空间向量与立体几何练习卷-2023届高考数学一轮复习

空间向量与立体几何—2023届高考数学一轮复习空间向量与

立体几何创新+素养限时练【配套新教材】

1.如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱Q4=l,PB=PD=®,

则它的五个面中，互相垂直的共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

2.己知A4BC是面积为浊的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球O的表面积为

4

1面，则。到平面ABC的距离为（）

?/s

A.x/3B.-C.lD.—

22

3.在正方体488-AMGA中，E是阴的中点.若AB=6,则点8到平面ACE的距离等于

（）

A.x/5B.x/6C.-D.3

2

4.在矩形4BCO中，A3=3,4）=4,尸为矩形ABCO所在平面外一点，且%_L平面4BCD,

PA=竽，那么二面角A—皿）一尸的大小为（）

A.30°B,45°C.60°D.75°

5.如图，在三棱锥中，PA=AC=BC,H4_L平面ABC,ZACB=90°,O为PB的

中点，则直线CO与平面R4C所成角的余弦值为（）

p

c

A.逅B且C也D.l

2332

6.（多选）如图，在正五棱柱ABCQE-AMCQEI中,A8=2夜,",=4,尸为BC的中点;,M,N

分别为CG上两动点，且MN=l（BM＜助V）,则（）

n

A.EF±BN

B.三棱锥M-BEN的体积随点M的位置的变化而变化

C.当N为CC,的中点时,8W_L平面线EF

D.直线BN与平面3ME所成角的正切值最大为旦

4

7.（多选）如图在正方体48co-A&CQ中,E为线段位＞上的动点，则下列结论正确的是

（）

E

A.AC1BiD

B.平面BDD,1平面ACD1

C.线段8G上必有尸点使得平面CC\EH平面照尸

D.正方体内切球和外接球的半径比为1:2

8.如图所示，已知矩形A8CO中，AB=^BC=a,若P4_L平面4B。，在BC边上取点E,

使庄_LOE,则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是.

9.如图，已知三棱锥S-ABC的棱长均为1,S〃_L底面ABC点M,N在直线SH上，且

MN二年,若动点P在底面内，且△PMN的面积为*，则动点P的轨迹长度为

10.如图，直三棱柱48C-A4G的体积为4,△ABC的面积为2&.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为4。的中点，A4,=AB,平面ABC1平面AB&A，求二面角A-BO-C的正

弦值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为AB=AD=AP=1,PB=PD=y/i,所以AB-AP^PB?,AD2+AP2=PD2,

所以小JLAB,E4_LAT>.因为4BDAO=A,所以Q4_L底面ABCD因为RAu平面PA&

E4u平面P4Q,所以平面R$_L平面A8CQ,平面R4O_L平面44CD因为四边形44co

是正方形，所以9_L平面H4O,可得平面E4B_L平面PAO,BC_L平面尸48,可得平面

R$_L平面PBC,CD_L平面PAD,可得平面W>_L平面PCD.故选C.

2.答案：C

解析：设等边三角形A8C的边长为小因为其面积为型，所以〃°巫=亚，解得a=3.

4224

故A4BC的外接圆半径r=2.立口=且。=6.设球0的半径为R,因为球O的表面积为

323

1671,所以4冗W=16兀，得川=4.所以。到平面ABC的距离(1=依-户=1.故选C.

3.答案：B

解析：在正方体A8CD-A&CQ中，AB=6tE是8耳的中点，则的=3,

AE=CE=y/62+32=3>/5,AC=6五,「.5「其=1x班>/头历了-(3夜了=9#.设点8

到平面ACE的距离为心由%双=%八值得kk6x6x3=4x9病，解得人=述.故选

OrtOVD-/ILH

B.

4.答案：A

解析：过点A作AO_L8D于点O,连接尸。，则NAOP为二面角A—B。一尸的平面角.易知

ABA

AO=-=—f所以tan/A。尸=丝=立，故ZAOP=30°.

