2022年北京市首都师大附中初三（上）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2022北京首都师大附中初三（上）期中数学班级：____________________姓名：____________________学号：____________________一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.抛物线的对称轴是直线（）A. B. C. D.2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A. B. C. D.3.若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（）A. B. C. D.04.在平面内，已知，若点P在上，那么点Q与的位置关系是（）A.点Q在内 B.点Q在⊙O上 C.点Q在外 D.无法判断5.如图，，是⊙的半径，若，则的度数是（）A. B. C. D.6.如图，在正方形中，点E在边上，且，将绕点A逆时针旋转至，使点B与点D重合，则点E，F之间的距离为（）A. B.2 C. D.37.二次函数的部分图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.或8.在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用个球场，每天每个球场共安排场比赛，若连续天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（）A.15支 B.16支 C.17支 D.18支二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为___________．10.设分别是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为___________．11.如图，是的直径，C是的中点，若，则的度数为___________．12.请写出一个开口向下，且经过点的抛物线的表达式为___________．13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．

14.如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为___________和___________（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）15.关于x的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是__________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k的最小值为___________．16.我们将满足等式的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，①“心形”图形轴对称图形；②“心形”图形所围成的面积一定大于2；③“心形”图形上任意一点到原点距离都小于，所有正确结论的序号是___________．三、解答题（本题共52分，17-18题每题4分，19-23题每题5分，2425题每题6分，26题7分）17.解方程：．18.解方程：．19.若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．20.如图，是内接三角形，于点D．下面是借助直尺，画出中的平分线的步骤：①延长OD交于点M；②连接AM交BC于点N．所以．即线段AN为所求中的平分线．（1）依据题意，补全图形：（2）请回答，得到的两个主要依据是___________．（填写序号）①垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③直径所对的圆周角是直角；④等弧所对的圆周角相等．21.如图，在平面直角坐标系中，．（1）将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．（2）将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出；（3）经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）22.已知抛物线，（1）直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为___________．（2）求该抛物线的顶点坐标；（3）画出它图象；（4）若在抛物线上，且，直接写出m的取值范围是___________．23.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________．经测量，，则___________；用含r代数式表示___________．在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得．通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”）24.已知抛物线经过点．（1）用含a的代数式表示b；（2）当抛物线与x轴交于点时，求此时a的值；（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当时，求a的取值范围．25.已知，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且．过点D作于点E．（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时与的数量关系是___________；（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：；（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段，，之间的数量关系；若不能，请说明理由．26.定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则称图形M与图形N关于原点O“平衡”．（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是；②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出答案．【详解】解：抛物线的对称轴是直线，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是明确顶点式的对称轴为直线，顶点坐标为．2.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】把代入已知方程，列出关于m方程，通过解方程可以求得m的值．【详解】解：把代入得：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4.【答案】C【解析】【分析】由题意得出的半径，再根据得出点Q与的位置关系．【详解】解：∵，点P在上，∴的半径，∵，∴点Q与位置关系是点Q在外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意：已知的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外．5.【答案】A【解析】【分析】由题意及圆周角定理可直接进行排除选项．【详解】解：∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】连接，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，进而可得和，然后利用勾股定理求出即可．【详解】解：连接，∵在正方形中，，，，∴，∴，∴，∴，∵将绕点A逆时针旋转至，使点B与点D重合，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，求出正方形的边长是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案．【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为，∴点关于的对称点的坐标为，∴关于x的不等式的解集是故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有个足球队，比赛场次共有场，再根据共有场比赛活动来列出方程，从而求解．【详解】解：设有x个足球队参加，依题意，，整理，得，，解得：，舍去；即：共有个足球队参加比赛．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．【详解】解：由题意得：；故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．10.【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，，故答案为：．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程的根与系数的关系为：，．