人教A新版必修1《第5章-三角函数》单元测试卷(二)资料

人教A新版必修1《第5章三角函数》单元测试卷(二)一、解答题(本大题共27小题，共324.0分)写出与;终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-2tt<<4tt的元素月写出来.已知一扇形的中心角为。，所在圆的半径为R.若a=60°,R=6cm,求该扇形的弧长；若扇形的周长为12cm,问当q多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.已知tan©=-龙，求sin©,cos©的值.4.已知tana=3,计算：(1)4sina-2cosa5cosa+3sina'(2)sina•cosa.(1)已知切Tia=3,求sin(7r—q)cos(2tt—。)的值；(2)已知sina•cosa= 0<a<-,求sizwr—cos。的值.已知函数,3)=tan(x+S).(1)求函数『3)的最小正周期与定义域;(2)设月是锐角，且/(幻=2sin(/?+：),求乃的值.已知函数y=1-3cos2x,xER,求出函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合.已知函数y=2sin(-x+-)(%eR)2 4列表:1 712X+4Xy(1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图;作图：(2)说明该函数的图象可由y=sinx^xER)的图象经过怎样的变换得到.

已知函数f(x)=sin(2x €［。,丸］.用“五点法"在所给的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；写出y=f(x)的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.振动量y=4sin(o)x+(p)(o>>0)的初相和频率分别是-n■和求该振动量的解析式.(10分)已知sina=|,cos/?=-j,aE(：,"),/?是第三象限角，求cos(a+Q),sin(a-幻的值.已知tan(a+Q)=5,tan(a—幻=3,求tan2aftan2/3,tan(2a+j)的值.(1)化简，13.(1)化简，13.cos(7r-a)tan(37r-a)/c、、［a,a-25tt. 25tt, / 25tt、. .5tt(2)计算cos Fcos Ftan( )+sin—.6 3 4 62 ,B知sin。+cos3=求sin20的值.已知sin(a+幻=|,sin(a一幻=|,求;;:二嚣的值.O □ LdllClLctlip已知tana=2.⑴求+j)的值;⑵求•的值.⑵求•的值.sin2a+sinacosa-cos2a-l已知cos(a+：)=，，：心aV件.4 5 2 2求sin(a+：)的值；求cos(2a+分的值.已知c°s(*)=m翌6＜号，求*^的值.已知sin。+cos3=2sina,sindcosO=sin2/?,求证4cos22a=cos22^.已知函数f(x)=cos4%—2sinxcosx—sin4%.求/(X)的最小正周期；当Xe[o,^]时，求/(X)的最小值以及取得最小值是X的值.已知函数f(%)=2sin(x+分4求出函数的最大值及取得最大值时的X的值;求出函数在[O,27r]±的单调区间；当X€[-：，9时，求函数/(X)的值域。若函数广(X)=V3sin2%+2cos2x+m在区间[。,刁上的最大值为6,求常数m的值及此函数当xeR时的最小值，并求相应的*的取值集合.在边长为1的正方形ABCD中，E,F分别为AD,A8边上的点，&AEF的周长为2；(I)设=灯，乙ECD=6,AE=AF=2-克,求tcma,tan(3.(口)求昼眼的度数.已知sing+cosp=I，且0vgVtt.求sin,cos6、sin[i—cos^的值；求cos&、tan(i的值.某工地拟建一个等腰梯形的蓄水池，如图所示，其中AD=BC=CD=10m,现要求蓄水池面积积S最大值.(1)按下列要求建立函数关系式：①设AB=x米，将S表示为x的函数;②设=6(rad),将S表小为。的函数;(2)请您选用(1)问中的一个函数关系，求蓄水池面积S最大值.111 1—+—+—+•••+n（n+1v写出九=123,4的值，归纳并猜想结果.1XZZXo0X4- 1）已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.