BD5AO3

5.答案：B

解析：如图，取PC的中点为£,连接E0,则OE//8C「.・P4_L平面ABC,8Cu平面ABC,

•.%_L2d4C_LBC.ACn24=4.「.NCJ"平面P4c又O£7/BC,「.。石，平面P4c.

・•.NOCE为直线CO与平面PAC所成的角.设必=AC=8C=2,则。石=1,CE=0

OC=G，cosNOCE=0=@.故选B.

OC3

6.答案：ACD

解析：因为尸为BC的中点，所以结合正五边形的对称性可知，瓦'J_8c.由正棱柱的性质易知

BBJ.EF.又因为BBJBC=8,所以£F_L平面8CG4.因为8Nu平面8。7内,所以

EFA.BN,故A正确.易知△BMN的面积为定值，点E到平面BCC.B,的距离为定值.因为三棱

锥M-BEN的体积等于三棱锥E-BMN的体积，所以三棱锥M-BEN的体积为定值，故B错

误.当N为CG的中点时,CM=1.因为tanN阴尸=变=也,tan/C8M=C^=e="，

BB、4BC25/24

所以NBBF=NCBM.因为BB[±BC,所以NCBM+/用用=90”,则BMLB、F.由选项A的

解答易知又因为砂IB,尸=尸,所以8M_L平面与日"故C正确.由题图可知,当点

M与点C重合时，直线BN与平面BWE所成的角最大，且最大角为NC5N,所以

tanZCfi/V=—=D正确.选ACD.

BC2&4

7.答案：ABC

解析：在正方体ABCD一A中,_L平面ABCD,ACu平面ABC。,所以B/_LAC.因

为底面ABCD为正方形，所以AC%,4513。=5,所以ACJ_平面。,因此AC_L旦。，

故选项A正确;因为ACJ■平面550,所以ACJ■平面网〃O,ACu平面4cq，所以平面

BDD、_L平面AC。,故选项B正确;当尸为BG的中点，七为皿）的中点时,A4,〃CG，A尸〃EC，

因此当尸为耳G中点时，平面CGE〃平面A4,产,故选项C正确;正方体的内切球半径为gA4,,

正方体的外接球半径为yM，故内切球和外接球的半径比为1：石，故选项D错误，故选

ABC.

8.答案：a>6

解析：由题意知：PAA.DE,又PELDE,PACPE=P,所以DEL面P4E,

所以OE_LAE.易证△/$£：:AECD.

则理=型，即_5_=2

设8E=x

CECDa-x3

所以G:+9=0.由△>(),解得a>6.

9答案:噜

解析：设P到直线"N的距离为4则;MN•八带，得公除，易知”为例。的中心，又

MN1平面ABC,当点P在平面ABC内时，点P的轨迹是以H为圆心，—为半径的圆.

6

QAABC内切圆的半径为正，，圆〃的一部分位于ZV1BC外,结合题意得点P的轨迹为圆H

6

位于△/$€：内的三段相等的圆弧.

如图，过点H作HO1AC,垂足为。，则“。=*,记圆〃与线段0C的交点为K,连接HK，可得

6

好

HK=—,:.cosZOHK=—=^=—ZOHK=0,.•.点P的轨迹长度为圆H周长的1，

6HK244

10.答案：（1）也

⑵B

2

解析：(1)设点A到平面A.BC的距离为h,

因为直三棱柱ABC-A^C,的体积为4,

114

所以匕-A8c=§S△ABCX=§匕flC-AfliG=§，

又△ABC的面积为2&,匕…c=；S^BCh=；X2血力=g,

所以〃=y[2»

即点A到平面ABC的距离为x/2.

(2)取A8的中点E,连接AE,则AE_LA8,

因为平面A8C_L平面43片4,平面ABCD平面=AB,

所以AEJ_平面ABC，所以AE_L8C,

又AA_L平面ABC,

所以A4,J_BC,因为A4,nAE=A,所以8C_L平面人8片4