2024中考数学考试易错01 数与式（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错01数与式

,实数的有关阮鼾、易优点一:仅误理解实「的有关概念

实效的运库卜、马指点二:运用顺序错误

，《算卡》平才根与立才根卜一舄幡点三整滞平方根、算水平方根、立方根

B

与乙■(科学记数法与近似数卜、易错点四:有故数字和指确度识别偌误

式

N代数式的化简求值易错点五:混清代数式的运算法则

分式化简卜一易错息六:息略了分式的分处不能为零

N「因式分解卜、，得盘七四式分解不由原殁错

易错点一：错误理解实数的有关概念

一、实数的分类:

正有理数'

有理数零有限小数和无限循环小数.

实数负有理数

无理数无限不循环小数

负尢理数j

二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，同20。零的绝对值是它本身，也可看

成它的相反数，若同=。，则心o；若问=一。，则心0。

三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数

四、倒数：如果〃与b互为倒数，则有a〃=l,反之亦成立

易错提醒：(D需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；

(2)几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1,一1的倒数是一1；一个正数的绝对

值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0・

®Q®®

例I.例23的倒数的相反数是()

C•-盛

A.2023B.-2023

【答案】C

【分析】本题考查了倒数和相反数的定义，先求出2023的倒数，再求出其相反数即可.

【详解】解：2023的倒数是盛,

1的相反数是-募

2023

故选:C

易错警示：有理数、无理数以及实数的有关概念容易理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念容易混

淆。选择题考得比较多。

例2.下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③J(—IO)」］。；④任何实数

不是有.理数就是无理数；⑤两个无埋数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别

分析得出答案.

【详解】①负数有立方根，原说法错误；

②数轴上的点与实数成一一对应关系，原说法正确；

③、/(-10『=10,原说法错误；

④任何实数不是有理数就是无理数，原说法正确；

⑤两个无理数的和不一定还是无理数，原说法错误；

⑥无理数都是无限小数，原说法正确，

故选:B.

变式1.下列实数：0.22,不，扃，0.010203040506,(夜『，券.其中有理数有个，无理数有个.

【答案】42

【解析】略

变式2.已知。的倒数是-3,人的绝对值是最小的正整数，且求〃的相反数.

【答案】加的相反数是一彳2

【分析】本题主要考查了倒数、绝灯值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出

再结合力得出b=-l,从而求得。-占的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并

灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：「”的倒数是-3,”的绝对值是最小的正整数，

a=—,b=±1,

3

a>b,

•'-/?=-1»

,I/2

:•j=十1)=§,

2

二.a-〃的相反数是一］.

变式3.若实数a,〃互为相反数，c,d互为倒数，机的绝对值为2,求加+(〃尸+(1-2m+〃/)的值.

【答案】1或t

【分析】根据相反数的定义、倒数的意义及绝对值可进行求解.

【详解】解：由题意得：a+b=^cd=\jn=±2t

.,.当〃+b=O,c、d=1,〃?=2时，则：

a~-b2+(cd)”+(1-2ni+，叫

=(a+b)(a-b)+(cd)~14-(1-//z)2

=0+广；(1-2『

=1：

当a+b=O,cd=1,7M=_2时,则：

a2-b2+(cz/)-1+(1—+4)

=^a+b)(a-b)+(cdy'

=0+L*1+2)2

1

=­•

9，

综上所述：一加+(cd)-；(l-2/"+〃/)的值为1或".

【点睛】本题主要考查因式分解、相反数、倒数及负指数累，熟练掌握各个运算是解题的关键.

变式4.请把下列各数填在相应的集合里:

0,0；2»一卜2，-(-3),兀，-3.14,0.010010001...

正数集合：{「.}

负数集合：{_…}

有理数集合：{....}

无理数集合：{.…}

【答案】见解析

【分析】本题考查实数的分类，有理数和无理数称之为实数，无理数是无限不循环小数，有理数包括无限

循环小数和有限小数，逐一判断旧可.

【详解】解：-|-2|=-2,-（-3）=3,

正数集合：{O.G，-（-3）,兀，0010010001…，…}

负数集合：L学,-|-2|,-3.14,...}

有理数集合：{0,-与，012,一卜斗，一（一3），-3.14,...）

无理数集合：{兀，0.010010001...}

故答案为:QJ2»一（一3），兀，0.010010001•••；—7―,-|-2|,-3.14：0,---,。.让,-|-2|,-（-3）,-3.14；

JJ

元，0.010010001..

