2025年华东师大版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年华东师大版高一数学上册月考试卷445考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、过点和点的直线的倾斜角是()A.B.C.D.2、设集合则满足的集合B的个数是（）A.1B.3C.4D.83、【题文】设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则的解集是（）A.(－3，0)∪(3，+∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D.(－∞，－3)∪(0，3)4、【题文】已知点若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.5、已知函数f（x）=ln（2x+）﹣若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A.0B.-1C.-2D.-3评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知直线y=a与函数f（x）=2x及函数g（x）=3•2x的图象分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为____．7、已知集合A=（-∞，1]，集合B=[a，+∞），且A∪B=R，则实数a的取值范围是____．8、设平面向量＝(3,5)，＝(－2,1)，则－2＝____。9、幂函数的图象经过点且满足＝64的x的值是.10、用辗转相除法求得459和357的最大公约数是_________．[11、【题文】不等式的解集为________。评卷人得分三、解答题(共5题，共10分)12、（本题满分13分）我国是水资源匮乏的国家为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定：每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1．3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为吨，应交水费为（1）求的值；（2）试求出函数的解析式。13、（本小题满分12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．14、（满分12分）求过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程.15、【题文】圆上一点A(4；6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围.16、设数列{an}

的前n

项积为TnTn=1鈭�an

数列{bn}

的前n

项和为SnSn=1鈭�bn

(1)

设cn=1Tn.

证明数列{cn}

成等差数列；求数列{an}

的通项公式；

(2)

若n(nbn+n鈭�2)鈮�kn

对n隆脢N+

恒成立，求实数k

的取值范围．评卷人得分四、证明题(共2题，共8分)17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分五、综合题(共3题，共18分)19、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．20、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？21、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】试题分析：根据斜率的计算式可知则所以考点：斜率的计算.【解析】【答案】B2、C【分析】试题分析：因为共4个.考点：子集的概念.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

试题分析：所以当时函数是增函数，时时分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以是R上的奇函数，所以当时综上可知的解集为(－∞；－3)∪(0，3)

考点：利用函数性质解不等式。

点评：本题首要是能够由反用公式得到函数的单调性，进而结合图像的到时的解集，借助于奇偶性得到R上的解集【解析】【答案】D4、C【分析】【解析】

试题分析：根据题意，先表示出PA的斜率k=直线PB的斜率为那么结合图像可知，过定点的直线的倾斜角为锐角，结合正切函数图像可知直线l的斜率为故选C.

考点：本试题考查了直线的斜率运用。

点评：解决该试题的关键是利用边界点A,B来得到过定点P的直线的范围，然后结合倾斜角与斜率的关系得到斜率的范围，属于基础题。【解析】【答案】C5、D【分析】【解答】解：由题意知；

f（a）=ln（2a+）﹣=1；

故f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣

=ln（）﹣

=﹣ln（2a+）﹣2+

=﹣（ln（2a+）﹣）﹣2=﹣3；

故选：D．

【分析】易知f（a）=ln（2a+）﹣=1，化简f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣从而求得．二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

由2x=a，可得x=log2a；由3•2x=a，可得x==log2a-log23

∴A，B两点之间的距离为log2a-（log2a-log23）=log23

故答案为：log23

【解析】【答案】先确定A；B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．

7、略

【分析】

∵集合A=（-∞；1]，集合B=[a，+∞）；

且A∪B=R；如图，故当a≤1时，命题成立．

故答案为：a≤1．

【解析】【答案】利用数轴；在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．

8、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于平面向量＝(3,5)，＝(－2,1)，则－2＝（3，5）-（-4，2）=（7，3），故可知答案为（7,3）。考点：向量的线性运算【解析】【答案】（7,3）9、略

【分析】因为幂函数的图象经过点则可知且满足＝64的x的值是且满足＝64的x的值是故答案为【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：由用辗转相除法知：由于459÷357，余数是102；357÷102，余数是51；102÷51，整除；所以459和357的最大公约数是51;故应填入:51.考点：辗转相除法．【解析】【答案】51.11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】三、解答题(共5题，共10分)12、略

【分析】试题分析：（1）根据实际用水量的具体值选择不同的计算方法进行求解；（2）根据题意，分三段求出函数解析式，得到分段函数.解题思路:解决数学实际问题，关键是审清题意，写出或选择合适的函数模型.试题解析：（1）（2）当时，当时，当时，故考点：1.函数模型的应用；2.分段函数.【解析】【答案】（1）（2）13、略

【分析】试题分析：（Ⅰ）利用正切的两角和公式求的值（Ⅱ）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简变形成关于的式子。只需化简分子即可，应先将此式子化为分式，即除以1，也就是然后分子分母都除以然后代入即可。试题解析：【解析】

（Ⅰ）因为于是(另【解析】

)（Ⅱ）(另【解析】

)（请根据答题步骤酌情给分）考点：三角函数公式，以及化简变形【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）14、略

【分析】

设与直线垂直的直线方程为[来源:学。科。网Z。X。X。K]3分由可以得到故交点的坐标为6分又由于交点在所求直线上，因此从而9分故所求的直线方程为12分【解析】【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】（Ⅰ）连结PC；由垂径分弦定理知，PC⊥AB，所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A).

