2024年高考数学一轮知识点复习-计数原理与二项式定理（解析版）

计数原理与二项式定理一、知识速览二、考点速览

知识点1两个计数原理1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．知识点2排列与组合1、排列与排列数（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．（2）排列数的公式：．特例：当时，；规定：．（3）排列数的性质：①；②；③．2、组合与组合数（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．（2）组合数公式及其推导求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；根据分步计数原理，得到；因此．这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．（3）组合数的主要性质：①；②．3、排列和组合的区别（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．知识点3二项式定理1、二项式定理（1）二项式定理：，（2）通项公式：，表示展开式的第项：，（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（4）两个常用的二项展开式：①（）②2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质：=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．（2）二项式系数先增后减中间项最大=1\*GB3①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；=2\*GB3②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（3）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．3、二项展开式中的系数和问题（1）二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．（3）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．一、求解排列应用问题的六种常用方法1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列6、间接法：正难则反、等价转化的方法【典例1】（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（）种表演顺序.A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为，在确定其余6人顺序为，由分步乘法原理可得一共有种顺序.故选：C.【典例2】（2023上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即，故选：B.【典例3】（2022上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（）A．24种B．40种C．60种D．84种【答案】B【解析】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B．【典例4】（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．【答案】【解析】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为种.【典例5】（2023上·上海·高三延安中学校考期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.【答案】54【解析】若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有种不同参赛方案，若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有种，所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.二、组合问题的常见类型与处理方法（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．【典例1】（2023上·河北邢台·高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（）A．160种B．220种C．256种D．472种【答案】A【解析】若取出的球中有1个红球，不同的取法有种；若取出的球中有2个红球，不同的取法有种.故不同取法有种.故选：A.【典例2】（2023·云南·高三校联考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A．1800B．1080C．720D．360【答案】B【解析】①恰有2个部门所选的旅游地相同，第一步，先将选相同的2个部门取出，有种；第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有种，根据分步计数原理可得，方法有种；②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，根据分类加法计数原理得，甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．故选：B三、分组分配问题的解题思路分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．【典例1】（2023上·江苏常州·高三统考期中）将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为（用数字作答）【答案】216【解析】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，共有种方案，甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则剩余3本书分别给3位同学，有种方案，综上，不同的分配方案数为种．【典例2】（2023上·广东广州·高三空港实验中学校考期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为．【答案】【解析】将四人分成两人两组共有种，再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有种，又甲、乙安排在一起共有种，所以甲、乙安排在一起的概率为.【典例3】（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2门，该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有种.（用数字作答）【答案】90【解析】由题意，前三年修完5门选修课程，每学年至多选2门，则小明同学每年所修课程数为1，2，2，先将5门学科按1，2，2分成三组，有种方法，再分到这三个学年，有种不同方法，由分步乘法计数原理得，不同选修方式共有种.【典例4】（2023上·重庆·高三统考期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A．60种B．150种C．180种D．300种【答案】B【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有种；②三组人数为2、2、1，此时有种.所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．故选：B．四、二项展开式中的特定项求解二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．【典例1】（2023上·天津·高三南开中学校考阶段练习）二项式的展开式中的常数项为.【答案】240【解析】二项式的展开式通项为，由，得，所以所求常数项为.【典例2】（2023上·重庆·高三八中校考阶段练习）的展开式的第4项是.【答案】【解析】由题设，二项式展开式通项为，第4项为.【典例3】（2023下·河北邯郸·高三校联考开学考试）的展开式中,有理项是.（用关于x的式子表示）【答案】和【解析】由题知,记展开式的通项为,则,由,得或8,所以,故有理项是和.