1.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.—23与（-2）3B.-3?与G3>

C.-5?与（-2/D.-（一3）与|-3|

【答案】B

【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数和绝对值，正确得到有理数的乘方运算结果是解答本题的关键，

-2^表示2的立方的相反数，（-方表示-2的立方，4表示3的平方的相反数，（-T表示-3的平方，-5」表

示5的平方的相反数，（-2）5表示一2的五次方，分别求出各选择支中各式的值，即可得到答案.

【详解】选项A,因为-2=-8,（-2）3=-8,所以-23=（-2儿不符合题意;

选项B,因为—32=-9,（-3尸=9,所以-3?与（-31互为相反数,符合题意;

选项C,因为-父=一25,（-2）5=-32,所以不符合题意;

选项D,因为—（一3）=3,卜3|=3,所以-（-3）=卜3|,不符合题意.

故选B.

4

2.已知。Z?=V5+3.则。与〃的关系是（)

V5-3

A.互为相反数B.相等C.互为倒数D.互为负倒数

【答案】A

【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得。的值，即可求解，熟练掌握相反数

的定义和分母有理化的方法，进而求得〃的值是解题的关键.

44（＞/5+3）

【详解】解：叫召的\广一石一3,

/.4+/?=0,

・•・。与。互为相反数，

故选：A.

3.下列说法：①互为相反数的两数和为0；②互为相反数的两数商为-1；③若±=上，则％=），；④若以=纱,

aa

则工=儿其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了相反数的意义和等式的基本性质，根据相反数意义和等式的性质逐项判断即可求解，

掌握相反数的意义和等式的基本性质是解题的关键.

【详解】解：①互为相反数的两数和为0,正确，符合题意；

②当互为相反数的两数为0时，两数商无意义，故②错误，不合题意；

③若土=），则工=儿正确，符合题意；

aa

④当。=0时，⑪=缈，但爪y不一定相等，故④②错误，不合题意；

，正确的结论有①④，

故选：B.

4,下列说法中，正确的是（）

A.实数可分为正实数和负实数B.6、石、囱都是无理数

C.绝对值最小的实数是0D.无理数包括正无理数，零和负无理数

【答案】C

【分析】A、根据实数的分类即可判定；

B、根据无理数的定义和平方根的定义即可判定；

C、根据实数绝对值的定义即可判定；

D、根据无理数的分类及其定义即可判定.

【详解】解：A、实数分为正实数、负实数和0,故选项错误；

B、百二3是有理数，故选项错误；

C、绝对值最小的实数是0,故选项正确；

D、0不是无理数，故选项错误.

故选C.

【点睛】此题主要考查了实数的定义：有理数和无理数统称为实数，分数是有理数.也考查了实数的计算.要

求掌握这些基本概念并迅速做出判断.

5.在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：

①任何无理数都是无限不循环小数；

②立方根等于它本身的数是±1和0;

③在I和3之间的无理数有且只有及、上、亚、将这4个；

④T是分数，是有理数：

⑤由四舍五人得到的近似数7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的数.

其中正确的有（填序号）.

【答案】①②⑤

【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，近似数；根据无理数是无限不循环小数，立方根，实数的分

类，近似数，可得答案.

【详解】解：①任何无理数都是无限不循环小数，故①正确；

②立方根等于它本身的数是±1和0,故②正确；

③在1和3之间的无理数有无数个，故③错误；

④f是无理数，故④错误：

⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的数，故⑤正确；

故答案为：①②⑤.

6.给出卜.列说法：①。是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数

统称有理数；④非负数就是正数：⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的

数.其中正确的说法是.

【答案】2

【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答.

【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数，故①错误；

②有理数分为正数、负数和0,故②错误；

③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误；

④非负数包含正数和0,故④错误；

⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确；

⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.正确；

综上，正确的有⑤和⑥，共2个.

故答案为2.

【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键.

7.请把下列各数填入相应的集合中

c

1,5.2,0,2TT,—,-2'-0.030030003••

非负数集合：｛…｝

分数集合：｛…｝

无理数集合：｛…｝

【答案】5.2,0,2乃，—；5.2,—>—；2/r,-0.030030003...

27273

【分析】本题主要考查了实数的分类，由于实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无限不循

环小数是无理数；实数还可分为正实数、负实数和0.利用这些结论即可求解.

【详解】解：非负数集合：｛3,5.2,0,2万，y,

分数集合：｛：,5.2»—»——»...｝；

无理数集合:｛2^,-0.030030003...).

