高考数学知识点归纳16 决策问题（解析版）

专题16决策问题

例】.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4s店进行连续3。天的试销，定价

为1000元/件.

（1）设日销售40个零件的概率为MO<P<1）,记5天中恰有2天销售40个零件的概率为为写出2关于

2的函数关系式.

（2）试销结束后统计得到该4s店这30内的日销售量（单位：件）的数据如下表：

日销售量406()8()100

频数912

其中，有两个数据未给出.试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款

零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价

为600元/件，以这3。天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率.

该4s店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没

销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4s店，假设日销售量为80件的概率为

5

（i）设该4s店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X;批发两小箱，当天这款零件的利润为随机

变量匕求EX和EY；

（ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该4s店每天应该按什么方案批发零件？

【解析】（1）由题意可得z=C；p2（l—p）3=10p2（l—p）*0<p<l,

（2）由题意口销售最为8。件的概率为J_,

5

日销售量为100的概率为_2_=

105510

（i）批发两大箱，则批发成本为60500元，

当日销售量为4。件时，利润为：40x1000-60500+70x550x90%=1.415（万元），

当日销售量为60件时，利润为：60x1000-60500+50x550x90%=2.425（万元），

当日销售量为80件时，利润为：80x1000-60500+30x550x90%=3.435（万元），

当R销售量为10。件时，利润为：100x1000-60500+10x550x90%=4.445（万元），

EX=1.415x^-+2.425x-?.+3.435x1+4.445x-!-=2.526（万元）•

105510

若批发两小箱，则批发成本为48000元，

当日销售量为4。件时，利润为：40x1000-48000+40x600x90%=1.36（万元），

当日销售量为60件时，利润为：60x10（1）-48000+20x600x90%=2.28（万元），

当日销售量为80件或100件时，利润为：80x1000-48000=3.2（万元），

.•@=1.36x3+2.28x2+3.2x3=2.28（万元）•

10510

5）当4s店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量

当日销售量为40件时，利润为：40x1000-54250+55x550x90%=1.2975（万元），

当日销售量为60件时，利润为：60x1000-54250+35x550x90%=2.3075（万元），

当日销售量为80件时，利润为：80x1000-54250+15x550x90%=3.3175（万元），

当日销售量为100件时，利润为：95x1000-54250=4.075（万元），

.♦.£4=1.2975x3+2.3075x2+3.3175x^+4.075x-L=2.38325（万元）♦

105510

/.EY<E&〈EX，

.•.以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按批发两大箱.

例2.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：

方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次1。元；

方案二：软件服务公司每日收取工厂2。0元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，

超过部分的软件服务每次收费标准为20元.

（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为X,试写出两种方案中y与X的函数关系式；

（2）该工厂对过去1OO天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频

率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.

【解析】解：（1）由题可知，方案一中的R收费y与x的函数关系式为y=l（k+60,xsN.

200,x415,xeN

方案二中的日收费y与x的函数关系式为），=<

2(k—100,x>15,x©N

（2）设方案一中的R收费为X,由条形图可得X的分布列为

X190200210220230

P0.10.40.10.20.2

所以E(X)=190x0.1+200x0.4+210x0.1+220x0.2+230x0.2=210(元).

方案二中的日收费为y,由条形图可得y的分布列为

Y200OQO240

P0.60.20.2

E（y）=200X0.6+220x0.2+240x0.2=212（元）.

所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.

例3.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修,

且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为1.

3

（1）若出现故障的机器台数为X,求X的分布列；

（2）该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%?

（3）已知一名工人每月只有维修1台机密的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现

故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每

月获利的数学期望.

【解析】解：（】）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，

3

4台机器相当于4次独立试验，设出现故障的机器台数为X，则乂~3（4,）,

3

尸(X

P(X

P-2）=C*守/

玖、=3）=,审|）啥

则X的分布列为：

X01234

P16322481

8?8?8?818?

（2）设该厂有〃名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故章能及时进行维修”为X,,〃，

则X=0,X=1,X=2,…，X=n,这〃+1个互斥事件的和事件，则:

n01234

P(X<n)16487280

1

818?8?87

Q区90%为

8181

二至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%.

