2025年沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册月考试卷762考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知集合A={x|3≤x＜7}；B={x|x＜-1或x＞4}，则集合A∩B等于（）

A.{x|-1≤x＜7}

B.{x|x≤3或x＞7}

C.{x|3≤x＜7}

D.{x|4＜x＜7}

2、已知则与的夹角是（）A.150B.120C.60D.303、【题文】设直线的倾斜角为且则满足（）

ABCD4、【题文】函数的单调减区间为（）A.B.C.D.5、一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示；则这个三棱柱的左视图的面积为（）

A.B.8C.D.126、已知则=（）A.1B.2C.3D.47、已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥则实数k的值为（）A.2B.﹣2C.1D.﹣18、鈻�ABC

中，已知a=2b=xB=60鈭�

如果鈻�ABC

有两组解，则x

的取值范围(

)

A.x>2

B.3<x<2

C.2<x<433

D.2<x鈮�433

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、函数的定义域是____．10、【题文】已知函数则＝____．11、过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心．12、在锐角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差数列，设y=sinA-cos（A-C+2B），则y的取值范围是______．13、已知量（1，2），=2，），若向量λ+与向量1，-2）线，则实数λ=______．14、如果a＜0，-1＜b＜0，则ab2，a，ab的大小关系是______．15、已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为若直线m与l平行且两直线间的距离为3，则直线m的方程为______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)16、如图；为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应该如何设计才能使草坪面积最大？

17、【题文】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝cosC＝

(1)求sinA的值；

(2)求△ABC的面积．18、【题文】如图，已知圆与圆外切于点直线是两圆的外公切线，分别与两圆相切于两点，是圆的直径，过作圆的切线，切点为

（Ⅰ）求证：三点共线；

（Ⅱ）求证：19、【题文】已知函数（为实常数）

（1）若将写出分段函数的形式；并画出简图，指出其单调递减区间；

（2）设在区间上的最小值为求的表达式。20、据气象部门预报，在距离码头A南偏东45°方向400千米B处的台风中心正以20千米每小时的速度向北偏东15°方向沿直线移动，以台风中心为圆心，距台风中心100千米以内的地区都将受到台风影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，码头A将受到台风的影响？影响时间大约有多长？21、已知A={x|a+1≤x≤2a-1|}；B={x|x≤3或x＞5|}

（1）若a=4；求A∩B；

（2）若A⊆B，求a的取值范围．22、已知集合A={x|x>2m}B={x|鈭�4<x鈭�4<4}

(1)

当m=2

时；求A隆脠BA隆脡B

(2)

若A??RB

求实数m

的取值范围．23、某市统计局就某地居民的月收入调查了10000

人；并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(

每个分组包括左端点.

不包括右端点.

如第一组表示收入在[1000,1500)

(1)

求居民收入在[3000,3500)

的频率；

(2)

根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；

(3)

为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000

人中按分层抽样方法抽出100

人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)

的这段应抽取多少人？24、已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx鈭�1(x隆脢R)

．

(1)

把f(x)

化简成f(x)=Asin(娄脴x+娄脮)(A>0,娄脴>0,0<娄脮<娄脨2)

的形式。

(2)

求函数f(x)

的单调增区间．评卷人得分四、证明题(共2题，共10分)25、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．26、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、作图题(共2题，共6分)27、作出函数y=的图象．28、请画出如图几何体的三视图．

参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】

∵集合A={x|3≤x＜7}；B={x|x＜-1或x＞4}；

∴集合A∩B={x|4＜x＜7}；

故选D．

【解析】【答案】由题意结合数轴求解；注意等号，根据交集的定义计算A∩B．

2、B【分析】【解析】

因为【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】由可得：

所以直线斜率

故：

所以：选D.【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、A【分析】【解答】该三棱柱的侧视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”的原理知，其侧视图的底边长为俯视图正三角形的高侧视图的高为故其侧视图的面积为故选A.6、A【分析】【解答】法一：由而故

法二：选A.7、A【分析】【解答】解：∵

∴

∴k=2．

故选：A．

【分析】根据条件便有进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．8、B【分析】解：隆脽鈻�ABC

