高考数学一轮复习精讲第27讲椭圆（讲义）

第27讲椭圆

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一、知识梳理

如果R,凡是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>历&,则平面内满足」依|+

|/^|=2a的动点尸的轨迹称为椭圆,其中两个定点内，片称为椭圆的焦点,两个焦点之

间的距离I£&称为椭圆的隹距.

其数学表达式：集合｛川阳|+|房|=2同，|^|=2c,其中苏>0,c>0,且a,c

为常数：

(1)若a>c,则点尸的轨迹为椭圆；

(2)若a=c,则点尸的轨迹为线段；

(3)若aVc,则点尸的轨迹不存在.

予+,=1(a〉力>0)

标准方程了+度l(a>b>0)

图形一村

B^jB2x

一aW启a一b0gb

范围

_bWy^b-

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

4(—a,0),A(a,0),8(0,一Ai(0,—a),4(0,a),5(—6,

顶点

6),民(0,6)0),庆(b,0)

性

轴长轴44的长为山；短轴笈民的长为%

质

焦距1£&=全

离心率e=-e(0,1)

a

a,b,c的关系公才-一

二、考点和典型例题

1、椭圆的定义及应用

【典例1-1】已知尸尸2是两个定点，且田马=射(。是正常数)，动点尸满足

归耳|+归段="+1,则动点尸的轨迹是()

A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.直线

【典例1-2】己知椭圆的两个焦点为石，F?,过鸟的直线交椭圆于M,N两

43

点，若的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

【典例1-3】己知椭圆C:5+/=l（a>b>0）的两个焦点分别为6,鸟,户是椭圆上一点,

|P£|+|P段=10,且离心率为手，则椭圆。的标准方程为（）

22222022

A.工+:1B.上+上=1C.二二=1[).三+二=1

2510252030204530

【典例1-4】已知椭圆£+

士=1的左、右焦点分别为6,工，点”在椭圆上，若IMfJ=4,

92

则/片“鸟=（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

【典例1-5】已知点P在椭圆3+[=1上,片与尸2分别为左、右焦点，若/耳尸片=与

16

则△匕夕亮的面积为（)

A.40B.6y/3C.8«D.13/

2、椭圆的简单几何性质

【典例2-1】椭圆5+£=1的左右焦点分别为耳巴，右顶点为8,点A在椭圆上，满足

a~b~

^AF2=ZABF2=6^则椭圆的离心率为（）

A.立B.V13-3

2

C.2痒3D.6-1

【典例2-2】椭圆G：寸+f=i与双曲线Cv£-4=1的离心率之积为1,则双曲线

43a2b~

G的两条渐近线的倾斜角分别为（）

nnc兀兀八九5兀c7127r

A.--B.--C.—D.—

66336633

22

【典例2-3】已知点人4为椭圆E:*■+表■=l（a>b>0）的长轴顶点，尸为椭圆上一点，

若直线用，阳的斜率之积的范围为卜小-弓），则椭圆E的离心率的取值范围是

【典例2-4】已知双曲线f一£=1的左、右顶点为A,B,焦点在y轴上的椭圆以A,B

4

为顶点，且离心率为无，过A作斜率为左的直线/交双曲线于另一点M,交椭圆于另一

2

点N,若AN=2NM,则％的值为（）

A.土空B.土迈C.±立D.±1

353

【典例2-5】己知椭圆±匚+£=1的左、右焦点分别为七、尸2,第一象限内的点〃在椭

253

圆上，且满足MK_LM玛，点N在线段石、工上，设a=翩，将沿MN翻折，

使得平面MN£与平面”明垂直，要使翻折后忻周的长度最小，则4=（）

39

A.B.2C.1D.

24

3、椭圆的综合应用

【典例3-1］（多选）已知椭圆C：（+£=l的左，右焦点分别为品鸟，椭圆的上顶点和

右顶点分别为力，B.若P,0两点都在椭圆C上，且P,。关于坐标原点对称，则

（）

A.|图I的最大值为而

B.IPZI+IQ用为定值

C.椭圆上不存在点也使得

D.若点尸在第一象限，则四边形加切面积的最大值为2指

【典例3-2】（多选）过椭圆1+1=1的中心任作一直线交椭圆于尸，0两点，耳，人是

2510

椭圆的左、右焦点，48是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（)

A.PQK周长的最小值为18

B.四边形尸ZQE可能为矩形

~92"|QO-

C.若直线砌斜率的取值范围是，则直线加斜率的取值范围是—

I）.两尸8的最小值为-1

【典例3-3】（多选）已知椭圆c：二+工=1的左，右焦点分别为耳,鸟，43两点都在。

上，且48关于坐标原点对称，则（

A.IA例的最大值为2c|A用+|%|为定值

C.。的焦距是短轴长的2倍存在点儿使得A4_L4E

【典例3-4】已知椭圆C:1+]=l（a>b>0）的两焦点分别为kTO）和鸟（L。），短轴

的一个端点为（0，"）.

⑴求椭圆。的标准方程和离心率；

（2）椭圆。上是否存在一点R