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参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为________．【答案】【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，设，由，可得，整理得．
所以动点的轨迹为以为圆心，4为半径的圆的一部分，
设圆与线段交于点，与线段交于点，在中，，则，故12．已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是________．【答案】【解析】令因为，故，平面向量在方向上的投影分别为，设则：从而：，故由柯西不等式可得
化简得，当且仅当即时取等号，故的最小值为．二、选择题13.B；14.D；15.B；16.A15.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】根据题意可知
∴点到直线的距离为故选：B三、解答题17.（1）（2）（3）18.（1）证明略（2）19.（1）列联表如下：科技知识达人非科技知识达人合计男生153550女生54550合计2080100a有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关。（2）的分布列：012320.17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点间的距离2转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且．（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于两点．记直线，的斜率分别为．（i）证明：为定值；（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围．【答案】（1）（2）（i）见解析（ii）【解析】（1）因为，所以
即点的轨迹是以为焦点的椭圆，设方程为，
则，解得，故点的轨迹的方程为.；
（2）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，
①设直线斜率存在时，如图1，
联立，化简得，显然恒成立，所以，
则，，
又，所以，所以，所以，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，
显然，可得：即，
综上所述：为定值．
（ii）由题，所以，由（i）可
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