2025年人教A新版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A新版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、若则f′（x）的解集为（）A.B.（-1,0）C.D.2、条件的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、【题文】已知函数的最小正周期为将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A.B.C.D.4、【题文】在等差数列中，前项的和为若（且），则公差的值是（）A.－B.－C.－D.－5、从编号为0，1，2，，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（）A.8B.10C.12D.166、椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（）A.B.C.D.7、复数（-+i）2对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8、已知函数y=f(x)

的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f隆盲(x)

的图象如图所示，则该函数的图象是(

)

A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、已知向量且∥则实数的值为．10、原点到直线的距离．11、（文）在△ABC中，设A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c，则A=____．12、已知若向区域上随机投一点则点落入区域的概率为____________。13、如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是____14、【题文】在中,分别为角所对的边，若则____.15、给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之积为-设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别曲线C的左；右焦点；则下列命题中：

（1）曲线C的焦点坐标为F1（-5，0）、F2（5；0）；

（2）曲线C上存在一点M，使得S=9；

（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为

（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|-|PF2|的最大值为

其中正确命题的序号是______．16、点P

是曲线y=x2鈭�lnx

上任意一点，则点P

到直线y=x+2

的距离的最小值是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)22、如图，在三棱柱中,点D是上一点，且（1）求证：平面平面（2）求证：平面（3）求二面角的余弦值23、已知为空间的一个基底，且（1）判断四点是否共面；（2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量24、已知以点P为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．

（1）求直线CD的方程；

（2）求圆P的方程．25、如图，已知椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b>0)

的离心率为32

以椭圆C

的左顶点T

为圆心作圆T(x+2)2+y2=r2(r>0)

设圆T

与椭圆C

交于点M

与点N

．

(1)

求椭圆C

的方程；

(2)

求TM鈫�鈰�TN鈫�

的最小值；并求此时圆T

的方程；

(3)

设点P

是椭圆C

上异于MN

的任意一点，且直线MPNP

分别与x

轴交于点RSO

为坐标原点，求证：|OR|?|OS|

为定值．评卷人得分五、计算题(共3题，共12分)26、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．27、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).28、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。评卷人得分六、综合题(共3题，共27分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】试题分析：【解析】

函数的定义域为：由得：因为所以，该不等式同解于：解得：所以选C.考点：1、基本导数公式与求导法则；2、一元二次不等式（组）的解法.【解析】【答案】C2、A【分析】【解析】试题分析：根据题意，小集合是大集合成立的充分条件且是不必要条件，那么由于因此可知条件是结论成立的充分不必要条件，选A.考点：充分条件【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】

试题分析：函数的最小正周期为所以

从而将各选项代入验证可知选

考点：1、三角函数的周期；2、函数图象的变换【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A5、B【分析】【解答】解：样本间隔为80÷5=16；

∵42=16×2+10；

∴该样本中产品的最小编号为10；

故选：B

【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．6、A【分析】【解答】∵椭圆椭圆与圆的中心都在原点；

且它们有四个交点；

∴圆的半径满足

由得2c＞b，再平方，4c2＞b2；

在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2；

∴e=＞

由得b+2c＜2a；

再平方，b2+4c2+4bc＜4a2；

∴3c2+4bc＜3a2；

∴4bc＜3b2；

∴4c＜3b；

∴16c2＜9b2；

∴16c2＜9a2-9c2；

∴9a2＞25c2；

∴

∴e＜．

综上所述；

．

故选A．

【分析】典型题，本题在考查数学知识的同时，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想。7、C【分析】解：∵复数（-+i）2=--

∴复数在复平面上对应的点的坐标是（-）

∴对应的点位于复平面的第三象限；

故选C．

首先进行复数的乘方运算；把所得的结果整理成复数的代数形式的标准形式，写出复数对应的点的坐标，看出点的位置．

本题考查复数的代数表示及其几何意义，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题．【解析】【答案】C8、B【分析】解：由导数的图象可得；导函数f隆盲(x)

的值在[鈭�1,0]

上的逐渐增大；

故函数f(x)

在[鈭�1,0]

上增长速度逐渐变大；故函数f(x)

的图象是下凹型的．

导函数f隆盲(x)

的值在[0,1]

上的逐渐减小；

故函数f(x)

在[0,1]

上增长速度逐渐变小；图象是上凸型的；

故选B．

根据导数的图象；利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．

本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】试题分析：由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=建立方程解得k=考点：（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：原点到直线的距离考点：点到直线的距离.【解析】【答案】11、略

【分析】

因为在△ABC中，设A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c；

由余弦定理可知cosA=所以A=．

故答案为：．

【解析】【答案】直接利用余弦定理求出coaA；然后求出A的大小即可．

12、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于则结合不等式表示的平面区域可知总面积为36，其中，若向区域上随机投一点的面积为8,，则点落入区域的概率为故答案为考点：几何概型【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】试题分析：观察三视图可知，几何体是一个组合体，由一个棱长为4的正方体与一个底面边长为4，高为2的正四棱锥组成，所以此几何体的表面积是5×+4×=考点：本题主要考查三视图及几何体表面积计算。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：由余弦定理代入计算得

考点：解三角形。

点评：解三角形的题目主要应用正余弦定理，本题较简单，直接利用余弦定理公式代入即可求值【解析】【答案】315、略

【分析】解：∵动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之积为-

∴=-整理，得曲线C的方程为：=1；x≠±4

在（1）中，∵F1、F2分别曲线C的左、右焦点，c==

∴线C的焦点坐标为F1（-0）、F2（0），故（1）错误；

在（2）中，曲线C上存在一点M，（S）max==bc=3＜9；故（2）错误；

在（3）中，当∠PF2F1=90°时，|PF2|==|PF1|=8-=的值为故（3）正确；

在（4）中，当P，F2，A共线时，|PA|-|PF2|的最大值为|AF2|==故（4）正确．

故答案为：（3）（4）．

求出曲线C的方程为：=1；x≠±4．

在（1）中，C的焦点坐标为F1（-0）、F2（0）；在（2）中，（S）max=3＜9；在（3）中，由椭圆定义得的值为在（4）中，当P，F2，A共线时，|PA|-|PF2|的最大值为|AF2|．

本题考查椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】（3）（4）16、略

【分析】解：设P(x,y)

则y隆盲=2x鈭�1x(x>0)

令2x鈭�1x=1

则(x鈭�1)(2x+1)=0

隆脽x>0隆脿x=1

隆脿y=1

即平行于直线y=x+2

且与曲线y=x2鈭�lnx

相切的切点坐标为(1,1)

由点到直线的距离公式可得d=|1鈭�1+2|2=2

故答案为：2

求出平行于直线y=x+2

且与曲线y=x2鈭�lnx

相切的切点坐标；再利用点到直线的距离公式可得结论．

本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】2

三、作图题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)22、略

【分析】证明：（1）依题意，又又平面平面4分（2）连结交于点则是的中点，连结．由（Ⅰ）知是中点又平面．8分（3）如图，建立空间直角坐标系设则．设平面的一个法向量为则即令．取平面的一个法向量为则cos．所以二面角大小的余弦值为．13分【解析】【答案】（1）证明略（2）证明略（3）23、略

【分析】本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题，以及判定空间向量的基底的定义的运用。（1）假设四点共面，则存在实数使且那么可以根据这个结论得到方程组，求解判定不成立。（2）利用不同面的三个向量可以充当空间的基底，那么我们可以得到，判定【解析】

（1）假设四点共面，则存在实数使且即．4分比较对应的系数，得一关于的方程组解得与矛盾，故四点不共面；6分（2）若向量共面，则存在实数使同（1）可证，这不可能，因此可以作为空间的一个基底，令由联立得到方程组，从中解得10分所以【解析】【答案】（1）四点不共面；（2）．24、略

【分析】

（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；

（2）根据条件得知|PA|为圆的半径；点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程．

此题考查直线方程的点斜式，和圆的标准方程．【解析】解：（1）直线AB的斜率kAB=1；AB中点坐标为（1，2），（3分）

由题意可知直线AB与CD垂直，故kAD•kAB=-1．

所以kCD=-1．

∴直线CD方程为y-2=-（x-1）即x+y-3=0（6分）

（2）设圆心P（a，b）；则由点P在直线CD上得：

a+b-3=0①（8分）

又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4

∵以点P为圆心的圆经过点A（-1；0）

∴|PA|=2．

∵P（a，b）；A（-1，0）

∴|PA|2=（a+1）2+b2=（2）2②（10分）

由①②解得或

∴圆心P（-3；6）或P（5，-2）（12分）

∴圆P的方程为（x+3）2+（y-6）2=40或（x-5）2+（y+2）2=40（14分）25、略

【分析】

(1)

依题意，得a=2e=ca=32

由此能求出椭圆C

的方程．

(2)

法一：点M

与点N

关于x

轴对称，设M(x1,y1)N(x1,鈭�y1)

设y1>0.

由于点M

在椭圆C

上，故y12=1鈭�x124.