11.【答案】##40度【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出的度数，进而可得的度数．【详解】解：∵C是的中点，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等12.【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】可以把点作为抛物线的顶点，根据开口向下可知二次项系数取一个负数即可．【详解】解：写出一个开口向下，且经过点的抛物线的表达式为，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．13.【答案】①.②.【解析】【分析】由题意可知为等腰直角三角形，，旋转的性质可得，，根据勾股定理即可求解．【详解】解：由题意可知为等腰直角三角形，由旋转的性质可得，为旋转角，，旋转角的度数为连接，如下图：则，由勾股定理可得：故答案为，【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．14.【答案】①.②.【解析】【分析】首先判断出点A，B，C，D四点共圆，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案．【详解】解：∵点B，C，D到点O的距离相等，且，∴点A，B，C，D四点共圆，∴，，∴图中互补的角为和，和，故答案为：，（或，）．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．15.【答案】①.且，②.2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义列式求出k的值，然后根据两个实根均为有理数得出是有理数，进而可得答案．【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根，∴且，解得：且，∵该方程的两个实根均为有理数，∴是有理数，∵，，∴整数k的最小值为2，故答案为：且；2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的意义，公式法解一元二次方程，熟练掌握方程解的情况与判别式的关系是解题的关键．16.【答案】①②③【解析】【分析】①根据等式的特点，用代替，计算后可知“心形”图形关于y轴对称；②如图，求出点A、B、C、D、F的坐标，可得四边形是矩形，求出矩形的面积为2可得结论正确；③当时，求出，可得，则，，可得“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据对称性可得结论．【详解】解：①在中，用代替得，即，所以“心形”图形关于y轴对称，故①正确；②如图，“心形”图形与x轴交于A、D，与y轴交于点F，过A作轴交“心形”于点B，过点D作轴交“心形”于点C，令时，可得，即，∴，令，可得，即，∴，，令，可得，则或，∴，令，可得，则或，∴，∴，，∵，∴四边形是矩形，∵，∴“心形”图形的面积，故②正确；③当时，∵，即，∴，∴，∴，∴，∴，∴“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过，∵“心形”图形关于y轴对称，∴“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，坐标与图形，矩形的判定和性质，完全平方式的应用以及勾股定理的应用，对学生的数形结合能力要求较高，属于综合题．三、解答题（本题共52分，17-18题每题4分，19-23题每题5分，2425题每题6分，26题7分）17.【答案】，【解析】【分析】用因式分解法解一元二次方程即可详解】解：因式分解得，∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．18.【答案】，．【解析】【分析】首先提取公因式，得到，再解两个一元一次方程即可．【详解】解：，，或，，．【点睛】本题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤．19.【答案】【解析】【分析】将a代入方程可得：，再将代数式化简，整体代入求值即可．【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根，∴，整理可得：，，∵，∴原式．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值，注意整体代入思想的应用，一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数的值．20.【答案】（1）见解析；（2）①④．【解析】【分析】（1）根据所给步骤补全图形即可；（2）根据垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧可得，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，据此可得答案．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：延长OD交于点M，∵，垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧，∴，∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴，∴线段为所求中的平分线．即得到的两个主要依据是：①垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧；④等弧所对的圆周角相等；故答案为：①④．【点睛】本题考查了基本作图，垂径定理的推论，圆周角定理，解题的关键在于掌握垂直于弦（非直径）的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．21.【答案】（1）；（2）见解析；（3）不能．【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得答案；（2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可；（3）根据A、B、E三点共线可得答案．【小问1详解】解：∵，∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是，故答案为：；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：由图可得，A、B、E三点共线，∴经过A，B，E三点不能确定一个圆，故答案为：不能．【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键．22.【答案】（1），；（2）；（3）见解析；（4）．【解析】【分析】（1）根据交点式可直接得出与x轴的交点坐标；（2）将交点式化为顶点式可得答案；（3）先列表，然后画出函数图象即可；（4）根据函数图象可得点和是抛物线上的对称点，且横坐标之差为2，进而可得答案．【小问1详解】解：∵抛物线，∴该抛物线与x轴的交点坐标为，，故答案为：，；【小问2详解】解：∵，∴该抛物线的顶点坐标为；【小问3详解】解：列表：x…0123…y…00…函数图象如图：【小问4详解】解：由函数图象得，点和是抛物线上的对称点，且横坐标之差为2，∴若在抛物线上，且，则m的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的交点式，顶点式，画函数图象，二次函数与不等式等知识，会画函数图象，并利用函数图象解决问题是解题的关键．23.【答案】，，，，兵车【解析】【分析】根据垂径定理，进行作答即可．【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：，∵，∴，，∴，解得：，∴此车轮为：兵车之轮；故答案为：，，，，兵车．【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键．24.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）把代入抛物线解析式，整理后可得答案；（2）把代入抛物线解析式可得，然后根据（1）中结论进行计算即可；（3）令，求出，，然后根据得出含绝对值的不等式，解不等式可得答案．【小问1详解】解：把代入得：，整理得：；【小问2详解】解：把代入得：，∵，∴，∴；【小问3详解】解：由（1）知，，∴，令，即，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，解不等式等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．25.【答案】（1）；（2）作图见解析，证明见解析；（3）能，．【解析】【分析】（1）先证明是的垂直平分线，可得，求出，从而可得结论；（2）根据题意补全图形，过作于证明，可得，再证明，从而可得，，于是可得结论；（3）如图，过作于，同（2）可得：，，可得，，，再根据线段的和差，等量代换得出答案．【小问1详解】解：当重合时，点在线段的延长线上，，，是的垂直平分线，，，，，，，，，故答案为：；【小问2详解】补全图形如图所示