高考文科数学复习导数训练题 (二)

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

一、考点回顾和基础知识

1.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主，主要考查导数的

基本公式;和运算法则，以及导数的几何意义.

2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导

数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最

值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用.

3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系)，如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时

函数在这点有极值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值.

•复合函数的求导法则:/；(*(》))=/'(“)/(%)或炉x=y'uuX

4.几种常见的函数导数：

i.c=o(C为常数)(sinA)=cosx

(xn)=nxn~l(neR)(cosx)=-sinx

I1

n.(InA)=-(log/)=-loge

xxrt

二、经典例题剖析

考点一：求导公式

例1r(X)是f(x)=-x3+2x+1的导函数，则r(-1)=,

考点二：导数的几何意义

例2.已知函数y=的图象在点处的切线方程是y=gx+2,则/(1)+/'(1)=

考点三：导数的几何意义的应用

例3.己知曲线C:y=d-3/+2得宜线/:y=上孔且直线/与曲线C相切于点(%,%X/w0),求直线/的方

程及切点坐标.

考点四：函数的单调性

例4.设函数f(x)=2V+3a?+3"+8c在x=1及x=2时取得极值.

⑴求力的值及函数的单调区间；

⑵若对于任意的xe［0,31都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.

考点五：函数的最值

例5.已知。为实数，/(加(『-4)(八碗⑴求导数-⑴；⑵若『(-1)=0,求/(X)在区间［-2,2］上的最值.

考点六：导数的综合性问题

例6.设函数/(幻=以3+饭+。(〃。0)为奇函数，其图象在点0,7。))处的切线与直线工一6〉一7二0垂直，

导函数//(幻|”而=-12.(1)求的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数/(x)在［-1,3］上的最大值和最小值.

例7.已知/㈤二以：力f+以在区间［0,1］上是增函数,在区间(-8,。),(1,例)上是减函数，又/(£|=|.

(I)求/*)的解析式：(II)若在区间。间1>0)上恒有f(x)Wx成立,求心的取值范围.

例8.设函数/(幻=一10一。)2(xeR),其中。ER.(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(2,/(2))

处的切线方程：(II)当。工0时，求函数/(幻的极大值和极小值；

(III)当a>3时，证明存在左使得不等式/(k-cosx)2/(炉-cos：X)对任意的XER恒成立.

例9.已知/。)=加-/+法也cwH)在(一8。)上是增函数,［0,3］上是减函数，方程/(%)=0有三个实

根，它们分别是a,2,夕.⑴求〃的值，并求实数。的取值范围；⑵求证：a+/7>|.

三、方法总结

(一)方法总结

导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一

般性方法，是解决实际问题强有力的工具.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象.要

牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法.应用导数解决实际问题的关键是要建立恰

当的数学模型，了解导数概念的实际背景.应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的

叙述.

(二)高考预测

导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导致的几何意义.也可以解答题的

形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.导数的应用是重点，侧重于利用导数确

定函数的单调性和极值、最值、值域问题.

四、强化训练

V21

1.已知曲线y=J的一条切线的斜率为一，则切点的横坐标为()

42

A.1B.2C.3D.4

2.函数f(x)=/+废2+3工一9,已知7J)在％=一3时取得极值，则。=()

(A)2(B)3(C)4(D)5

3.函数=在区间［o,6］上的最大值是()

3216

A.3B.3C.12D.9

4.三次函数y二奴^+%在xw(-8,+CQ)内是增函数，则()

A.B."。C.。=1D.a=-

,

5.在函数)，=/_.8x的图象上，其切线的倾斜角小于生的点中，坐标为整数的点的个数是()

4

A.3B.2C.1D.0

6.已知函数/(x)=x3+ar2+H+g当］=-1时，取得极大值7；当x=-l时，取得极小值.求这个极小值

及a,Z?,c的值.

7.设函数/'(工)=工3+CX(X£R).己知g(x)=(x)是奇函数.

(1)求Ac的值；(2)求g(x)的单调区间与极值.

8.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体的长、宽、

高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

9.已知函数/(%)=Y+3ar-l,g(x)=/(x)-ar-5,其中/(x)是的导函数.

⑴对满足一的一切。的值，都有g(》)v0,求实数x的取值范围：

⑴)设。=-裙，当实数m在什么范围内变化时，函数y=/(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.

10.设函数/(%)=*+2，％+:-1(%wR,/>O).(I)求f(x)的最小值力⑴；

(H)若加力v—2f+m对，£(0,2)恒成立，求实数机的取值范围.

11.设函数f(x)=(a+1)/+4ax+b(a,beR).