有两组解，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA

隆脿2sin60鈭�<x<2

解得3<x<2

．

故选：B

．

由鈻�ABC

有两组解，可由余弦定理得2sin60鈭�<x<2

解出即可得出．

本题考查了正弦定理、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

要使原函数有意义，则需log3（x-1）≥0；即x-1≥1，解得：x≥2；

所以原函数的定义域为[2；+∞）．

故答案为[2；+∽）．

【解析】【答案】函数给出的是无理函数；需要根式内部的代数式大于等于0，由对数函数的单调性可求解x的范围．

10、略

【分析】【解析】11．【解析】【答案】-211、外【分析】【解答】证明：点P为△ABC所在平面外一点；PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC；

故△POA；△POB，△POC都是直角三角形。

∵PO是公共边；PA=PB=PC

∴△POA≌△POB≌△POC

∴OA=OB=OC

故O是△ABC外心。

故答案为：外．

【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．12、略

【分析】解：锐角△ABC中，∵∠A，∠B，∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，∴∠B=．

设y=sinA-cos（A-C+2B）=sinA-cos2A=sinA-1+2sin2A=2-

∵sinA∈（0；1），∴y∈（-1，2）；

故答案为：（-1；2）．

由题意可得2∠B=∠A+∠C，再化简y=sinA-cos2A=2-根据sinA∈（0，1），利用二次函数的性质求得y的取值范围．

本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．【解析】（-1，2）13、略

【分析】解：为向量=（，2），=2；0）；

又向λ+与向量=（1；-）线；

所以-2（λ+22λ；

所向量λ+=（λ2；λ）；

故答案：-1．

利用量的坐标就向量共线的质得到λ方程解之．

.本题查了向量加法以向量线的坐标示于基础题．【解析】-114、略

【分析】解：∵a＜0，-1＜b＜0；

∴0＜b2＜1；

∴0＞ab2＞a；

又ab＞0；

∴a＜ab2＜ab．

故答案为：a＜ab2＜ab．

根据不等式的基本性质，得0＜b2＜1，即0＞ab2＞a；又ab＞0，即得a、ab2、ab的大小．

本题考查了不等式的基本性质的应用问题，解题时应根据不等式的基本性质，灵活地把不等式变形，以便得出正确的结论．【解析】a＜ab2＜ab15、略

【分析】解：由直线m与直线l平行；可设直线m的方程为3x+4y+c=0；

∵直线m与l平行且两直线间的距离为3；

∴点P到直线m的距离为3，由点到直线的距离公式，得=3；

解得c=1或c=-29；故所求直线方程3x+4y+1=0，或3x+4y-29=0．

故答案为：3x+4y+1=0；或3x+4y-29=0．

由直线m与直线l平行；可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式求得待定系数c值，即得所求直线方程．

本题考查用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，求出待定系数是解题的关键．【解析】3x+4y+1=0，或3x+4y-29=0三、解答题(共9题，共18分)16、略

【分析】

建立如图示的坐标系，则E（30，0）F（0，20），那么线段EF的方程就是

在线段EF上取点P（m；n），作PQ⊥BC于Q，作PR⊥CD于R；

设矩形PQCR的面积是S；则S=|PQ||•|PR|=（100-m）（80-n）；

又因为所以n=20（1-）；

故S=（100-m）（80-20+）=

∵0≤m≤30，∴当m=5时S有最大值，这时==

故当矩形广场的两边在BC；CD上；一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5：1时，广场的面积最大．．

【解析】【答案】建立坐标系；确定线段EF的方程，表达出矩形PQCR的面积，再利用配方法求出面积的最大值，从而问题得解．

17、略

【分析】【解析】(1)在△ABC中，∵cosC＝∴sinC＝

由正弦定理

得＝∴sinA＝

(2)由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，∴2＝1＋b2－b；

∴2b2－3b－2＝0，∴b＝2；

S△ABC＝absinC＝×1×2×＝【解析】【答案】（1）（2）18、略

【分析】【解析】

试题分析：（I）连接由于是圆的直径，可得．作圆与圆的内公切线交与点．利用切线的性质可得：再利用三角形的内角和定理可得进而证明三点共线．

（II）由切线的性质可得利用射影定理可得．再利用切割线定理可得即可证明．

试题解析：（Ⅰ）连结PC，PA，PB，BO2；

是圆O1的直径2分。

连结O1O2必过点P

是两圆的外公切线，为切点。

由于

又因为三点共线5分。

（温馨提示：本题还可以利用作出内公切线等方法证明出结论；请判卷老师酌情给分！）

（Ⅱ）CD切圆O2于点D7分。

在中，又

故10分。

考点：1、两圆的公切线的性质；2、射影定理和切割线定理.【解析】【答案】证明见解析19、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）2分。