故答案为：；，5.2,0»2)，—■：5.2,—,—:2/r,-0.030030003....

27273

8.已知〃?的绝对值是1,〃的绝对值是4.求〃?-〃的最大值.

【答案】5

【分析】本题考杳了绝对值和有理数运算，解题关键是求出两个数，再根据求〃?一〃的最大值进行计算即可.

【详解】解：因为小的绝对值是1,n的绝对值是4,

所以〃2=±1,〃=±4,

当〃2=1,〃=一4时，，〃一〃的值最大，

最大值为m一〃=1一（-4）=5.

易错点二：运算顺序错误

实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律

在实数范围内仍然成立

易错提醒：在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，

再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大

括号.

例3.若有取一1.817,计算344一4石—992的结果是（）

A.-100B.181.7C.-181.7D.-0.01817

【答案】B

【分析】本题考查了实数的运算，先把沁的系数相加减，再把亚石=-1.817代入计算即可.

【详解】解：:石=-1.817,

/.3^-4^6-99^

=-1002

=-100x（-1.817）

=181.7.

故选B.

易错警示：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符

号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

例4.定义一种新的运算”(〃，〃)''，若a，=b,PW(4〃)=c.

①依定义，(216)=：

②若(5,10)+(5,20)=(5,幻，则％=.

【答案】4200

【分析】本题考查了幕的乘方，积的乘方等知识，①直接根据新定义即可求解设，②5m=10,5"=20,根

据新运算定义用也〃表小(5/0)+1：5,20)制方程即可求解，理解并运用新运算的定义是解题的关过.

【详解】解：①依题意可得2,=16，

c=4,

・•.(2,16)=4,

设5m=10，5"=20，

②依题意可知：(5,10)=〃?，(5,2。)二〃，

・•・(5,10)+(5,20)=〃?+〃，

/.(5,x)=〃?+〃

/.x=5w+fl

=5wx5M

=10x20

=2(X),

故答案为：4,2(X).

变式1.计算：

(1)(—11)—(—7.5)—(+9)4-2.5；

(2)|-1)2--^27+716

【答案】(1)一10

(2)8

【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键：

(1)先化为省略加号的和的形式，再计算即可；

(2)先计算乘方，立方根，算术平方根，再计算加减运算即可.

【详解】(1)解：(-11)-(-7.5)-(+9)+2.5

=-11+7.5-9+2.5

=-1()：

(2)

=1-(-3)+4

=1+3+4

变式2.计算：一F3+m—s.^y—v^+i—]

【答案】3-26

【分析】本题考查零指数基、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.分别利用二次

格式的化简、零指数哥及有理数的乘方法则计算即可.

【详解】解：原式=7+1-26+3

变式3.计算.

⑴历+「普

(2)(-2)2+Q_A/^7+卜闽

【答案】(1)—21

4

⑵及-1

【分析】本题考查了实数的运算.

(1)根据立方根、算术平方根的性质化简，再合并即可求解：

(2)根据立方根、算术平方根、乘方和绝对值的性质化简，再合并即可求解.

【详解】(1)解：血.125+/噜

=-3—+0.5+

2

I

+-

4

3

-

4

22

(2)解.：(-2)+^8-A/(-2)+|1-V2|

=4-2-2-1+72

变式4.观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：

(72+1)(72-1)=1,

(73+x/2)(V3-72)=1,

(〃+石乂/-8=1,

(75I-74)(75")=1,

⑴计算：f-7=--->­—(=—7=+~r=—7=+•,+----------](J2D23+1)；

IV2+1x/3+x/2V4+V3V2023+V2022J

(2)试比较布-J而与加一JTT的大小.

【答案】⑴2022

(2)712-VH<>/n-5/io

【详解】解：(1)原式=(应-1+75—应+4—G++J2023-J2022)(j2023+1)

=(72023-1)(72023+1)

=2023-1=2022.

(2)•/Vl2>Vio,

.•.配+而>而+后，

------1---<-----I----

・、历+«VFT+W'

X-.(V12-Vn)(Vi2+VH)=I.

(41-标)(而+痴)=1,

1.计算：(4+V13)(4-Vi3)-^8+|5-4V5|.

【答案】4>/5

【分析】本题主要考杳了实数的混合运算，先根据平方差公式，立方根的定义，绝对值的定义，将算式化

简，再进行计算即可，掌握实数的运算法则是解决问题的关键.

【详解】解：(4+后)(4一旧)一舛+卜一46|

=16-13-(-2)+4x/5-5

=4>/5.

2.计算：

(1)4-(-8)+(-6)

(2)l7+4x(-5)-K2x-!-

⑶㈤罟备积技)

(4)|73-2|-7(-2)2-^64

【答案】(1)6

(2)-31

4

(3)-2

⑷~4-G

【分析】本题考查实数的混合运算能力，

(1)先将原式化简，再进行加减运算；

(2)先计算有理数的乘除法，再计算加减运算；

(3)先计算立方、变除法为乘法，再运用乘法分配律计算乘法，最后计算加减运算；

(4)先计算绝对值、算术平方根和立方根，再进行加法运算；

解题的关键是能准确确定运算顺序和运算法则，并能进行正确地计算.

【详解】(1)解：4-(-8)+(-6)

=4+8-6

=6；

(2)l7+4x(-5)-R2xl

=17+(-20)-i

=17-20--

4

4

364

=-8+8-20+18

=-2；

(4)2—2卜J(_21-病

=-4一6.

3.阅读材料并解决问题：

求1+2+22+2,+L+2的的值.

^5=l+2+22+23+L+2202\等式两边同时乘2,则2s=2+2：+23++22023+22024,

两式相减得2S-SuZ202，1,所以5=22侬-1.

依据以上计算方法，计算1+3+32+33+-..+3期3=.

々2024_।

［答案］

【分析】本题考查了实数计算中的规律,读懂阅读材料并知晓等式两边同乘的是幕的底数是解题的关键.根

据阅读材料，可令S=l+3+32+33+..+32023,再利用等式的性质即可解题.

【详解】解：由题意知，令S=l+3+32+3、.一+3如，

等式两边同时乘以3,得35=3+32+33"F-.+32024

两式相减，得35-5=3血4-1

3*1

••o—,

2

3融4-1

故答案为:

~2~

4.对有理数m。定义运算“③"：a®b=ab-a-b-2

⑴计算（-2）合3的值;

⑵比较4③（一2）与（-2）®4的大小.

【答案】（1）—9

(2)40(-2)=(-2)04

【分析】本题考查了有理数新定义计算，大小比较:

（1）根据定义运算即可;

（2）先计算，后比较大小即可.

【详解】(1)Va®b=ab-a-b-2,

・•・(-2)③3

=(-2)x3-(-2)-3-2

=-6+2-3-2

=-9.

(2)Va®b=ab-a-b-2,

Z.4®(-2)

=4x(-2)-4-(-2)-2

=-8+2-4-2

=-12.

(-2)04

=(-2)x4-(-2)-4-2

=-8+2-4-2

=-12.

故.40(-2)=(-2)<2)4.

5.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数。，力M键，再输入数〃，就可以得到运算：

a*b=a2+b-ab.

⑴求(-5)*3的值；

⑵求(2*5)*(-6)的值.

【答案】(1)43

(2)-11

【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解题巨所给新定义的运算顺序和运算法则是解题

的关键.

(1)根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可；

(2)根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：根据题意可得：

(-5)*3=(-5)2+3-(-5)x3=254-3+15=43：

(2)解：根据题意可得：

(2*5)*(-6)

=(22+5-2X5)*(-6)

=(T)*(Y)

2

=(-1)+(-6)-(-1)X(-6)

=1—6—6

=-11.

6.符号表示一种运算，它对一组数的运算如下：

7，，、2?

"1)=1+丁/(2)=1+-,/(3)=1+-,/(4)=1+-...

⑴利用以上运算的规律写出/(〃)=_；(〃为正整数)

(2)计算,@四()〃)〃)/()：

⑶计算J/®?")!及))/'()/(一)的值.

2

【答案】(1)1+一;

n

(2)21:

(3)75151.

【分析】此题主:要考查了定义新运算，解题的关键是观察数字规律和熟练掌握实数的运算法则.

(I)根据题意中的运算，观察规律即可写出/(〃)；

(2)由(1)中求出/(〃)的表达式，即可求出〃$)见)/()/()/()的值；

(3)由(1)中求出/(〃)的表达式,即可求出但)在()]&"()〃—j的值.

【详解】⑴解：•・・〃1)=1+和/(2)=1+,/(3)=1+-,"4)=1+；,…，

2

f(〃)=1+[，

2

故答案为：1+一;

n

22,、222

(2)V/(1)=1+-,/(2)=1+-,/(3)=1+-,/(4)=1+7/(5)=1+-,

34567

-2

'"I/2”(3"(4)"51-2-3-4-5-

⑶”(4)?")[”)).”)/()=.3衿x-高专^-.