甲每天生产的次品数/件01234对应的天数/天4020201010乙每天生产的次品数/件0123对应的天数/天30252520将甲每天生产的次品数记为x(单位：件)，日利润记为y(单位：元)，写出y与X的函数关系式；按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润. 答案与解析 答案：解：与;角终边相同的角的集合为s={5=；+2/OT,/ceZ},S中适合不等式一2食<p<4食的元素是：k=-l时,；+2x(—兀)=一^兀,k=0时，$+2x0x71=：,k=1时，-+2x1X71=—.3 3解析：利用终边相同角的表示方法表示S,然后通过左的取值求解即可.本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查.答案：解：(1)设扇形的弧长为Z,贝|JZ=«/?=|x6=2-rtcm,扇形的孤长为2兀cm;(2)设扇形的弧长为Z,面积为S,依题意得：2R+Z=12,S=抽品(12-2R)R=-R2+6R,由二次函数可得，当/?=3时，S有最大值9cm2,此时I=6,得a=-=2.R解析：本题考查弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题.利用扇形的弧长公式求出弧长；利用扇形的周长是12cm,以及弧长公式，即可表示扇形圆心角Q,以及扇形面积，利用二次函数求出扇形最大面积.答案：当为第二象限角时，cos(p=—|,sin(/)=旨:当©为第四象限角时，cos0= sin©=-孚•解析：tan©=—V3< 为第二、四象限角.又tan©=专告=—V3, sin©=—V3cos(/)代入sin20+cos20=1得cos2©=：.当©为第二象限角时，cos©=-；,sin0=—;当为第四象限角时，TOC\o"1-5"\h\z4 L 2, 1 .,V3cos0—~jsin0= .z 2答案：解：①tana=3,

4sina-2cosa4tana-212-255cosa+3sina 5+3tana 5+9 7'②tana=3,sinacosa=sinacosa

sin2sinacosa=sinacosa

sin2ct+cos2a_tanatan2a+l310解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.(1)由条件，利用同角三角函数的基本关系，即可求值.^sinacosa=si^°sa2,同时除以，代入即可求解.sinza+cosza5.答案：解：(5.答案：解：(1)原式=sinacosa=sinacosa

sin2a+cos2atana

tan2a+l'tana=3,原式=原式=备=310⑵sinacosa弓0<a<^,•••sina<cosa,.•.令t=sina—cosa<0,・•・t2=sin2cr+cos2cr—2sinacosa,TOC\o"1-5"\h\zo iit=1—2x- ,4 2.•・t=——,可得：sina—cosa=——.2 2解析：本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解.由已知可得”泌＜cosa,将所求平方后利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.答案：解：(1)函数/'3)的最小正周期T=7i.由x+：Hkn+：(k€Z),。k.7i~\—(kGZ),4所以函数f(x)的定义域是{X|xe+ z}.(2)依题意，得tan(5+;)=2sin(/?+分,所以s**=2sinQ?+：）,①cos（/?+-） 4，=因为5是锐角，所以三挪+三勇,4 4 4所以sinO?+9>0,化简①式，得cos（j?+：）=所以8+5=9解得5=衰.解析：本题考查正切函数的图像与性质，同角三角函数的关系的应用，属于基础题.（1） 由正切函数的周期性、定义域求解；（2） 由同角三角函数关系得cosC/3+;）=|>求角即可.答案：解：当cos2x=—1,...（2分）即x=|+kn,k€z时，....（5分）函数y=1-3cos2x有最大值，最大值为1—3x（—1）=4...（7分）当cos2x—1（9分）即x=kn,kez时 （12分）函数y=1—3cos2x有最小值，最小值为1-3x1=-2.....（14分）解析：根据三角函数的图象和性质即可得到结论.本题主要考查三角函数的最值的求解，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键.答案：解：⑴列表：