因为点A(4，6)，C(6，4)，则其中点坐标为(5，5)，又圆半径

故点P的轨迹方程是(x≠4；y≠6).

（Ⅱ）因为点P、E关于点D(9，0)对称，设点则点

设点因为线段OF由OP绕原点逆时针旋转得到；

则OF⊥OP；且|OF|＝|OP|，即。

且

由得令

则所以t＝1.

因此点F的坐标为

所以

设点M(9，－9)，则

因为点P为圆上的点；设圆心为N(5，5)，则。

故|EF|的取值范围是【解析】【答案】（1）(x≠4，y≠6)（2）16、略

【分析】

(1)

首先利用数列{an}

的前n

项积Tn

与通项之间的关系分类讨论写出相邻项满足的关系式，然后两式作商即可获得1鈭�an+anan鈭�1=an

再利用cn=1Tn

利用作差法即可获得数列{cn}

为等差数列.

由此可以求的数列{cn}

的通项公式，进而求得Tn

然后求得数列{an}

的通项公式；

(2)

充分利用(1)

的结论将“n(nbn+n鈭�2)鈮�kn

对n隆脢N+

恒成立”转化为：k鈮�1n+1鈰�12n+n鈭�2n(n+1)

对任意的n隆脢N*

恒成立.

然后通过研究函数的单调性即可获得问题的解答．

本题考查的是数列与不等式的综合类问题.

在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、问题转化的思想以及恒成立的思想.

值得同学们体会和反思．【解析】解：(1)

由Tn=1鈭�an

得：Tn=1鈭�TnTn鈭�1(n鈮�2)隆脿Tn?Tn鈭�1=Tn鈭�1鈭�Tn

隆脿Tn鈭�1鈭�TnTn鈰�Tn鈭�1=1Tn鈭�1Tn鈭�1=1

即cn鈭�cn鈭�1=1

又T1=1鈭�a1=a1隆脿a1=12,c1=1T1=2

隆脿

数列cn

是以2

为首项；1

为公差的等差数列．

隆脿cn=c1+n鈭�1=2+n鈭�1=n+1

隆脿Tn=1n+1,an=1鈭�Tn=nn+1

(2)

由(1)

知：Tn=1n+1

又隆脽Sn=1鈭�bn

所以，当n=1

时，b1=1鈭�b1隆脿b1=12

．

当n鈮�2

时，Sn=1鈭�bnSn鈭�1=1鈭�bn鈭�1

隆脿bn=bn鈭�1鈭�bn

隆脿2bn=bn鈭�1

．

隆脿{bn}

为以12

为首项，以12

为公比的等比数列．

隆脿bn=12隆脕12n鈭�1=12n

隆脿1n+1鈰�(n2n+n鈭�2)鈮�kn

对任意的n隆脢N*

恒成立．

隆脿k鈮�1n(n+1)(n2n+n鈭�2)

对任意的n隆脢N*

恒成立．

隆脿k鈮�1n+1鈰�12n+n鈭�2n(n+1)

对任意的n隆脢N*

恒成立．

令f(n)=1n+1鈰�12n

则f(n+1)=1n+2鈰�12n+1

隆脽1n+1>1n+2>0,12n>12n+1>0

隆脿f(n)>f(n+1)隆脿

任意的n隆脢N*

时，f(n)

为单调递减函数．

令g(n)=n鈭�2n(n+1)

则：g(n+1)=n鈭�1(n+1)(n+2)

隆脿g(n+1)鈭�g(n)=4鈭�nn(n+1)(n+2)

隆脿

当1鈮�n鈮�4

时；g(n)

为单调递增函数，且g(4)=g(5)

当n鈮�5

时；g(n)

为单调递减函数．

设L(n)=f(n)+g(n)

则：L(1)<L(2)<L(3)L(3)>L(4)>L(5)>L(6)>

隆脿L(3)

最大，且L(3)=1196

隆脿

实数k

的取值范围为[1196,+隆脼)

．四、证明题(共2题，共8分)17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．五、综合题(共3题，共18分)19、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．20、略

【分析】【分析】（1）根据若方程为一元一次方程；求出m的值即可，再根据若方程为一元二次方程，利用根的判别式求出即可；

（2）分别从当m-2=0，以及当m-2≠0时分析，得出若方程有两个不等的实根，以及若方程有两个相等的实根，利用根的判别式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程为一元一次方程；则m-2=0，即m=2；

若方程为一元二次方程；则m-2≠0；

∵关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m