7.【阅读材料】•:,即2<石<3,，lv不-1<2,・•・6-1的整数部分为1,・'・6-1的小

数部分为6-1-1=6-2.

【解决问题】

(1)填空：底的小数部分是二

(2)已知。、b分别是短-4的整数部分、小数部分，求代数式行工+(。+9尸的值.

【答案】(1)府-9;

⑵84.

【分析】(1)由于81<82<100,可求版的整数部分，进一步得出辰的小数部分；

(2)先求出屈-4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可.

本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算.

【详解】(1)V81<82<100,

••・、厄的整数部分是9,

辰的小数部分是屈-9，

故答案为屈-9；

（2）•・•4、〃分别是庖-4的整数部分、小数部分，

.•.“=9-4=5,。=版-9，

，行TW+S+9）2

=4而+（廊-9+9『，

=探+（短

=2+82,

=84.

易错点三：混淆平方根、算术平方根、立方根

一、算术平方根：一个正数〃的算数平方根用符号表示为

二、平方根：一个非负数〃的平方根用符号表示为±6；

三、立方根：一个数”的立方根用符号表示为也.

易错提醒：几个特殊值：0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根

等于其自身的有TQ和1

例5.下列说法正确的是（）

A.行不是最简二次根式B.在数轴上找不到也

C.I的立方根与1的平方根相等D.Jil和人是同类二次根式

【答案】A

【分析】本题考查了最简二次根式，数轴与点，平方根与立方根，同类二次根式，根据性质判断解答即可.

【详解】A.而寿是最简二次根式，正确，符合题意；

B.在数轴上能找到血，错误，不符合题意；

C.1的立方根是1,1的平方根是±1,错误，不符合题意;

D.V12=2x/3,78=272,不是同类二次根式，错误，不符合题意;

故选A.

例6.已知行|+|〃-4|=0,贝勺的平方根是（）

3

A.正B.士且C.±-

D.4-

224

【答案】C

【解析】略

变式1.若一个正数％的平方根是打工和师］，则弘的值为.

【答案】-2

【分析】此题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，正确把握定义是解题关键；

根据平方根的定义得出17-。+勿-1=0,进而求出a的值，即可得〃;的值.

【详解】•・717-4和13〃-1是x的平方根,

故圻不二和向二I互为反数，

・•・17-。与与-1互为相反数,

即17-。+%-1=0,

解得a=-8,

>!a的值为-2，

故答案为：-2.

变式2.已知5a+2的立方根是3,3。+力-1的算术平方根是4,c•是的整数部分.

（1）求4,b,c的值；

⑵求a-»+c的平方根.

【答案】（l）a=5/=2,c=3；

⑵包

【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出小仇。的值;

（2）将a,4c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可.

【详解】⑴解：5〃+2的立方根是3,

:,5a+2=3\解得。=5,

•.•口+〃-1的算术平方根是4,

.•.%+〃—1=42.把。=5代入可得匕=2,

•*是g的整数部分.

c=3；

：.a=5,b=2,c=3.

（2）解：把，a=5,〃=2,c=3代入乃+c得：

«-2/?+c=4,

.•.a-2Z?+c•的平方根是±2.

【点睛】此题考查业力根的意义、算术平力根的意义、无理数的估算:力法、平为根的意义、代数式求值等

知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键.

变式3.已知某正数的两个平方根分别是T和a-2,匕-5的立方根为2,

⑴求小力的值:

⑵求。+人的算术平方根.

【答案】（1）。=3,力=13

（2）4

【分析】本题主要考杳了平方根、立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根

的计算方法是解题的关键.

（1）根据正数的两个平方根互为相反数可求得〃的值，力-5的立方根为2列方程求解即可求得力的值；

（2）根据（1）可求得的值，然后再求其算术平方根即可.

【详解】（1）解：•・•某正数的平方根分别是T和〃-2,8-5的立方根为2,

-1+«-2=0,。-5=8,

解得a=3,/?=13.

（2）解：/?=13,

/.474-/2=3+13=16,

•・•16的算术平方根为4,

・•・〃+人的算术平方根为4.

变式4.(1)若y+1是所的整数部分，求1+4)，的平方根；

(2)已知2x+l和4x+3都是烧的平方根,求「的值.