4分。

的单调递减区间为和6分。

（2）当时，在上单调递减，当时，7分。

当时，

（ⅰ）当即时，此时在上单调递增，时，

（ⅱ）当即时，当时，

（ⅲ）当即时，此时在上单调递减，时9分。

当时，此时在上单调递减，时10分。

综上：12分。

考点：本题主要考查分段函数的概念；绝对值的概念，二次函数的图象和性质。

点评：中档题，本题综合考查分段函数的概念，绝对值的概念，二次函数的图象和性质。从解法看，思路比较明确，但操作上易于出错。（2）涉及求闭区间上二次函数的最值问题，注意讨论对称轴与区间的相对位置，确定得到最值的不同表达式。【解析】【答案】（1）

的单调递减区间为和

（2）12分20、解：设经过t小时台风到达C处码头受到影响；则BC=20t

由题意得：AC≤100得；

4002+（20t）2﹣2×400×20tcos60°≤（100）2

整理得；t2﹣20t+75≤0；求得5≤t≤15；

故码头A在5小时后将受到影响；受到影响的时间是10小时．

【分析】【分析】（1）码头A是否将受到台风的影响？只需用码头A到台风中心（设为C）的距离和100比较大小即可，作出图形可以看出，利用余弦定理把AC表示出来，求得t的范围．21、略

【分析】

（1）将a=4代入求集合A；然后求A∩B；（2）注意讨论A是否是空集．

本题考查了集合的包含关系应用，注意不要漏掉空集的情况．【解析】解：（1）当a=4时；A={x|5≤x≤7}；

∵B={x|x≤3或x＞5}；

∴A∩B={x|5＜x≤7}．

（2）①若2a-1＜a+1即a＜2时；A=ø，满足A⊆B．

②若2a-1≥a+1即a≥2时；

只须或

解得a＞4．

综上所述；

a的取值范围为{a|a＜2或a＞4}．22、略

【分析】

(1)

把m=2

代入确定出A

求出A

与B

的交集；并集即可；

(2)

由A

为B

补集的子集；确定出m

的范围即可．

此题考查了集合的包含关系判断及应用，以及交集、并集，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【解析】解：(1)

把m=2

代入得：A={x|x>4}

隆脽B={x|0<x<8}

隆脿A隆脡B={x|4<x<8}A隆脠B={x|x>0}

(2)隆脽A??RB?RB={x|x鈮�0

或x鈮�8}

隆脿2m鈮�8=23

则实数m

的范围为m鈮�3

．23、略

【分析】

(1)

根据频率=

小矩形的高隆脕

组距来求；

(2)

根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等；所以只需求出从左开始面积和等于0.5

的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数；

(3)

求出月收入在[2500,3000)

的人数；用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．

本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率．【解析】解：(1)

月收入在[3000,3500)

的频率为0.0003隆脕500=0.15

(2)

从左数第一组的频率为0.0002隆脕500=0.1

第二组的频率为0.0004隆脕500=0.2

第三组的频率为0.0005隆脕500=0.25

隆脿

中位数位于第三组；设中位数为2000+x

则x隆脕0.0005=0.5鈭�0.1鈭�0.2=0.2?x=400

．

隆脿

中位数为2400(

元)

由1250隆脕0.1+1750隆脕0.2+2250隆脕0.25+2750隆脕0.25+3250隆脕0.15+3750隆脕0.05=2400

样本数据的平均数为2400(

元)

(3)

月收入在[2500,3000)

的频数为0.25隆脕10000=2500(

人)

隆脽

抽取的样本容量为100.隆脿

抽取比例为10010000=1100

隆脿

月收入在[2500,3000)

的这段应抽取2500隆脕1100=25(

人)

．24、略

【分析】

(1)

利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(娄脴x+娄脮)

的形式．

(2)

将内层函数看作整体；放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.

属于基础题．【解析】解：函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx鈭�1(x隆脢R)

．

(1)

化简f(x)=2(12+12cos2x)+23sinxcosx鈭�1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+娄脨6).

(2)

由2k娄脨鈭�娄脨2鈮�2x+娄脨6鈮�2k娄脨+娄脨2(k隆脢Z)

得kx鈭�娄脨3鈮�x鈮�k娄脨+娄脨6(k隆脢Z)

隆脿

函数f(x)

的单调增区间为[k娄脨鈭�娄脨3,k娄脨+娄脨6](k隆脢Z)

．四、证明题(共2题，共10分)25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．26、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM