2025年北师大版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册月考试卷798考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、平面向量与的夹角为则（）A.B.C.D.2、【题文】函数的定义域是（）A.[1，+∞)B.(1,+∞)C.(2，+∞)D.[2，+∞)3、（2015·湖北）设定义符号函数则（）A.B.C.D.4、已知直线l1：3x﹣y+5=0，l2：6x+ay+1=0，若l1∥l2，则a=（）A.2B.C.-2D.-5、已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（）A.b＜a＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.a＜c＜b6、设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1＞0．若S2＞2a3，则q的取值范围是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、化简sin13°cos32°+sin32°cos13°=____．8、设则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为____．9、=____．10、把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米．

11、假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①②③④．则其中属于“互为生成函数”的是____________．12、【题文】复数z满足z(2+i)=2i－1,则复数z的实部与虚部之和为1

(14)若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位:cm),则它的侧视图的面积为13、【题文】已知为直线，为平面；有下列三个命题：

（1）则

（2）则

（3）则

（4）则

其中正确命题是14、面面平行的向量方法：证明这两个平面____的是____15、在下列命题中，真命题是____（写出所有真命题的序号）

①互为反函数的两个函数的单调性相同；

②y=f（x）图象与y=﹣f（﹣x）的图象关于原点对称；

③奇函数f（x）必有反函数f﹣1（x）．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)16、已知三点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量（k为常数且0＜k＜2，O为坐标原点，S△BOC表示△BOC的面积）

（1）求cos（β-γ）的最值及相应的k的值；

（2）求cos（β-γ）取得最大值时，S△BOC：S△AOC：S△AOB．

17、（本小题满分12分）已知定义在R上的分段函数是奇函数，当时的解析式为求这个函数在R上的解析式并画出函数的图像，写出函数的单调区间．18、已知

（1）化简f（x）

（2）若x是第三象限角，且求f（x）的值．

19、已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|DC|2）endarray

．

20、设函数f（x）=x|x-a|+b

（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．

（2）设常数b＜2-3；且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

21、{an}为等差数列，公差d>0，Sn是数列{an}前n项和,已知，（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．22、解不等式：（1）（2）23、【题文】(13分)计算(1)

(2)24、【题文】（本小题满分10分）

已知全集

（1）用列举法表示集合

（2）求评卷人得分四、计算题(共4题，共8分)25、如图，两个等圆圆O1，O2外切，O1A、O1B分别与圆O2切于点A、B．设∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）为抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点，则b=____，c=____．26、（+++）（+1）=____．27、（2002•宁波校级自主招生）如图，E、F分别在AD、BC上，EFCD是正方形，且矩形ABCD∽矩形AEFB，则BC：AB的值是____．28、（1）计算：．

（2）已知a2+2a-=0，求的值．评卷人得分五、作图题(共4题，共8分)29、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．30、请画出如图几何体的三视图．

31、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．32、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分六、综合题(共1题，共10分)33、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】试题分析：计算向量模的常用方法就是见模就平方，但最终还要再开方，这里最易犯的错误，就是平方后不再开方，结果选择错误答案D.考点：平面向量的模和向量的数量积.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】本题考查函数的定义域.

根据解析式确定函数定义域；使函数解析式有意义的自变量的取值范围.

要使函数有意义，需使所以函数的定义域是

故选C【解析】【答案】C3、D【分析】【解答】对于选项A，右边而左边显然不正确；对于选择B，右边而左边显然不正确；对于选项C，右边而左边显然不正确；对于选项D，右边而左边显然正确；故应选D.