【答案】(1)±3：(2)1或/

【分析】本题考查了平方根的概念、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

(1)由题意可得出『的值，从而可求出答案；

(2)由平方根的定义可列出方程，从而求出工的值，进•步得出答案.

【详解】解：(1)3cM<4

j+1=3

.••)=2

l+4y=l+8=9

.•.士Jl+4,，=±®=±3

故l+4y的平方根为±3；

(2)2x4-1和4x+3都是加的平方根

/.(2A+1)2=(4X+3)2

2

解得x=-1或x=\

〃7=(2X+1『=(-2+1)2=1或〃?=(2工+1)2=(-^+1)2=g

1.V2口的立方根是；屈的平方根是.

【答案】-返±>/6

【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键.分别进行计算

即可得到答案.

【详解】解：中的立方根是跖；

扃的平方根是土布.

故答案为：>/4;±^6.

2.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法:

①当输出值），为3时，输入值x为3或9；

②当输入值x为16时，输出值），为应；

③对于任意的正无理数），，都存在正整数-使得输入后能够输出尸

④存在这样的正整数x,愉入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出），值.其中错误的是（）

A.①②B.@®C.①④D.①③

【答案】D

【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解.

【详解】解：①x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故①说法错误；

②输入值x为16时，\[\6=4,>/4=2>即y=&,故②说法正确；

③对于任意的正无理数户都存在正整数1，使得输入x后能够输出户如输入/，算术平方根式是兀，输

出的），值为兀，故③说法错误；

④当x=l时，始终输不出y值.因为1的算术平方根是1,一定是有理数，故④原说法正确.

其中错误的是①③.

故选：D.

3.一个正数x的平方根是勿-3与5-。，丁的立方根是-3,求彳+y+3的算术平方根.

【答案】5

【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的定义，根据“正数有两个平方根，它们互为相反数''列式求

得。与工的值，再根据立方根定义求得的值，将x与>的值代入x+）,+3求解，即可得到x+>+3的算术平

方根.

【详解】解：•,•一个正数x的平方根是2a-3与5-。，

...加一3+5—々=0,解得。二一2,

将a=—2代入5—«中，得x=[5-(-2)]2=49,

•・,)’的立方根是-3,

.•.y=(-3)-=-27,

将x=49,y=-27代入x+y+3中，

有工+y+3=49-27+3=25,则25的算术平方根为后=5.

x+y+3的算术平方根为5.

4.己知%+2的立方根是-1,2a+〃-1的算术平方根是3,。是而的整数部分.

⑴求。，b,。的值；

⑵求j2〃-4a-c的平方根.

【答案】(1)。=-1,b=l2,c=3

(2)J2b-4a-c的平方根土行

【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、

算术平方根的定义是解题的关键.

(1)根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求〃，b,c的值；

(2)将〃，力，c的值代入J2……求出结果,再根据平方根的定义进行解答即可.

【详解】(1)解：・.・为+2的立方根是-1,2〃+b-1的算术平方根是3,

/.3a+2=-l,2a+b-\=9,

解得：a=-i,b=\2,

3<x/H<4，

二.E的整数部分3,

c—3,

/.«=—1»Z?=12,c=3；

(2),b=12,c=3,

/.\2b-4a-c=^2xl2-4x(-1)-3=y/25=5,

y12b-4a-c的平方根±6.

5.己知。的平方根是±2,”是27的立方根，c是g的整数部分.

⑴求a+0+c的值；

（2）若x是后的小数部分，求X-J/+21的平方根.

【答案】（1）10

⑵±3&

【分析】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根.

（1）根据平方根，立方根的定义，无理数的估算求出的。，江。的值，代入计算即可得出答奚；

（2）先得出x的俏，即可得出结果.

【详解】（1）•・•，的平方根是±2,

•・•〃=4,

丁力是27的立方根，

・・・力=3,

•••c是g的整数部分，而3＜巫＜4

c*=3,

/.d+Z;+c=4+3+3=10；

（2）由（1）可知，位的整数部分是3,

•、是g的小数部分，

:.工=屈-3,

A^-Vl2+21=Vl2-3-712+21=18»

・•・x-g+12的平方根是±3&.

6.已知2cLi的平方根是±3,3〃+〃-9的立方根是2,c是质的整数部分，求a+〃+c的平方根.

【答案】±3

【分析】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本

运算技能，灵活估算无理数是解题的关键.

【详解】解：根据题意，可得加一1=9,3a+〃一9=8

故q=5,/?=2

又・；2＜逐＜3

.'.c=2

:.a+b+c=5+2+2=9

••.9的平方根为±3.

7.已知。-4的立方根是1,%+〃-1的平方根是±4,。是M的整数部分.求。+劝-。的算术平方根.

【答案】V5

【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算，分别求得的对应值是解题的关键.根据立方根

的定义，求得的。值，根据平方根，可求得〃值，根据无理数的估算，可得。，代入代数式，进而求算术平

方根即可求解.

【详解】解：由题可得：

4=1,3〃+力—1=16,

.*•ci=5,b=2,

v4<M<5，

/.c=4,

.,.a+2/)—c=5+2x2—4=5,

.•.a+%-c,的算术平方根为：75.

易错点四：有效数字和精确度识别错误

一、科学记数法：表示形式为〃乂10”的形式，其中14同<10,〃为整数.

二、近似数：一个近似数四舍五人到哪一位，就说它精确到哪一位

易错提醒：(1)科学计数法中确定〃的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与

小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数；

<2)有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字

例7.宁都县位于赣江东源贡水上游.2020年户籍人口约为904000人，用科学的计数方法表示904000为

()

A.9.04x10'B.90x104C.9.04x105D.9.04xlO6

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为0X10〃的形式，其中隆同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变

成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正数：当

原数的绝对值VI时，〃是负数.

【详解】解：904000=9.04X10\

故选:C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。xl0〃的形式，其中号同＜10,〃为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

例8.把准确数237.448四舍五入，精确到十分位的近似数是.这个近似数有一个有效数字.

【答案】237.44

【分析】本题主要考查了近似数，有效数字，先把百分位上的数字4进行四舍五入可得近似数，再根据有

效数字的定义解答即可.

【详解】解：237.448«237.4(精确到十分位)，近似数237.4的有效数字为2、3、7、4.

故答案为:237.4；4.

变式1.数据0.001239用科学计数记作()

A.1.239x10-B.0.1239x10-3C.12.39xl0-2D.1.239x10^*

【答案】A

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax](T",与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解:0.001239=1.239x1()0

故答案为：A.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axur其中0j4wi0,n为由原数左边起第一

个不为零的数字前面的0的个数所决定.

变式2.“厚德开泰，奋发图兴''是130万泰兴人的不懈追求，130万用科学计数表示为()

A.13x105B.1.3X106C.1.3x|()7D.l.3xl09

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中号间＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对•值＞1时，n是正数；当

原数的绝对值VI时，n是负数.

【详解】将130万用科学记数法表示为1.3xl()6.

故选B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为axion的形式，其中

l<|a|<I0,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

变式3.用四舍五入法取近似数，保留3位有效数字后，1.804。.

【答案】1.80

【分析】本题主要考查有效数字和近似数，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是。的数字起，后面

所有的数字都是这个数的有效数字.

【详解】解：根据题意得：1.804480

故答案为：1.80.

变式4.6.4349精确到0.01的近似数是,精确到个位的近似数是一，保留4个有效数字时是一，

精确到千分位时是;

【答案】6.4366.4356.435

【分析】本题考查近似数及有效数字.根据对一个数精确到哪一位就是对这一位后面的数字进行四舍五入

即可.

【详解】解：6.4349精确到0.01的近似数是6.43,

精确到个位的近似数是6,

保留4个有效数字时是6.435,

精确到「分位时是6.435.

故答案为：6.43,6,6.435,6.435

1.在芯片设计和制造中，为了表示芯片中晶体管与晶体管之间的距离，经常需要用到纳米这样的计数单

位.我们知道：1纳米=0.000001亳为，傕米=0.001米，贝IJ1纳米=()

A.10-8米B.10.9米C.10一0米D.1O-"米

【答案】B

【分析】根据科学记数法定义处理，把一个绝对值小于1的数表示成axl(r"，其中1<忖<10,〃等于原

数第一个不为零的数字前零的个数.

【详解】解:1纳米=0.000001毫米=0.000000001米=10f米

故选:B

【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法定义是解题的关键.

2.下列说法正确的是().

A.0.600有4个有效数字B.5.7万精确到0.1

C.6.610精确到千分位D.2.708x1()4有5个有效数字

【答案】C

【分析】本题考查了近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位.有效数字

是指从左起第一个不为0的数开始所有数字个数的和.

【详解】解：A、0.600有3个有效数字，故本选项错误；

B、5.7万精确到千位，故本选项错误；

C、6.610精确到千分位，故本选项正确：

D、:2708xl0,有4个有效数字,故本选项错误.

故选：C.

3.2020年我国GDP达到1015986亿元，是全球为数不多的实现经济正增长的国家之一，用科学计数法保

留4个有效数字可表示为亿元.

【答案】1.016xl06

【分析】先把1015986亿元表示成axKT的形式,进而把。保留4个有效数字即可.

【详解】解：1015986亿元=1.015986x10。亿元al.OI6xW亿元，

故答案为：1.016x1()6

【点睛】本题考查科学记数法及有效数字的应用：科学记数法的长小形式为4x10”的形式，其中

〃为整数数位减1;保留几个有效数字，从，的左边第一个不是0的数字数够需要的数字，让下一位四舍五

入.

4.世界上最小、最轻的昆虫是膜翅缨小蜂科的一种卵蜂，其质量只有0.000005克；0.000005用科学记数表

示为()

A.5X10-6B.5xl()7C.5X10-4D.5xlO-3

【答案】A

【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(T",其中1«忖V10，〃为整数.

【详解】解：0.000005=5xl0-6.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为〃xl(T，其中1〈忖＜10,〃为由原数

左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定，确定。与〃的值是解题的关键.

5.下列说法中，正确的是()

A.近似数28.0()与近似数28.0的精确度-样

B.近似数0.32与近似数0.302的有效数字一样

C.近似数2.4x102与近似数240的精确度一样

D.近似数220与近似数0.101都有三个有效数字

【答案】D

【分析】本题主要考查了近似数的精确度与有效数字的意义，根据这两者的意义解题即可.

【详解】解：A、近似数28.00精确到百分位，近似数28.0精确到十分位，故本选项不符合题意；

B、近似数0.32有3、2两个有效数字，近似数0.302有3、0、2三个有效数字，故本选项不符合题意；

C、近似数2.4x102精确到十位，240精确到个位，故本选项不符合题意：

D、近似数220与近似数0.101都有三个有效数字，故本选项符合题意.

故选：D.

6.记者从2022年高质量发展新闻发布会上获悉，截至2022年年底，国家能源集团风电装机达到5600万

千瓦，继续保持世界第一、其中数据5600万可用科学记数表示为千瓦.

【答案】5.6xl07

【分析】根据科学记数法表示形式的确定方法即可求解.

【详解】解:数据5600万可用科学记数表示为5.6x107,

故答案为：5.6x10。

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为|〃|xl(r,其中，IWavlO,〃为整

数，〃是把原数的小数点移动到左边第一个不为0的数字的后面所得到的数，确定〃的值，要看小数点向左

移动了几位，〃就等于几.

7.海洋面积361000000/2用科学记数法可记作km'(保留2个有效数字)

【答案】3.6x10s

【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数.考查科学记数法即考查应用数学的能力.有效数字是从

左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，根据定义即可求解.

【详解】解：根据题意361000000=3.61x108*3.6x108

故答案为：3.6xl()8.

易错点五：混淆代数式的运算法则

一、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母

连同它的指数不变

二、幕的运算：①同底数哥的乘法：②鼎的乘方：（4"'）"=。加；

③积的乘方：（"）”二优夕；④同底数累的除法：a』="'.

例9.下列计算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.C.（/）=,/D.=ab2

【答案】C

【分析】此题主要考查同底数幕的乘法，暴的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算

法则.

【详解】解：A、A不是同类项，不能合并，故不正确：

B、/./=/,原计算不正确：

C、（/）2=不，原计算正确；

D、（他『=//，原计算不正确；

故选C.

例10.（1）化简：5A7-（4.r2+2y）-2[.17-1；

（2）先化简，再求值：3a2b-2ab2-2（ab-a2b]+ab+3ab2,其中。=2,b=-3.

【答案】（1）-41-2），+2

（2）加+ab，12

【分析】本题考查了整式的化简求值.熟练掌握整式的化简求值是解题的关键.

（1）先去括号，然后合并同类项即可；

（2）先去括号，然后合并同类项，可得化简结果，最后代值求解即可.

【详解】（1）解：5孙-（4丁+2.|-26个-1）

=59-4x2-2y-5xy+2

（2）解：3crb-2加一21力—+3加

=3a%2alr-2ab+3a2b+〃〃）+3ab2

=3a%-2ab2+lab-3a'b-ab+3加

=cib'+ab，

当〃=2,/?=—3时，原式=2x（-3）'+2x（—3）=12.

变式I.已知A=2x+