2025年人教版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥则下列结论中不正确的是（）A.∥B.四边形是矩形C.是棱台D.是棱柱2、下列四个命题中；正确的有（）个．

①a＜0，-1＜b＜0，则ab＞a＞ab2，②x2+y2+1＞2（x+y）；

③a＞b则ac2＞bc2，④当x＞1，则x3＞x2-x+1．

A.1

B.2

C.3

D.4

3、设函数f（x）=2x2-（a+1）x+5在[1；+∞）上是增函数，则a的范围是（）

A.（0；3）

B.（-∞；3]

C.[3；+∞）

D.（3；+∞）

4、设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.5、【题文】已知全集则（）A.B.C.D.6、对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计；得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数；众数、极差分别是（）

A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，537、函数y=sinxsin(+x)的最小正周期是（）A.B.πC.2πD.4π8、下列函数为奇函数的是（）A.y=|x|B.y=3﹣xC.y=D.y=﹣x2+149、已知函数f（x）=-x2-2x，设a=ln2，b=log2，c=3则必有（）A.f（b）＞f（a）＞f（c）B.f（c）＞f（a）＞f（b）C.f（a）＞f（b）＞f（c）D.f（b）＞f（c）＞f（a）评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、已知直线a和两个不同的平面α、β，且a⊥α，a⊥β，则α、β的位置关系是____．11、定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式的解集为____．12、【题文】以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．13、已知函数=____．14、设a，b∈R，集合{1，a+b，a}=则b-a=______．15、已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的周长为______．16、如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为则cosα的值等于______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．24、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)25、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x．

（1）求f（-1）的值；

（2）当x＜0时；求f（x）的解析式；

（3）求函数f（x）在[t；t+1]（t＞0）上的最小值．

26、已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx-sin4x

（1）求函数f（x）奇偶性；最小正周期和单调递增区间。

（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．27、设=（1+cosx，1+sinx），=（1，0），=（1；2）．

（1）求证：（-）⊥（-）；

（2）求||的最大值，并求此时x的值．评卷人得分五、计算题(共3题，共12分)28、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．29、分解因式：

（1）2x3-8x=____

（2）x3-5x2+6x=____

（3）4x4y2-5x2y2-9y2=____

（4）3x2-10xy+3y2=____．30、己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根，则p=____，q=____．评卷人得分六、综合题(共4题，共16分)31、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．32、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．33、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．34、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【解析】试题分析：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH?平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、D正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF?平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选C．考点：长方体的几何特征，直线与平面平行、垂直的判定与性质。【解析】【答案】C2、A【分析】

令a=-2，b=-代入①检验可得①不正确，令x=y=代入②检验可得②不正确；

当c=0时；显然③不正确；

当x＞1时，∵x3-（x2-x+1）=x2（x-1）+（x-1）=（x-1）（x2-1）=（x-1）2（x+1）＞0；

∴x3＞x2-x+1成立；故④正确．

综上；只有④正确；

故选A．

【解析】【答案】通过给变量取特殊值；举反例；可以说明①②③不正确，通过做差考查差与0的关系，可得④正确．

3、B【分析】

f（x）=

∵函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴解得a≤3．

因此a的范围为（-∞；3]．

故选B．

【解析】【答案】先配方；再利用二次函数的单调性即可求出．

4、D【分析】试题分析：根据单位向量的定义：把模为1的向量称为单位向量，依题可知而这两个向量的方向并没有明确，所以这两个单位向量可能共线，也可能不共线，所以A、B、C错误，D正确.考点：平面向量的基本概念.【解析】【答案】D5、C【分析】【解析】

试题分析：依题意可得所以故选C.