（3）设该厂获利为y万元，则y的所有可能取值为18,13,8,

72

P(Y=18)=P(X=O)+P(X=1)+P(X=2)=—,

81

Q

P(Y=13)=P(X=3)=—

81

p(y=8)=P(X=4)=—,

81

:.Y的分布列为:

Y18138

P7281

8?8181

…、72s8。11408

..E(Y)=18x--F13xF8x—=----

XIS181R1

.••该厂获利的均值为四”.

81

例小.某精密仪器生产车间每天生产〃个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是

否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验，这些零件的长

度服从正态分布N（10,0.12）（单位：微犬〃小），且相互独立.若零件的长度〃满足9.7i?vd<10.3加〃，

则认为该零件是合格的，否则该零件不合格.

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X,求P（X之2）及X的数学期望EX；

（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已

知检查一个零件的成本为1。元，而每个K合格零件流入市场带来的损失为260元.假设〃充分大，为了使

损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由.

附：若随机变量彳服从正态分布N（〃Q2）,则尸（〃一3。<4<"+3。）=0.9987,O.998750=0.9370,

0.998749x0.0013=0.0012.

,4950

【解析】解：（1）P（X>2）=1-P（X=1）-P（X=0）=l-C500.99870.0013-0.9987=0.003,

由于X满足二项分布，故=0.0013x50=0.065.

（2）由题意可知不合格率为上，

50

若不检查，损失的期望为）=260xnx--20=—n-20,

505

S22

若检查,成本为，由干）—10H=w”—20—10n=—20,

2

当〃充分大时，£（T）-10«=-n-20>0

所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件.

例5.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量,

根据所测量的零件尺寸（单位：min）,得到如图的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）;

（2）若从这80个零件中尺寸位于［62.5,64.5）之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在［64.5,65］±

的零件个数，求X的分布列及数学期望EX；

（3）已知尺寸在［63.0,64.5）上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率.现

对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有

零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元.若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，

如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检

了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱

余下的所有零件进行检验？请说明理由.

【解析】解：（1）由于［62.0,63.0）内的频率为（0.075+0.225）x0.5=0.15,

［63,063.5）内的频率为0.75x0.5=0.375,

设中位数为％w［63.0,63.5）,

由0.15+（x-63）x0.75=0.5,得x《63.47,

故中位数为63.47;

（2）这80个零件中尺寸位于［62.5,64.5）之外的零件共有7个，其中尺寸位于［62.0,62.5）内的有3个,

位于［64.5,65）共有4个，随机抽取4个，

则X=1,2,3,4,

C^C\4

P(X=1)==—

C；35

18

P(X=2)=」=—

C；35

12

P(X=3)=-^-=—

C；35

C4i

尸(X=4)=谭=宝

C；35

X1Q34

p418121

35353535

z,4c18cl2,116

EX=1----F2----1-3----1-4=—；

353535357

（3）根据图象，每个零件是二等品的概率为尸=（0.075+0.225+0.100）x0.5=0.2,

设余下的89个零件中二等品的个数为丫~8（89,0.2）,

由二项分布公式，EY=89x0.2=17.8,

若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为S,

s=Ux99+500r=1089+50（y,

若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为9900元，

以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，

则ES=llx99+500Er=9989，

因为ES>9900.所以应该对余下的零件作检验.

（或者ES=9989与990。相差不大，可以不做检验都行.）

例6.某单位准备购买三台设备，型号分别为A,B,。已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备

的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程

中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件

数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计

表如表所示.

每台设备一个月中使用的易耗品的件数678

型号30300

A

频数型号203010

B

型号04515

C

将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.