五、三项展开式中某些特定项的系数的求法（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．【典例1】（2019下·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）的展开式中常数项为.【答案】【解析】中的常数项为，故答案为:88【典例2】（2020下·山东枣庄·高二枣庄第三中学校考阶段练习）在的展开式中，x2项的系数为（）A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】在的展开式中，通项公式为Tr+1•.对于，通项公式为Tk+1•xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为•45，故选：B.【典例3】（2022上·广东深圳·高三校联考阶段练习）下列各式中，不是的展开式中的项是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项.故选:D.六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路（1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．【典例1】（2023上·河南·高三实验中学校考期中）的展开式中，的系数为（）A．200B．40C．120D．80【答案】B【解析】，而展开式的通项为，所以当时，的系数为，当时，的系数为，所以的系数为，故选：B【典例2】（2023·全国·模拟预测）的展开式中，常数项为（）A．B．C．180D．300【答案】B【解析】的展开式的通项为．当为常数时，，解得，则；为常数时，，解得，则，所以的展开式中常数项为．故选：B．【典例3】（2023·河南·高三校联考模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为.【答案】【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项．整个式子中项可由，的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，其中展开式的通项为（），展开式的通项为（）；故所求为．七、二项式系数的和与各项的系数和问题（1）系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【典例1】（2023·浙江·模拟预测）若，且奇数项二项式系数之和为512，则.【答案】【解析】由题意，，在中，两边同时求导得，，当时，，∵奇数项二项式系数之和为512，∴，解得：，∴.【典例2】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若，，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】令得：，所以选项A正确；令得：，所以，所以选项B错误；因为，所以选项C正确；，两边对求导得：，令得：，选项D错误；故选：AC.【典例3】（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）若，则.【答案】【解析】由，其中二项式展开式的通项公式为，当时，可得，所以.故答案为：.八、二项式系数最大与最小二项式系数先增后减中间项最大（1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；（2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．【典例1】（2023下·云南·高三师大附中校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的项是（）A．160B．240C．D．【答案】C【解析】因为，所以的展开式中二项式系数最大为，即展开式的第4项，即.故选：C．【典例2】（2023上·海南·高三洋浦中学校考阶段练习）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为.【答案】【解析】由题意，只有第5项的二项式系数最大知，展开式中有共项，则，所以的展开式的通项为，令，解得，故展开式中的项为.【典例3】（2023·山东·高三省实验中学校考二模）展开式中二项式系数最大的项的系数为．【答案】【解析】由二项式系数的基本性质可知，展开式中二项式系数最大的项为.因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为.九、二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得．【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】的展开式的通项为，由题可知，解得．故选：A【典例2】（2023·湖北襄阳·高三襄阳四中校考模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（）A．项B．项C．项D．项【答案】D【解析】的展开式中前三项的二项式系数和为，整理可得，且，解得，的展开式通项为，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得，因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项.故选：D.易错点1利用分步乘法原理计数，分步标准错误点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.【典例1】（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是．【答案】【解析】根据题意，把甲乙看成一个同学，由分步计数原理，可得不同选择的种类是．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.【答案】72【解析】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有（种），所以不同的涂色方法共有（种）.【典例2】（2023上·陕西西安·高三阶段练习）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.该旅游博主游览五岳可分两类方法：第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；由分类计数原理可得，共有种方法.设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：若该月只游览两大名山，则只有种方法；若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，则第二步共有种方法；由分步计数原理，则完成事件共有种方法.由古典概型概率公式得.故选：C.易错点2数字排列中“0”的位置不明点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）从0，1，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字可以出现两次），如5224．则这样的四位数共有个．【答案】3888【解析】分三种情形讨论．四位数中不含0的有（个）；四位数中含0且0只出现一次的有（个）．从而，共有个．【典例2】（2023·福建泉州·高三统考模拟预测）将，，，，任意排成一行，可以组成个不同的6位数．（用数字作答）【答案】【解析】将，，，，任意排成一行，且数字不在首位，则有种，数字和相邻且在之前的排法有种，故所求满足题意的位数有个.【典例3】（2023·广东·高三深圳中学校联考模拟预测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有个.【答案】108【解析】满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分宜以下几类：第一类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第五位，先排第一位有两种排法，再排第三位和第五位有种排法，再将奇数排在第二，四，六位有种排法，所以第一类包含的六位数的个数为，第二类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第六位，先排第一位有两种排法，再排第三位和第六位有种排法，再将奇数排在第二，四，五位有种排法，所以第二类包含的六位数的个数为，