考点：集合的运算.【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】由图可知，从小到大排列第15和16位数分别是45、47，所以中位数是46.图中出现最多的数是45，出现3次.图中最大的数是68，最小的数是12，所以极差是56.7、B【分析】【解答】∵y=sinxsin(+x)=sinxcosx=sin2x

∴T==π

故选B

【分析】利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解。8、C【分析】【解答】解：A．y=|x|是偶函数；

B．y=3﹣x是非奇非偶函数；

C．f（﹣x）==﹣f（x）；则函数f（x）为奇函数，满足条件．

D．y=﹣x2+14是偶函数；

故选：C

【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．9、A【分析】解：函数f（x）=-x2-2x的图象是开口朝下；且以直线x=-1为对称轴的抛物线；

故函数f（x）在[-1；+∞）上为减函数；

a=ln2∈（0，1），b=log2∈（-1，0），c=3∈（1；2）；

则f（b）＞f（a）＞f（c）；

故选：A

分析函数f（x）=-x2-2x的图象和性质；进而可得三个式子值的大小关系．

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数的运算性质，难度中档．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

若a⊥α；a⊥β

则平面α；β平行或重合。

又∵平面α；β是两个不同的平面。

故α；β的位置关系是平行。

故答案为平行。

【解析】【答案】由已知中直线a和两个不同的平面α；β；且a⊥α，a⊥β，结合两个平面关系的判定方法，我们易判断α、β的位置关系。

11、略

【分析】

在f（xy）=f（x）+f（y）中；

令x=y=1；得f（1）=2f（1），f（1）=0；

令x=y=-1；得f（1）=2f（-1），f（-1）=0

令y=-1；得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）；

函数f（x）定义在非零实数集上的偶函数．

不等式可以化为f[x（x-5）]≤f（1），-1≤x（x-5）≤1．；-6≤x（x-5）≤6．且x≠0，x-5≠0．

在坐标系内；如图函数y=x（x-5）图象与y=6，y=-6两直线．

由图可得x∈[-1；0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]

故答案为：[-1；0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]

【解析】【答案】首先判断出函数f（x）定义在非零实数集上的偶函数，再将抽象不等式利用函数单调性转化成具体不等式-1≤x（x-5）≤1去解．

12、略

【分析】【解析】设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵A、B是直径的端点，∴·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0x2－2x＋y2－4y－20＝0(x－1)2＋(y－2)2＝25.【解析】【答案】(x－1)2＋(y－2)2＝2513、4【分析】【解答】解：∵f（a）=a+lg+5=6，∴a+lg=1；

f（﹣a）=﹣a+lg+5

=﹣（a+lg）+5=﹣1+5=4；

故答案为：4．

【分析】由题意得a+lg=1，从而代入﹣a再整体代入即可．14、略

【分析】解：根据题意，集合{1，a+b，a}=

a为分母不能是0；∴a≠0；

∴a+b=0，即a=-b；

∴

b=1；

故a=-1，b=1；

则b-a=2；

故答案为：2．

根据题意，集合{1，a+b，a}=注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值；计算可得答案．

本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．【解析】215、略

【分析】解：由题意，扇形的弧长为=π；

∴扇形的周长为π+6．

故答案为：π+6．

求出扇形的弧长；即可求出扇形的周长．

此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．【解析】π+616、略

【分析】解：∵cos（α+）=-

∴sin（）=

∴cosα=cos[（）-]

=

=

=

故答案为．

首先根据P2的横坐标为求出cos（α+）的值，然后根据同角三角函数的性质求出sin（），最后根据cosα=cos[（）-]化简即可求出cosα．

本题考查单位圆与周期性，以及任意角的三角函数的定义及其应用．通过三角函数的转化来求角的余弦值．属于基础题．【解析】三、证明题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．24、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．四、解答题(共3题，共6分)25、略

【分析】

（1）∵f（x）是R上的偶函数．

∴f（-1）=f（1）=1-4×1=-3

（2）若x＜0；则-x＞0

f（x）=f（-x）=[（-x）2-4（-x）]=x2+4x

（3）x＞0时f（x）=x2-4x=（x-2）2-4

在（0；2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数。

①t+1≤2即0＜t≤1时；f（x）在[t，t+1]上是减函数。

f（x）min=f（t+1）=（t+1）2-4（t+1）=t2-2t-3

②t＜2＜t+1即1＜t＜2时f（x）在[t；t+1]上先减后增。

f（x）min=f（2）=-4

③t≥2时；f（x）在[t，t+1]上是增函数。

f（x）min=f（t）=t2-4t

即f（x）min=

【解析】【答案】（1）利用偶函数的定义，将f（-1）转化为f（1），从而代入已知解析式得解；（2）利用偶函数的定义，若x＜0，则-x＞0，代入已知解析式且f（-x）=f（x），得所求解析式；（3）由于x＞0时f（x）=x2-4x=（x-2）2-4在（0；2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，故需讨论t，t+1与2的关系，进而利用二次函数的图象求相应的最小值，最后写成分段函数形式。