⑴若函数f(x)在x=3处取得极小值g,求4,b的值；⑴)求函数/(x)的单调递增区间;

(III)若函数/(x)在上有且只有一个极值点，求实数。的取值范围.

12.已知二次函数/*)=双2+bx+c(o,瓦R)满足：对任意都有/(幻工乂且当工£(1,3)时，有

1,

f(x)W-(x+2)2成立.⑴试求了⑵的值：(II)若/(-2)=0,求/(幻的表达式；

8

(HI)在(II)的条件下，若工£［0,口)时，/(幻＞生X+4恒成立，求实数”的取值范围.

24

13.已知函数/(x)=~^-g(3a+2)%2+6x,g(x)=-ax2+4x-/w(a,meR).

⑴当a=\,xe［0,3］时，求f(x)的最大值和最小值；

(H)当av2且时，无论。如何变化，关于x的方程/(x)=g(%)总有三个不同实根，求〃z的取值范围.

例题参考答案

例13：例23；例3=洌4(1)4=一3/=4,增区间为(一00"(2,位)；减区间为(1,2),

'4128；

⑵(-oo-l)U(9,+oo)；例5⑴加3八如-4,⑵/㈤1nL/(-1)=》即=吗)=嗡：

例6(1)〃=2/=-12,c=0.(2)(-4-^^亚汁/人工口稣=/0二区/^^示二八亚『一啦一

例7解：(I)f\x)=3ar2+2bx+c,由已知/(0)=例⑴=0,

1c=0卜=。

即1'解得《3

3。+2Z?+c=0,b=——a.

2

2:2

/.f\x)=3ax-3ax,=2,,,a=-2,f(x)=-2x,+3x.

422

(II)令f(%)Wx,即一2丁+3/一xWO,.•.M2x-l)(x—1)20,「.OWkW］或421.

又/(幻Wx在区间［0,根］上恒成立，..OcmW］.

例8解：(I)当。=1时，/*)=一双工-1)2=一炉+2/一工，得/(2)=-2,且

f\x)=-3X2+4X-1,广(2)=-5.

所以，曲线y=—X*—1)2在点(2,—2)处的切线方程是)，+2=-5*—2),整理得5x+y-8=0.

(II)解：f(x)=-x(x-a)2=-x3+2cuC-a2x,f\x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a).

令f'⑶-0,解得x=1或x=a•

由于。上0,以下分两种情况讨论.

(1)若a>0,当x变化时，/'(X)的正负如下表:

因此，函数/(x)在x处取得极小值„且/图二一/

函数/(M在x=〃处取得极大值/(㈤，且f(a)=O.

(2)若a<0,当x变化时，广(幻的正负如下表：

因此，函数/(乃在x=a处取得极小值/(〃)，且/(。)=0：

函数fix)在x=］处取得极大值小)，且H=*苏•

(III)证明：由〃>3,得］>1,当欠时，Z-cosxWl,k2-cos21.

由(H)知，/(x)在(一8,1］上是减函数，要使f(%-cosx)2/(公一cos"),xeR

只要2-。05/忘/一(：002%(%£1^)即cos21x-cosx<22-Z(xwR)①

(1V］

设g(x)=cos2x-cosx=cosx一一一一，则函数g(x)在R上的最大值为2.

k2J4

要使①式恒成立，必须公一女22,即222或ZW—L

所以，在区间上存在欠=-1,使得/代―cosx)》//2-cos?1)对任意的XER恒成立.

例9解：(1)・・・((劝=3又2-2%+―/(%)在(-8,0)上是增函数,在［0,3］上是减函数,

所以当冗=0时，/(x)取得极小值，

2

又方程/(x)=0有三实根，.・.。。0..,./'。)=30?-21+6=0的两根分别为2=0,方=—.

3a

又/⑴在(—8,0)上是增函数，在［0,3］上是减函数，.•.r(x)>0在(-8,0)上恒成立，r(x)<0在［0,3］上恒

成立.

22(2

由二次函数的性质知，。＞0且一23,「.0＜。与一.故实数。的取值范围为0,.

3a919」

(2)•••。,2,4是方程/(尢)=0的三个实根，

则可设/(X)=a(x-a)(x-2Xx-/7)=ax2,-a(2+a+fi)x2+a(2a+2J3+a/3)x-laa/3.

ao1

又/(x)=ax3-x~+bx+c(a,b,ceR)有a{a+4+2)=1,「.a+/?=——2,

a

八2〃5

92

强化训练答案：

ADAAD

6.解：f/(x)=3x2+lax4-b.

据题意，一1,3是方程3/+2以+6=0的两个根，由韦达定理得

:.a=-3,b=-9,/./(x)=x3-3x2-9x+c,,//(-I)=7,/.c=2

・•・极小值7(3)=33-3x32-9x3+2=—25

7.解：⑴.・.“力=4加+%...ra)=3f+为+匕从而

g(x)=/(x)-7'(x)=V+加+6—(3幺+2Z沈+c)=^+(2-3)』+(。-2Z?)x-c是一个奇函数，所以

g(0)=0得c=O,由奇函数定义得b=3；

⑵由(I)知g(x)=V—6x,从而g'(x)=3f—6,由此可知，

(-00)-5/2)和(也+oo)是函数g(x)是单调递增区间：

(一版而是函数g(x)是单调递减区间；

g(x)在冗=一夜时，取得极大值，极大值为4也，8(4)在冗=，5时，取得极小值，极小值为T应。

h=.—⑵=4.5-3x(m)[(Xr<-1

8.解：设长方体的宽为工(m),则长为2工佃)，高为4I2<

V(x)=2x2(4.5-3/)=9x2-6x3(/n3)[0<x<-]

故长方体的体积为v2J

从而Vf(x)=18X-18X2(4.5-3X)=l&x(l-x).

令-(6=。，解得x=0(舍去)或x=l,因此x=l.

当Ovxvl时，V'(x)>0：当时，W。，

故在X=1处VH)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。

从而最大体积”“不人❷、/一6x13("),此时长方体的长为2m,高为1.5m.

答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3加1

9.解：(I)由题意g(x)=3%2—ar+3々-5,令。(1)=(3—1)。+3工2—5,-1<«<1

对一iKaKl,恒有g(x)vO,即0(4)<0

[3X2-X-2<0

。⑴<。NN2

解得——v1

^(-1)<03x+x—8<03

故T亨

时,对满足一的一切〃的值,都有g(x)vO

(II)/(x)=3x2-3/?z2

①当加=0时，/(x)=d—l的图象与直线y=3只有一个公共点

②当加工0时，列表:

极大极小

:，f(x)|极小=/(|m|)=-2m21w|-l<-l,

又・・"(x)的值域是R,且在(加|,+oo)上单调递增

・••当x>同时函数y=/(%)的图象与直线y=3只有一个公共点。

当xv同时，恒有/(力4〃-同)

由题意得f(一网)<3即2硝讨-1:2荷-1<3解得mG(-^2,0)U(。,正)

综上，m的取值范围是(一啦,次).

10.解：(I)v/(x)=f(x+z)2-t3+t-\(xeR»r>0),

.•.当％=T时，/⑴取最小值即帕)=一产+，一1.

(H)令g(f)=h(t)—(-2?+m)=-t3+3t-1-m,

由/«)=-3/+3=0得，=1,t=-i(不合题意，舍去).

当t变化时g\t),g(t)的变化情况如下表：

极大值

递增递减

/.g(t)在(0,2)内有最大值g(V)=[-m.

h(t)<-2f+机在(0,2)内恒成立等价于g⑺<0在(0,2)内恒成立，即等价于1-m<0,

所以机的取值范围为机>1.

3।

11.解：(I)•・•//(x)=x2-2(a+I)x+4。,f(3)=9-6(a+1)+4a=0,/.a=-：:/(3)=一,..b=-4.

22

(II),：f!(x)=x2_2(〃+l)x+4〃=(x_2〃)(x_2),令Tra)：。./.x=2a,2

当时，由r(x)X)得/(x)的单调递增区间为(-8,2),(2分3);

当〃=1时，/Z(X)=(X-2)2>0,即/(幻的单调递增区间为(-8,400):

当4<1时，由r(X)>0得f(x)的单调递增区间为(-8,2。),(2,巾).

(III)由题意知a<1且f(—1)f(1)<0>解得—<a<—,即实数。的取值范围为(—

2222

1,

12.(I)由条件知/(2)22,/(2)<-(2+2)2,.*./(2)=2.

8

(II)由/(-2)=0,/(2)=2,得b=一,c=1-4。.又f(x)2X恒成立，即ax2+3-l)x+cK)恒成立,

111

:.aX),且A=(』-1)2一4〃(1-甸w0,=(8。-Ifw0,=>。力=C=

8-2-92-3+U+

2822

(III)g(x)=;f在xw[0,*Q)恒成立，即/+4(1-m)x+2>0在xw[0,+。。)恒成立

J7万A>o匹

①由△<(),解得1-------<<14-------；②]—2(1—m)w0»解出机01--------

222

/(