【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修三）第10讲 6.1.3【KS5U 高考】

.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用课程标准学习目标（1）理解导函数的概念，并能进行简单的应用；（2）掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用（3）能利用导数的四则运算法则，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；（4）进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用；（5）能求简单的复数运算。（1）通过导函数的概念的理解及简单应用，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养；（2）通过基本初等函数的导数公式的简单应用，增强数学运算的核心素养；（3）通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养；（4）在运用复合运算公式解题过程中提升数学抽象与数学运算的核心素养。知识点01基本初等函数的导函数1、导函数：一般地，如果函数在某定义内的每一个点都可导，则称可导。此时，对定义域内的每一个值，都对应一个确定的导数。于是，在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为的导函数，记作（或，），即2、几个常用函数的导数原函数导函数其中为常数3、基本初等函数的导数公式函数导函数函数导函数(c是常数)(为实数)特别地特别地【即学即练1】（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A知识点02导数的运算法则1、导数的四则运算法则（1）加减法：（2）乘法：（3）除法：2、公式推广与结构特征（1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到个函数设，，…，在处可导，则（2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减号”。【即学即练2】（23-24高二下·河南·开学考试）（多选）下列求导数运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，，故A错误；对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；对于，故C正确；对于，故D正确.故选：BCD.知识点03复合函数的导数1、复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.2、复合函数的求导法则一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法连接。【即学即练3】（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）（多选）下列求导不正确的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】，选项A正确；，选项B正确；选项C错误；选项D错误；故选：CD.【题型一：基本初等函数的导数】例1．（23-24高二上·重庆长寿·期末）下列导数公式不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD正确；C错误，应为.故选：C.变式1-1．（23-24高二上·全国·课时练习）下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，因为，所以A错误；对于B，因为，所以B错误；对于C，因为，所以C错误；对于D，因为，所以D正确．故选：D.变式1-2．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D变式1-3．（23-24高二上·海南海口·期末）下列式子错误的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A：，故正确；对于B：，故错误；对于C：，故正确；对于D：，故正确，故选：B．【方法技巧与总结】应用求导公式应注意的问题：求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用倒数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则。在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误。【题型二：利用四则运算求导数】例2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数的导函数为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数，可得，因为，可得，所以，解得.故选：C.变式2-1．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】由题意，，，.故选：AD.变式2-2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3）．变式2-3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）求下列函数的导数．（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由可得（2）由可得（3）由得（4）由得【方法技巧与总结】利用运算法则求导数的方法：对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式。在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导。这样可以减少运算量，优化解题过程。【题型三：求复合函数的导数】例3．（23-24高二上·河南周口·期末）已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，.故选：C．变式3-1．（22-23高二下·全国·课时练习）函数的导数是（）A．cosxB．－cosxC．－sinxD．sinx【答案】C【解析】故选：C变式3-2．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）下列导数运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】选项A，，故A正确；选项B，，故B错误；选项C，，故C正确；选项D，，故D错误.故选：AC.变式3-3．（22-23高二·全国·随堂练习）求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【方法技巧与总结】1、求复合函数的导数的步骤第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步相乘：把上述求导的结果相乘；第四步变量回代：把中间变量代回。2、求复合函数的导数注意以下几点：（1）分解的函数通常为基本初等函数；（2）求导时分清是对哪个变量求导；（3）计算结果尽量简洁。【题型四：求某点处的导数值】例4．（23-24高二上·广东深圳·期末）在处的导数（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由，得，所以.故选：B.变式4-1．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，即，则，，故选：D.变式4-2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数的导函数为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，令，则，．故选：C变式4-3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知函数，则（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】对求导可得，所以，所以，故选：C【方法技巧与总结】求函数在的导数可以先求出导函数，再将代入从而得到。注意，当函数中含有时，需将其看作常数进行求导。【题型五：“在”某点的切线问题】例5．（23-24高二上·云南曲靖·期末）曲线在点处的切线的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的方程是，即.故选：A.变式5-1．（23-24高二上·山西大同·期末）曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得，切点坐标为，，所以函数在切点处的切线斜率，切线方程为，化简得．故选：A．变式5-2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．1B．0C．D．【答案】D【解析】,则，又，所以，故，故选：D变式5-3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值.【答案】21【解析】由，得，则，又，则切线方程为，即，得，【方法技巧与总结】求曲线“在”与“过”某点的切线（1）求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。【题型六：“过”某点的切线问题】例6．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，把点代入切线方程得，，即，又，所以，则，则切点坐标为.故选：A变式6-1．（22-23高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，求导得：，设切点坐标为，于是，解得，则，所以所求切线方程为，即.故选：D变式6-2．（2023高三·江苏·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程．【答案】（答案不唯一）【解析】，，设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，代入点，得，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为.变式6-3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线在过点的切线.则直线的方程为.【答案】或【解析】∵，∴.