26、略

【分析】

（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为f（x）=sin（2x+）；从而求出函数的最小正周期；判定奇偶性；结合正弦函数的单调性解不等式，从而求出函数的单调区间即可．

（2）先根据x的范围确定2x+的范围；再由正弦函数的性质可求出最值．

本题考查了三角函数的恒等变换，函数的周期性、奇偶性，考查函数的单调性问题，属于中档题．【解析】解：（1）f（x）=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）=cos2x+sin2x=）=sin（2x+）；

∴f（x）的最小正周期T=∵f（-x）≠f（x）≠-f（x）；f（x）是非奇非偶函数；

由-+2kπ≤2x+≤2kπk∈Z得-+kπ≤xk∈Z

∴f（x）的单调递增区间是[-+kπ，kπ+]（k∈Z）；

（2）当时，2x+

结合正弦函数图象可得，sin（2x+）

∴函数f（x）的最大值和最小值分别为-1．27、略

【分析】

（1）由题意可得和的坐标，计算其数量积为0即可；（2）由题意可得的不等式，由三角函数的值域可得的最大值；开方可得所求．

本题考查向量的数量积与向量的垂直关系，涉及向量的模长，属中档题．【解析】解：（1）由题意可得=（cosx；1+sinx）；

=（cosx；sinx-1）；

∴（）•（）=cos2x+sin2x-1=0；

∴（）⊥（）

（2）由题意可得=（1+cosx）2+（1+sinx）2

=3+2（sinx+cosx）=3+2sin（x+）；

由三角函数的值域可知，当x+=2kπ+

即x=2kπ+（k∈Z）时，取最大值3+2

此时取最大值=五、计算题(共3题，共12分)28、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．29、略

【分析】【分析】（1）原式提取2x；再利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取x；再利用十字相乘法分解即可；

（3）原式提取公因式；再利用平方差公式分解即可；

（4）原式利用十字相乘法分解即可．【解析】【解答】解：（1）原式=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）；

（2）原式=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）；

（3）原式=y2（4x4-5x2-9）=y2（4x2-9）（x2+1）=y2（2x+3）（2x-3）（x2+1）；

（4）原式=（3x-y）（x-3y）；

故答案为：（1）2x（x+2）（x-2）；（2）x（x-3）（x-2）；（3）y2（2x+3）（2x-3）（x2+1）；（4）（3x-y）（x-3y）30、略

【分析】【分析】根据韦达定理求得设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=1，x1•x2=-1；然后将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0列出方程组，再通过解方程组求得pq的值．【解析】【解答】解：设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=1，x1•x2=-1；则。

x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=1+2=3；

（x12）2+（x22）2=（x12+x22）2-2x12•x22=7．

将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0；得。

x16-px12+q=0①

x26-px22+q=0②

①-②；得。

（x16-x26）-p（x12-x22）=0；

【（x12）3-（x22）3】-p（x12-x22）=0；

（x12-x22）【（x12）2+（x22）2+x12•x22】-p（x12-x22）=0；

由于x1≠x2，则x12-x22≠0；所以化简，得。

【（x12）2+（x22）2+x12•x22】-p=0；

则p=（x12）2+（x22）2+（x1•x2）2=7+（-1）2=8；

①+②；得。

（x16+x26）-8（x12+x22）+2q=0；

【（x12）3+（x22）3】-24+2q=0；

∴（x12+x22）【（x12）2+（x22）2-x12•x22】-24+2q=0；

∴3【（x12）2+（x22）2-（x1•x2）2】-24+2q=0；

∴3（7-1）-24+2q=0；解得。

q=3；

综上所述；p=8，q=3．

故答案是：8、3．六、综合题(共4题，共16分)31、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=132、略