(】)求该单位一个月中A,B,C三台设备使用的易耗品总数超过2】件的概率；

(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买4件

还是21件易耗品？

【解析】解：(1)由题中的表格可知

A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为史=」，

602

8型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率均为次=1,型==L

602602606

C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为"=

604604

设该单位一个月中A,B,C三台设备使用易耗品的件数分别为x,y,z,

则尸。=6)=P(x=7)=-,P{x=6)=-.P(x=7)=-,

232

131

P(y=8)=-,P(z=7)=-,P(z=8)=-,

644

设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,

则P(X>21)=P(X=22)+P(X=23),

而P(X=22)=P(x==&z=8)+P(x=7,y=7,z=8)+P(x=7,y=&z=7)

1111111137

=­X—X—+—X—X—+—X—X—=一

26422426448

P(X=23)=P(x=7,y=8,z=8)=ixl>l=—,

71

故P(X>21)=一+一

48486

即该单位一个月中A,B,C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为,；

6

(2)以题意知，X所有可能的取值为19,20,21,22,23,

1131

P(X=19)=P(x=6,y=6,z=7)=-x-x-=-,

2348

P(X=20)=P(x=6y=6,z=8)+P(x=6y=7,z=7)+P(x=7>y=6,z=7)

P(X=21)=P(x=6,y=7,z=8)+P(x=6,y=8,z=7)+P(x=l,y=6,z=8)+P(x=7,y=7,z=7)

11111311111317

=—X—X1-—X-X1-—X—X1--X—X—=一

22426423422448

7i

由(1)知，P(X=22)=—,P(X=23)=—,

4848

若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为匕元，则匕

的所有可能取值为2000,2200,2400,2600,

11723

P(y.=2000)=P(X=19)+P(X=20)=-+—=—,

184848

17

P(y.=2200)=P(X=21)=—,

48

7

P(r.=2400)=P(X=22)=—,

48

P(Y}=2600)=P(X=23)=+,

231771

E匕=2000x—+2200x—+2400x—+2600x—«2142,

148484848

若该单位在购买设备的同时购买了21件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为丫？元，则心

的所有可能取值为2100,2300,2500,

=2100)=P(X=19)+P(X=20)+P(X=21)=-+—+—,

848486

P(Y2=2300)=P(X=22)=工，

P(Y2=2500)=尸(X=23)=——，

EY^=2100x-+2300x—+2500x—®2138,

64848

故“2<”l，所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品.

例7.自2013年10月习近平主席提出建设f一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济

合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州福州-广州-海口-北海（广

西）-河内-吉隆坡-雅加达-科伦坡-加尔各答-内罗毕-雅典-威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工

业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品,并将其销往这13个城市.

（I）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；

（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月或获得利润100万；若一间厂房

闲置，则该厂房每月亏损50万，该公司为了确定建设工业厂房的数目〃（10W〃413,〃£N'）,统计了近5

年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：

月需求量（单位：万件）100110120ISO

月份数6241812

若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工

业厂房多少间？

【解析】（】）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内，

则尸（4）=1"（可=1-£=1-也=电，

V7V7党143143

所以该公司所选的3个城市中至少有I个在国内的概率为瞿.

143

（2）设该产品每月的总^润为y,

①当儿=io时，y=iooo万元.

②当九二11时，Y的分布列为

Y9501100

P0.10.9

所以E（y）=950X0.1+1100X0.9=1085万元.

③当〃=12时，y的分布列为

Y90010601200

P0L|（M0.5

所以£（¥）=900x0.1+1050x0.4+1200x0.5=1110万元.

④当〃=13时，丫的分布列为

&50100011501300

/10.10.40L30.2

所以E（y）=850x0.1+1000x0.4+l150x0.3+1300x0.2=1090万元.

综上可知，当〃=12时七（丫）=11io万元最大，故建设厂房12间.

例s.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为

样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：

分组频数频率

25.05~25.1520.02

25.15〜25.25

25.25~25.3518

25.35〜25.45

25.45~25.55

25.55~25.65100.1

25.65〜25.7530.03

等十1001

⑴求。；

(2)根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在

［25.15,25.35］或［25.45,25.75］为合格钢管内径尺寸在［25.35,25.45］为优等钢管的检测费用为2元/根，

把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.

(，)若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；

(”)已知这批钢管共有机(">10。)根，若有两种销售方案：

第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/

根售出；

第二种方案：对该批钢管进行一检测,不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的

钢管50元/根，优等钢管60元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.

【解析】(1)由题意知：—xl0=1.8,

所以(a+2.3+1.8+1.4+1403+0.2)x0.1=1,

所以“=3.

(2)(/)由(1)知，钢管内径尺寸为优等的概率为0.3,X所有可能的取值为。，1,2,3,

p(X=0)=C^x0.73=0.343,

P（X=l）=C^xO.72xO.3=0.441,

P（X=2）=C；X0.7X0.32=0.189;

p（X=3）=（^xO.33=O.O27,

故X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9

（"）螟一种方案：X=50（加一2）—200=50加一300.

按第二种方案：y2=O68XZMX5O+0.3XWX60-2/72-0.02XW?X20=49.6/W,

y一）,2=（50加一300）-49.66=0.4??/-300,

若加＞750时,y＞力，则按第一种方案,

若m=750时，y=%,则第一、第二方案均可，

若100＜“＜750时＜为，则按第二种方案，

故当阳＞750时，按第一种方案，

m=750时，第一、二种方案均可，

100＜小＜750时，按第二种方案.

例9.某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量与是否下雨有关.经统计,

2。15年该商家的商品日销售情况如下表：

日期6月18日6月19日6月20日6月21日6月哭日

小雨小雨多云多云晴

日销售量

971091^0ISO12.5

(单位：件)

以2。15年雨天和非雨天的日平均销售量估计相应天气的销售量.若2。16年5天的展销会中每天下雨的概

率均为60%,且每天下雨与否相互独立.

(1)估计2。16年展会期间能够售出的该商品的件数；

(II)该商品成本价为90元/件，销售价为110元/件.

(i)将销售利润X(单位：元)表示为2。16年5天的展销会中下雨天数/的函数；

(ii)由于2016年参展总费用上涨到2500元，商家决定若最终获利大于800。元的概率超过。6才继续参

展，请你为商家是否参展作出决策，并说明理由.

【解析】(I)由2。15年该商家的商品日销售情况表可知：

2。15年雨天的日平均销售量为100件，非雨天的日平均销售量为125件,

设2016年3天的展销会中下雨的天数为乙贝卜~8，

所以E(f)=5x'=3,

所以估计2016年5天的展销会有3天下雨，2天不下雨，

所以估计2。16年展会期间能够售出的该商品的件数为

100x3+125x2=550(件)•

(II)(i)依题意得，销售利润

X=[100f+125(5-r)]x(l10-90)=12500-500/,re/V

（ii）设商家最终获利为丫，则y=x-2500=10000-500，

若最终获利大于8000元，则10000-500>8000，解得fv4，

所以f=0,1,23,又因为一小擀），所以最终获利大于8O（x）元的概率为：

p=P（t=0）+P"=1）+P（r=2）+P（r=3）

Y曾圉'+啕曾+。⑶眇嗤冏

32,240.720.10802072

--------十---------H-------r---->0.6

31253125312531253125

所以商家应决定参加2016年的展销会.

注：本小题也可用对立事件的概率计算.

P=l-P(t=4)-P(t=5)

所以商家应决定参加2016年的展销会.

例10.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲

项目一年后可获得的利润为。（万元）的概率分布列如表所示:

110120170

Pm0.4n

且。的期望后（。）=120若投资乙项目一年后可获得的利润统（万元）与该项目建设材料的成本有关，在

生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，

且调整的概率分别为P（0<"vl）和1-〃，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与幺的关系如表所示：

X（次）01O

$41.2117.6204.0

(1)求，〃，〃的值；

(2)求$的分布列；

(3)根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最

大投资回报率是多少？(投资回报率二年均利润/投资总额x100%)

/n+0.4+/?=1

【解析】(1)由题意得:

110W4-120X0.4+170/?=120

得：旭=0.5,n=0A.

(2)$的可能取值为卜L2，117.6,204.0,

P(^2=41.2)=(l-p)[l-(l-p)]=p(l-p)

产(刍=117.6)=pH-(1-p)J+(1-p)(l-p)=p2+(1-p)2

P(4=204.0)=〃(1-〃)

所以3的分布列为

b41.2117.6204.0

pMl-p)p2+(l-p)2P(l-P)