2025年外研版三年级起点高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高一数学下册月考试卷478考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】如右图所示，正三棱锥中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）

A.B.C.D.随点的变化而变化。2、【题文】已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（）．A.B.C.D.3、为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是（）A.2019B.2020C.2021D.20224、已知平面向量=（4，1），=（x，-2），且2+与3-4平行，则x=（）A.8B.-C.-8D.5、某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（）A.5000名学生是总体B.250名学生是总体的一个样本C.样本容量是250D.每一名学生是个体评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、设函数f（x）=1+log2x的定义域和值域都是[a，b]（b＞a＞0），则a+b=____．7、已知函数且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a＋a＋a＋＋a等于____．8、【题文】已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝则∁UA＝________．9、【题文】函数（＞-4）的值域是▲10、若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是[2，n]，则mn=____．11、函数f（x）=x∈[2，4]的最小值是____．12、若函数f（2x）=3x2+1，则f（4）=______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、作出下列函数图象：y=16、作出函数y=的图象．17、请画出如图几何体的三视图．

18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．19、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共4题，共36分)21、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．22、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．23、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．24、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)25、已知∠A为锐角且4sin2A-4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=____．评卷人得分六、解答题(共2题，共14分)26、已知集合（1）若求（2）若求实数a的取值范围.27、【题文】（12分）已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求球的体积。参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】

试题分析：连接因为三棱锥为正三棱锥，分别是的中点，所以因为所以平面因为所以平面因为平面所以所以直线与所成的角的大小是

考点：本小题主要考查线性平行；线面垂直、线线垂直的判定及应用；考查学生的空间想象能力和推理论证能力.

点评：线线、线面、面面之间的平行和垂直是高考的重点内容，要仔细分析，灵活转化应用.【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】线段的中点为直线的斜率为所以直线为．【解析】【答案】A3、B【分析】【解答】解：∵小明的母亲是出生于1964年的女干部；

∴按原来的退休政策；她应该于：1964+55=2019年退休；

∵从2018年开始；女性退休年龄每3年延迟1岁；

∴据此方案；她退休的年份是2020年．

故选：B．

【分析】按原来的退休政策，她应该于：1964+55=2019年退休，再据此方案，能求出她退休的年份．4、C【分析】解：∵=（4，1），=（x；-2）；

∴2+=（8+x，0），3-4=（12-4x；11）；

∵2+与3-4平行；

∴（8+x）×11-0×（12-4x）=0

解得；x=-8．

故选：C．

根据所给的向量的坐标和两个向量平行的关系；写出两个向量平行的共线的充要条件，得到关于x的方程，解方程即可．

本题考查平面向量共线的表示，是一个基础题，这种题目可以单独出现，也可以作为解答题目的一部分出现．【解析】【答案】C5、C【分析】解：总体指的是5000名参加今年大联考的学的成绩；所以A错；

样本指的是抽取的250名学生的成绩；所以B对；

样本容量指的是抽取的250；所以C对；

个体指的是5000名学生中的每一个学生的成绩；所以D错；

故选：C．

本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据；而非考查的事物．”我们在区分总体；个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，考查对象是某地区初中毕业生参加中考的数学成绩，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

考查统计知识的总体，样本，个体，等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．【解析】【答案】C二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】

因为函数f（x）=1+log2x是定义域内的增函数；

且定义域和值域都是[a，b]（b＞a＞0）；

所以即a，b为方程log2x=x-1的两个根；

所以a=1，b=2．

则a+b=3．

故答案为3．

【解析】【答案】由函数f（x）=1+log2x是定义域内的增函数，且定义域和值域都是[a，b]，可得a，b为方程log2x=x-1的两个根，由此可解的a和b的值；则答案可求．

7、略

【分析】【解析】

当n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，当n为偶数时，an=f（n）+f（n+1）=-n2+（n+1）2=2n+1，则S100=（a1+a3+a5+a7+..+a99）+（a2+a4+a6+a8+.+a100）=-2×（1+3+5+77+..+99）-5+2×（2+4+6+8+++100）+5=100【解析】【答案】1008、略

【分析】【解析】因为A＝当n＝0时，x＝－2；当n＝1时不合题意；当n＝2时，x＝2；当n＝3时，x＝1；当n≥4时，xZ；当n＝－1时，x＝－1；当n≤－2时，xZ.故A＝{－2，2，1，－1}．又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．【解析】【答案】{0}9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、8【分析】【解答】解：∵f（x）=x2﹣4x+4+m的对称轴为x=2；

∴函数f（x）在[2；n]上为增函数；

f（2）=4﹣8+4+m=2；解得m=2；

f（n）=n2﹣4n+4+m=n；解得n=3或n=2（舍去）；

∴mn=23=8；

故答案为：8

【分析】利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，判断出二次函数的单调性，得到函数的最值，列出方程求出m，n．11、3【分析】【解答】解：函数f（x）==2+∵x∈[2，4]；

∴x﹣1∈[1；3]；

故1≤≤3；

故3≤2+≤5；

故函数f（x）=x∈[2，4]的最小值是3；

故答案为：3．

【分析】分离常数可得f（x）==2+从而求最小值．12、略

【分析】解：函数f（2x）=3x2+1，则f（4）=f（2×2）=3×22+1=13．

故答案为：13．

直接利用函数的解析式求解函数值即可．

本题考查函数的解析式以及函数值的求法，考查计算能力．【解析】13三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．16、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可17、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．18、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共4题，共36分)21、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．22、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．23、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．24、略

【分