AC12．（2024·高一·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是【答案】①②④【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；对于②，当时，满足，不满足，故②错误；对于③，由，则，即，故③正确；对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误.故答案为：①②④.13．（2024·高二·全国·竞赛）已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是.【答案】112【解析】由得，，即.又由整数k的唯一性知，，解得，而时，，，满足的整数k只有97，故符合.故答案为：.14．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是【答案】22【解析】由题意不妨设，则，解得，所以，注意到，所以，，所以当且仅当即时，取得最大值22，综上所述：的最大值是22.故答案为：22.15．（2024·高一·上海·课堂例题）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是哪位老师？请写出理由的关键不等式．【解析】叶老师的平均价格为，王老师的平均价格为，于是有：，因为每次打的酱油价格都不相同，所以a、b、c互不相等，所以，即所以叶老师的平均价格更低．故平均价格较低的是叶老师，理由的关键不等式为．16．（2024·高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小.【解析】，所以，当且仅当时取等号.17．（2024·高一·浙江·专题练习）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱工时产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？【解析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有总产值,而,,即.故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.18．（2024·高一·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小：(1)已知，试比较与的大小；(2)已知，比较与的大小．【解析】（1）依题意，，由，得，则，且，即，所以．（2）依题意，，由，得，而，因此，所以．【高考真题】1．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））若，，，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，取，满足，但，故A错误；对于B，取，满足，但，故B错误；对于D，取，则，故D错误；对于C，因为，则，又，所以，故C正确.故选：C.2．（1987年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））设a，b是满足的实数，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，满足，则，此时，故不正确；对于B，因为，所以，所以，所以，故正确；对于C，满足，则，，此时，故不正确；对于D，满足，则，此时，故