由T(鈭�2,0)

知TM鈫�鈰�TN鈫�=(x1+2,y1)鈰�(x1+2,鈭�y1)=54(x1+85)2鈭�15

由此能求出圆T

的方程．

法二：点M

与点N

关于x

轴对称，故设M(2cos娄脠,sin娄脠)N(2cos娄脠,鈭�sin娄脠)

设sin娄脠>0

由T(鈭�2,0)

得TM鈫�鈰�TN鈫�=(2cos娄脠+2,sin娄脠)鈰�(2cos娄脠+2,鈭�sin娄脠)=5(cos娄脠+45)2鈭�15

由此能求出圆T

的方程．

(3)

法一：设P(x0,y0)

则直线MP

的方程为：y鈭�y0=y0鈭�y1x0鈭�x1(x鈭�x0)

令y=0

得xR=x1y0鈭�x0y1y0鈭�y1

同理：xS=x1y0+x0y1y0+y1(10

分)

故xR鈰�xS=x12y02鈭�x02y12y02鈭�y12

由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4

为定值.

法二：设M(2cos娄脠,sin娄脠)N(2cos娄脠,鈭�sin娄脠)

设sin娄脠>0P(2cos娄脕,sin娄脕)

其中sin娄脕鈮�隆脌sin娄脠.

则直线MP

的方程为：y鈭�sin娄脕=sin娄脕鈭�sin娄脠2cos伪鈭�2cos胃(x鈭�2cos娄脕)

由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4

为定值．

本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．【解析】解：(1)

依题意，得a=2e=ca=32

隆脿c=3b=4鈭�3=1

故椭圆C

的方程为x24+y2=1.(3

分)

(2)

方法一：点M

与点N

关于x

轴对称；

设M(x1,y1)N(x1,鈭�y1)

不妨设y1>0

．

由于点M

在椭圆C

上，所以y12=1鈭�x124.(*)(4

分)

由已知T(鈭�2,0)

则TM鈫�=(x1+2,y1)TN鈫�=(x1+2,鈭�y1)

隆脿TM鈫�鈰�TN鈫�=(x1+2,y1)鈰�(x1+2,鈭�y1)

=(x1+2)2鈭�y12

=(x1+2)2鈭�(1鈭�x124)=54x12+4x1+3

=54(x1+85)2鈭�15.(6

分)

由于鈭�2<x1<2

故当x1=鈭�85

时，TM鈫�鈰�TN鈫�

取得最小值为鈭�15

．

由(*)

式，y1=35

故M(鈭�85,35)

又点M

在圆T

上，代入圆的方程得到r2=1325

．

故圆T

的方程为：(x+2)2+y2=1325.(8

分)

方法二：点M

与点N

关于x

轴对称；

故设M(2cos娄脠,sin娄脠)N(2cos娄脠,鈭�sin娄脠)

不妨设sin娄脠>0

由已知T(鈭�2,0)

则TM鈫�鈰�TN鈫�=(2cos娄脠+2,sin娄脠)鈰�(2cos娄脠+2,鈭�sin娄脠)

=(2cos娄脠+2)2鈭�sin2娄脠

=5cos2娄脠+8cos娄脠+3

=5(cos娄脠+45)2鈭�15.(6

分)

故当cos娄脠=鈭�45

时，TM鈫�鈰�TN鈫�

取得最小值为鈭�15

此时M(鈭�85,35)

又点M

在圆T

上，代入圆的方程得到r2=1325

．

故圆T

的方程为：(x+2)2+y2=1325.(8

分)

(3)

方法一：设P(x0,y0)

则直线MP

的方程为：y鈭�y0=y0鈭�y1x0鈭�x1(x鈭�x0)

令y=0

得xR=x1y0鈭�x0y1y0鈭�y1

同理：xS=x1y0+x0y1y0+y1(10

分)

故xR鈰�xS=x12y02鈭�x02y12y02鈭�y12(**)(11

分)

又点M

与点P

在椭圆上；

故x02=4(1鈭�y02)x12=4(1鈭�y12)(12

分)

代入(**)

式；

得：xR鈰�xS=4(1鈭�y12)y02鈭�4(1鈭�y02)y12y02鈭�y12=4(y02鈭�y12)y02鈭�y12=4

．

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4

为定值.(14

分)

方法二：设M(2cos娄脠,sin娄脠)N(2cos娄脠,鈭�sin娄脠)

不妨设sin娄脠>0P(2cos娄脕,sin娄脕)

其中sin娄脕鈮�隆脌sin娄脠

．

则直线MP

的方程为：y鈭�sin娄脕=sin娄脕鈭�sin娄脠2cos伪鈭�2cos胃(x鈭�2cos娄脕)

令y=0

得xR=2(sin娄脕cos娄脠鈭�cos娄脕sin娄脠)sin伪鈭�sin胃

同理：xS=2(sin娄脕cos娄脠+cos娄脕sin娄脠)sin伪+sin胃(12

分)

故xR鈰�xS=4(sin2娄脕cos2娄脠鈭�cos2娄脕sin2娄脠)sin2伪鈭�sin2胃=4(sin2娄脕鈭�sin2娄脠)sin2伪鈭�sin2胃=4

．

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4

为定值.(14

分)

五、计算题(共3题，共12分)26、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．27、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.28、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/3六、综合题(共3题，共27分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