立体几何核心考点归纳讲义（一）-2024届高三数学一轮复习

2024届立体几何核心考点（一）

一.立体图形的展开

立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱长展开为平面图形，研究其面积或者距离

的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点距离.

1.如图所示，正四面体A3CZ）中，£'是棱AO的中点，P是棱AC上的一动点，BP+PE

的最小值为宿，求该正四面体的外接球表面积.

2.如图：正三棱锥A—BCD中，NBAO=40°,侧棱A8=2,平行于过点C的截面。，

则平面a与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（）

D.4石

如图所示：沿着侧棱AC把正三棱锥A-8C。展开在一个平面内，则CC即为截面。周长

的最小值，HZC4C=3x40°=120°,在“比'中，由余弦定理得:

CC=AC)2+(AC)2-2ACACcos1200，

CC=&+2?-2X2X2cos120。=2百・故选：»•

2

3.如图，已知圆柱体底面圆的半径为一，高为2,8分别是两底面的直径，AD,BC是

冗

母线.若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度.

分析：如图,将圆柱的侧面展开,

其中A8为底面周长的一半，艮,AD=2.

则小虫爬行的最短路线为线段AC4

在矩形ABCD中,/C=Ja斤-BC'=百-£-2y/2.

所以小虫爬行的最短路线长度为2a.

【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,

利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图，如长

方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.

二.平面图形的折叠

4.如图，在AABC中，NABC=120°,A8=8C=2,在AC边上取一点。(不含AC)，

将沿线段BO折起，得到△PHD,当平面垂直于平面ABC时，则P到平面

43C距离的最大值为.

5.如图所示，AA/C是等腰直角三角形，AB=ACf在乙BCD中,N8CO=90且

3

BC=3.将小人8c沿8c边翻折，设点A在平面8co上的射影为点M,若

那么()

A.平面A5£)_L平面BCDB.平面A3CJL平面45。

c.AB±CDD.ACA.BD

分析：翻折后图形如下：

D

3

因为AABC是等腰直兔三角形且8C=3,所以点M是BC边上的中点,

因为点A在平面BCO上的射影为点所以AM_L平面BCD,又因为CQu平面BCO,

所以AM_1_8,又因为NBCO=90°,所以CD_LBC,又AMQ5C=M,AM,BCu

平面ABC,所以CD_L平面ABC,又ABi平面ABC,所以A8J_C£).故选：C.

6.如图，圆形纸片的圆心为。，半径为4cm,该纸片上的正方形ABC。的中心为。，《、

£、八、6为圆。上点，△《AB,\P2BCtARCD,ARD4分别是以AB,BC,CD,

为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后,分别以A3,BC,CD,为折痕折起

△P?BC,A7>CD,△舄D4,使得匕、鸟、八、鸟重合，得到四棱锥.当该四棱锥体积

取得最大值时，正方形ABCQ的边长为cm.

解：连接。鸟交C5于点M,则。鸟J_C5,点M为CB的中点,连接0C,

A：

\~7c/

\Xt%9///

X、%、,9//

%V/

区

团。CM为直角三角形，设正方形的边长为“，则OM=x,由圆的半径为4,则河舄=4-x,

设点尸1，鸟，鸟，鸟重合于点P,则PM==4-x>x则xV2,高

PO=^/(4-x)2-%2=V16-8x，四棱锥体积1/=；(2幻2116—8不=华)2/一丁,

Q

设y=2d一/,，=8/-5/=工3(8一5幻，当0<工<《时，,>0,y=2/一/单调递

QQ

增；当g<x<2时，y'v0,y=2d一/单调递减，所以当x=g时，y取得最大值，此时，

2x=g.即正方形A6C&的边长为日时，四棱锥体积取得最大值.故答案为：y

练习题

1.如图，在正三棱锥P-ABC中，ZAPB=ZBPC=ZCPA=30°,PA=PB=PC=2,一只虫子从

A点出发,绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是()

A

A.3后B.35/3C.25/3D.25/2

【答案】D

2.如图，空间四边形A8CD中，平面ACD_L平面A3C,△A5C为1的等边三角形，

ZG4D=30>NACO=90，P为棱AC上的一个动点，则8P+9的最小值为

D

皿孚

B

3.如图，在三棱锥P-A3C的平面展开图中，AC=LAB=A0=6,ABLAC,ABLAD,

ZCAE=30°,则cos/FCB=________.

♦

F(P)

4.在三棱锥P—A3c中，AB1BC,『在底面ABC上的投影为4c的中点D,

。尸=%=1.有下列结论：

开71

①三棱锥P-46C的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；

142）

③若三棱锥的四个顶点都在球。的表面上，则球。的体积为27手r；

④若AB=8C