【分析】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.4、C【分析】【解答】解：∵l1∥l2；

∴3=

∴a=﹣2；

故选C．

【分析】由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．5、C【分析】【解答】解：∵a=30.4＞30=1；

b=0.43=0.064；

c=log0.43＜log0.41=0；

∴c＜b＜a．

故选：C．

【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．6、B【分析】解：由题意可得a1＞0，且a1+a1q＞2a1q2，即2q2-q-1＜0；即（2q+1）（q-1）＜0．

解得-＜q＜1，又q≠0，∴q的取值范围是

故选B．

由题意可得a1＞0，且a1+a1q＞2a1q2；解一元二次不等式求得q的取值范围，注意q≠0这个隐藏条件．

本题主要考查数列的函数特性；等比数列的通项公式，一元二次不等式的解法，注意q≠0这个隐藏条件；

这是解题的易错点，属于中档题．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

sin13°cos32°+sin32°cos13°=sin13°cos32°+cos13°sin32°

=sin（13°+32°）=sin45°=

故答案为：

【解析】【答案】利用和角的正弦公式；即可得出结论．

8、略

【分析】

当α=-2时，y=x-2的定义域为{x|x≠0}；定义域不为R，故α=-2不合题意；

当α=时，y=的定义域为{x|x≥0}，定义域不为R，故α=不合题意；

当α=时，y=f（x）=定义域为R，且f（-x）===f（x）；故f（x）为偶函数；

∴α=符合题意；

当α=2时，y=f（x）=x2为定义域为R的偶函数；故α=2符合题意．

综上所述，使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为2．

故答案为：2．

【解析】【答案】利用幂函数的概念与幂函数的性质即可求得α值．

9、略

【分析】

=2（1+2++n）+（）

=2×+

=．

故答案为：．

【解析】【答案】仔细观察：根据其结构性质把它等价转化为2（1+2++n）+（）；然后利用等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解．

10、略

【分析】

设这两段的长度分别为x米；y米。

则x、y满足关系其平面区域为右上图所示阴影部分，两圆的面积之和为看成是个圆的方程，这个圆经过点A（4，3）或B（3，4）时，s最大，其最大值为平方米．

故答案为：．

【解析】【答案】先设这两段的长度分别为x米；y米；依题意得列出约束条件和目标函数，最后依据线性规则的方法求出目标函数的最大值即可．

11、略

【分析】试题分析：向左移动个单位，在向上移动个单位可得的图像，又故②、④没有。考点：三角函数图象的平移变换。【解析】【答案】①③12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（2）14、法向量共线向量【分析】【解答】解：若两个平面平行；则他们的法向量共线；

故面面平行的向量方法：证明这两个平面的法向量是共线向量；

【分析】面面平行的向量方法是：若两个平面平行，则他们的法向量共线15、①②【分析】【解答】解：①互为反函数的两个函数的单调性相同；正确，②y=f（x）图象与y=﹣f（﹣x）的图象关于原点对称，正确，③函数f（x）=0是奇函数，但函数f（x）=0没有反函数，故答案为：①②

【分析】①根据反函数的单调性之间的关系进行判断，②根据函数对称性的特点进行判断，③利用特殊值复数进行判断即可．三、解答题(共9题，共18分)16、略

【分析】

（1）由得

两边平方，得k2+（2-k）2+2k（2-k）cos（β-γ）=1

整理得

当k∈（0，2）时，k2-2k∈[-1，0），

又cos（β-γ）∈[-1；1]；

∴

当k=1时，cos（β-γ）取得最大值

当时；cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值时；k=1

此时，且的夹角为120°．

又

∴的夹角为120°．

故S△BOC：S△AOC：S△AOB=1：1：1．

【解析】【答案】（1）将已知中的向量关系变形为等式的一边有一个向量；将等式平方求出cos（β-γ）的函数式，分离常数，利用二次函数的最值求出范围。

（2）将k值代入向量等式求出三个向量的夹角；又三个向量的模相等，得到三个三角形全等，得到三角形的面积比．

17、略

【分析】试题分析：的定义域为R，且为奇函数∴．当时，∴当时，则而∴从而所画图像如图所示，由图可知，在上单调递增．试题解析：当时，因为是R上的奇函数，所以即当时，则则因为是奇函数，所以即图像如图函数的单调递增区间．考点：求函数的解析式及单调区间【解析】【答案】函数图像见解析；单调递增区间．18、略