设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，∴过点的切线方程为，即，又点在切线上，∴，整理得，∴，解得或；∴所求的切线方程为或.【方法技巧与总结】求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【题型七：切线的平行垂直问题】例7．（2024·广东茂名·一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】因为曲线在点处的切线与直线平行，故曲线在点处的切线的斜率为2，因为，所以，所以，故选：C.变式7-1．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，其中，则，直线的斜率为，由，可得，且，即点，所以，直线的方程为，即.故选：B.变式7-2．（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则.【答案】【解析】对函数求导得，则，因为直线的斜率为，且曲线在点处的切线与直线垂直，则，可得，解得.变式7-3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，切线和垂直，切线斜率显然存在，设为，根据直线垂直的斜率关系可得，，那么切线斜率，由导数的几何意义：，而，，解得.故选：D【方法技巧与总结】结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。【题型八：切线的条数问题】例8．（22-23高二下·四川资阳·期末）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，设切点为，则，切线斜率,切线方程为，∵切线过原点，∴，整理得：,∵切线有两条，∴，解得或，∴的取值范围是,故选：D变式8-1．（2023·全国·模拟预测）若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】由题意得，设过坐标原点的直线与曲线相切于点，则，且切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过坐标原点，因此，整理得，设，则“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”，，当x变化时，与的变化情况如下表：x01＋0－0＋当时，，当时，，所以，解得.变式8-2．（2024高二下·全国·专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为.【答案】【解析】令，则有，设过点作曲线的切线，切点为，根据题意有，即，又，可得，因为，所以上式可化为，整理有：，因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程有两解，所以，即，解得或.变式8-3．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是.【答案】【解析】由得，设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，又因为切线过，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，所以的取值范围是.【方法技巧与总结】已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；【题型九：两曲线的公切线问题】例9．（22-23高二下·福建厦门·期末）直线与两条曲线和均相切，则的斜率为（）A．B．1C．2D．【答案】B【解析】由，可得；由，可得，设两个切点分别为和，直线l的斜率，故，由，所以，即直线l的斜率为1.故选：B变式9-1．（22-23高二上·安徽·期中）抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线与抛物线相切的切点为，与抛物线相切的切点为，由求导得：，由求导得：，则抛物线在点处切线为，即，抛物线在点处切线为，即，依题意，，解得，因此两条公切线方程分别为，，由，解得，所以两条公切线的交点坐标为.故选：C变式9-2．（2023·广东佛山·一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则.【答案】【解析】易知：必有.设两曲线的交点为，，，由题意：，两式相除得：，∵，∴.代入得：解得a=e2.变式9-3．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为．【答案】1【解析】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，则处的切线方程为，即；直线与曲线相切于，，可得切线方程为，即，因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即可得，解得.【方法技巧与总结】求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点，则【题型十：利用切线求距离最值】例10．（23-24高二上·北京·阶段练习）抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为【答案】【解析】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离.变式10-1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）曲线上一点到直线的最短距离为．【答案】【解析】直线的斜率为，令，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即，与的距离为.所以曲线上一点到直线的最短距离为.变式10-2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为．【答案】【解析】由得，即，所以函数的反函数是，因此它们的图象关于直线对称，取得最小值时，两点一定关于直线对称，由得，令，则，此时，因此曲线上斜率为1的切线的切点坐标为，它到直线的距离为，由对称性知的最小值是．变式10-3．（23-24高三上·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当函数在点处的切线与平行时，最小.，令得或（舍），所以切点为，所以的最小值为切点到直线的距离，所以的最小值为.故选：D.【方法技巧与总结】利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。一、单选题1．（23-24高二上·浙江宁波·期中）函数在处的导数是（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】由，得，所以函数在处的导数是，故选：A2．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知函数满足，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得，，则，所以，.故选：A.3．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知,是的导函数，即，…，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则，，，，故是以4为周期的函数，故选：A4．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为为奇函数，所以对恒成立，所以，代入函数表达式得，所以，则，所以在处的切线方程为，即.故选：A5．（22-23高二下·湖南岳阳·期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，求导得：，因为在处的切线与直线垂直，所以在处的切线斜率为，解得.故选：D.6．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线相切，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设切点为，由得，因为直线与曲线相切，所以，解得，，所以，又在直线上，所以，解得.故选：B.7．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B.8．（23-24高二上·宁夏·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，即，即方程有两个解，则有，解得或．故选：A二、多选题9．（23-24高二下·山东菏泽·开学考试）下列运算不正确的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】A：因为，所以本选项不正确；B：因为，所以本选项不正确；C：因为，所以本选项正确；D：因为，所以本选项不正确，故选：ABD10．（22-23高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列四条曲线中，直线与其相切的有（）A．曲线B．曲线C．曲线D．曲线【答案】ABD【解析】直线的斜率为，A中，若，则由，得，，因为点在直线上，所以直线与曲线相切．B中，若，则由，得，，因为点在直线上，所以直线与曲线相切．C中，若，则由，得，，，因为，都不在直线上，所以直线与曲线不相切．D中，若，则由，得，，，其中在直线上，所以直线与曲线相切．故选：ABD11．（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】令，则，令，有，则，即有，即，故，令，则，令，有，则，即有，即，故有，即.故选：BD.三、填空题12．