n-%+—40712n3nT2tt71~27123食T5nT7tiT020-20(2)由y=sinx^xeR)的图象向左平移f单位长度，得到y=sin(x+g),纵坐标不变，横坐标伸长原来的2倍，得到函=sin(^x+^),Z4横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=2sm(|x+^)-2 4解析：(1)直接利用五点法列出表格，在给的坐标系中画出图象即可.(2)利用平移变换与伸缩变换，直接写出变换的过程即可.本题考查三角函数图象的画法，三角函数的伸缩变换，基本知识的考查.答案：解：⑴列表如下：2x-~471~407127T3〃T7ttTX0n3tt5tt7tt7T8888y_V2__2010-1_V2__2作图如下:作图如下:(2)将y=sinx的图象上的所有点向右平移:个单位长度得到y=sin(x-£)的图象,再将y=再将y=sin=sin(2x—j的图象.解析：本题主要考查用五点法作函数y=Asin^x+的图象，函数y=Asin^x+伊)的图象变换规律，属于基础题.用五点法作函数y=Asin^x+?)在xE[0,食]上的图象.利用函数y=Asin^ajx+")的图象变换规律，得出结论.答案：y=4sin(37ix—冗).解析：因为/',所以1所以匕2片，又"=—7T,.7=45皿(3心—2 3 3答案：解：sina=|,•••cosa=—V1—sin2a=3cos/?= 且5是第三象限角，•••sinB=—J1—cos?'=_乎•••cos(a+/?)=cosacos^•••cos(a+/?)=cosacos^—sinasin^=一手3'3V5+2V712V35+612sin(cr—6)=sinacosp—cosasin/]=|•(-j)-(-手)*(-¥)=V35+612解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，求得要求式子的值.12.答案：解：tan2a=tan[(cr+/?)+(«-/?)]=解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，求得要求式子的值.12.答案：解：tan2a=tan[(cr+/?)+(«-/?)]=tan(a+/?)+tan(ct-^)_5+3

l-tan(a+^)tan(a-j6)1-5x3tan2/3=tan[(a+/?)—(a—0)]=tan(a+/?)—tan(a—，)1+tan(a+幻tan(a—，)5-3_1l+5x3=8；tan(2a+：)=tan2a+tan-4l-tan2cr-tan-411解析：本题主要考查三角函数的恒等变换，以及两角和与差的正切公式.13答案.⑴解.sin(27r-EtanS+k)tan(-⑴口差.—co«Q.(—tana)25?r25tt.25?r、 .5?rco«——Fco«——co«Q.(—tana)25?r25tt.25?r、 .5?rco«——Fco«——Ftaii( )+siu—6 3 4 6V31 1=—+-+(-1)+-