【分析】

（1）==sinx．

（2）因为所以cosx=-

因为x是第三象限角，所以sinx=-=-=-．所以f（x）=-．

【解析】【答案】（1）直接利用诱导公式化简函数的表达式即可求出f（x）．

（2）利用诱导公式求出cosx；通过同角三角函数的基本关系式，求出sinx的值，即可求出f（x）的值．

19、略

【分析】

以D为坐标原点；BC所在直线为x轴建立如图坐标系。

设C（c，0），B（-c，0），A（a，b）

∴|AB|2=（a+c）2+b2，|AC|2=（a-c）2+b2

可得：|AB|2+|AC|2=[（a+c）2+b2]+[（a-c）2+b2]=2（a2+b2+c2）

∵|AD|2=a2+b2，|AC|2=c2．

∴2（|AD|2+|AC|2）=2（a2+b2+c2）

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AD|2+|AC|2）；原命题得证。

【解析】【答案】以D为坐标原点、BC所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分别计算出|AB|2；

|AC|2、|AD|2和|DC|2关于a、b；c的式子；再进行比较即可证出原等式成立．

20、略

【分析】

（1）充分性：若a2+b2=0∴a=b=0

∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0

∴f（x）为奇函数；故充分性成立．（2分）

必要性：若f（x）为奇函数。

则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立；

即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0

令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a2+b2=0（6分）

（2）由b＜2-3＜0；当x=0时a取任意实数不等式恒成立。

当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立。

令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞gmax（x）=g（1）=1+b（10分）

令h（x）=x-则h（x）在（0，]上单调递减，[+∞）单调递增。

1°当b＜-1时h（x）=x-在0＜x≤1上单调递减。

∴a＜hmin（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）

2°当-1≤b＜2-3时，h（x）=x-≥2

∴a＜hmin（x）=2∴1+b＜a＜2．（14分）

【解析】【答案】（1）欲证f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0，须证两个方面：①充分性：若a2+b2=0⇒f（x）为奇函数，②必要性：若f（x）为奇函数⇒a2+b2=0．

（2）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+＜a＜x-恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+的最值即可求得实数a的取值范围．

21、略

【分析】

(1)又，d>0，∴，∴．（2）=．【解析】【答案】22、略

【分析】

（1）原不等式，所以原不等式的解集为；（2）原不等式，所以原不等式的解集为【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)

6分。

⑵

13分。

考点：对数的运算法则及性质；指数幂的运算。

点评：本题直接考查对数和指数幂的运算，属于基础题型。在运算过程中，我们一定要认真、仔细，避免出现计算错误。【解析】【答案】（1）2；（2）1.24、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）

（2）四、计算题(共4题，共8分)25、略

【分析】【分析】连接O1O2，O2A，O2B，根据切线的性质得到直角三角形，再由直角三角形中边的关系得到角的度数，确定A，B两点的坐标，用待定系数法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如图：

连接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切线，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因为两圆是等圆，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B=60°；即：α=60°；

∴A（，0）B（；0）．

把A；B两点的坐标代入抛物线得：

；

解方程组得：．

故答案为：-，．26、略

【分析】【分析】先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算．【解析】【解答】解：原式=（+++）•（+1）

=（-1+++-）•（+1）

=（-1）•（+1）

=2014-1

=2013．

故答案为2013．27、略

【分析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解析】【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD．

∴．

设AD=x；AB=y，则AE=x-y．

∴x：y=1：．

即原矩形长与宽的比为1：．

故答案为：1：．28、略

【分析】【分析】（1）根据负整数指数的含义；零指数幂的含义以及特殊三角函数值进行计算即可；

（2）先把括号内通分，然后约分得到原式=，再把a2+2a=整体代入进行计算即可．【解析】【解答】解：（1）原式=-1++1-×

=；

（2）原式=[-]•

=•

=；

∵a2+2a-=0；

∴a2+2a=；

∴原式==．五、作图题(共4题，共8分)29、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．30、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．31、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不