2 2 v72V32解析：本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系，可化简式子，(2)解:—siua-tain.(—tana)(2)解:2sinacos/3=f+1=苔③，①一②，得2cosasinp=|-f=土④，4,•••tana=4tcm/3,.tana-tanp_4tanp-tanp_3tana+tan/3tanp+tanp5解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式.由题意得出sinacosp+cosasinp=|®,sinacosp—cosasin^=|@,相加求出2sinacosp,相减求出2cosasin^,两式作比值求出tana=4tan^,由此即可求出结果.TOC\o"1-5"\h\zY, h-n,八Et、 7T,tilHO+1 2+1 、16.答案：解：(1)原式 Un(a+) -3;4 1一tnnn1—2「2)原弋_ 2sinacosa_ 2tana _2x2_】I―、sin2a+sinacosa-2cos2cttan2a+tana-222+2-2 *解析：本题考查利用两角和的正切公式和二倍角公式及同角三角函数基本关系求值，属简单题.利用两角和的正切公式即可求值；利用二倍角公式化简，再利用同角三角函数基本关系分子分母同除cos2a化简构造tana求解即可.答案：解：(1)・.三〈化〈学.可得乎＜a+三＜¥，2 2 4 4 4cos(cr+^)=|＞0,・•・sin(a+：)=-J1—cos2(cr+(2)由(1)可得著Va+S<?,5rr,'•—<a<—,TOC\o"1-5"\h\z4 2, -rrIn\弓V2, 4 3、 7y/2'■sma=sin[(a+-)--]=y(----)=—奇，rz.TCy7T]V2,3 4、V2c°sa=cos[(a+-)--]=y(---)=--，sin2a=2sinacosa=2x（-籍）x（-$=£7 24cos2a=2cosAa—1= 25解析：(1)由＜a 可得芋三Q+?V乎，根据cos(a+§=?＞0,可得学+乎，利用'，2 2 4 4 4 4 5 2 4 4同角三角函数关系式即可求sin(a+；).(2)由⑴可得罕式a＜事从而可求sina,cosa,sin2a,cos2a的值，由两角和的余弦函数公式即可求得cos(2a+g)的值.本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查.2sinx(cosx-sinx')o o答案：解：原式= 匚I亟 =2sinxcosx=sin2xcosx=—cos(^+2%)=—cos2(^+x)=1—2cos2(^+%)4 7=i一2'(丁=-五解析：利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简为sin2x,然后再利用诱导公式化为1一2cos2(^+x)即可得出答案.考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题.答案：证明：•・•sin20+cos20=1,・..(sin。+cos0)2=1+2sin0cos0,把sin。+cosO=2sina,sinO•cos3=sin2#代入得：4sin2a=1+2sin2p,即4(1—cos2a)=1+2(1—cos2/?),整理得：4cos2a=1+2cos2p.4cos2a—2=—1+2cos2p.2cos2a=—cos2p,两边平方可得：4cos22a=cos22/?.解析：由sin?。+cos20=1,得到(sin。+cos3)2=1+2sin9cos9f把已知两等式代入，整理即可得证.此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.答案：解：/(x)=cos4%—2sinxcosx—sin4%=(cos2%+sin2x)(cos2x—sin2x)—2sinxcosx=cos2x—sin2x=V2cos(2x+?)(1)T=71(2)v0<%<pA-<2%+-<-7T,4 4 4当2x+E=7T=>x=-71,4 8oX=3兀时，f(x)取最小值一VLo解析：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法.一般都先把函数化简为y=Asin^x+p)或y=Acos^a)x+但)的形式再解题.⑴先根据三角函数的二倍角公式化简为y=V2cos(2x+三)，再由T=年可得答案.⑵先根据工的范围确定2%+：的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值.21.答案：解：(1)当%+；=2fc7r+=gp%=2/c7r+pfceZ,函数的最大值为2；(2)令：-,；+a，［《j+2knQkeZ),解得：-2kir<x--- GZ),所以：函数在［0,2兀］上的单调增区间为：’().；和”：.2司.令：9+-kn:<X'W+-kji(kEZ),解得：］,-kn<x:'+2far(k€Z),所以：函数在［0,2兀］上的单调减区间为(3)因为，-；WK：,71行，31T所以：］%工+［W［，则：-手<sin(x+714)<1.所以，—很<2sin(x+J2,所以函数f3)的值域为［-V2,2］.解析：本题主要考查函数y=Asin^x+(p)的图象与性质，考查了函数的单调性，最值及函数的值域等，属于基础题.直接利用整体思想求出函数的最值即可；利用正弦函数的图象性质即可得，函数在［0,2tt］±的单调区间；由-::，贝ij： + '：，进而由正弦函数的性质，可求函数f(x)的值域.答案：解：f(x)=y/3sin2x+2cos2%+m=V3sin2x+1+cos2x+m=2sin(2x+分+m+1,xG［0,：］,•■-2x+非［片’—土<sin(2x+—)<1,2 6・•・函数/"(x)的最大值为3+m,...3+m=6,m=3,•••f(x)=2sin(2x+：)+4,当xeR时，函数/"(x)的最小值为2,

此时2x+；=——+2kn>kGZ,即x=弋+k7i,kEZ时取最小值，即函数有最小值时X的取值集合为{x|x=-|+/C7T,fceZ}.解析：本题考查了三角函数的最值问题，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，要注意X的取值范围，属于中档题.先利用二倍角公式和辅助角公式化成标准形式，根据X的范围求函数的最大值，然后让最大值等于6,求出的值；当XER时，根据正弦函数求函数的最小值及取到最小值时的X的值.答案：解：（］）•：AE=AF=2-克，：.DE=BF=克—1,在R3CBF中，tana=^=^2-1,在RT&CDE中，tcmB=气=克-L（口）由（I）（口）由（I）得,tan（a+幻=tana+tanp1-tanatanp2（扃1）_2（控-1）1-（V2-1）2一l-（3-2V2）a+Q6（。3）,•••a+8=：,则4ECF=：一（a+y?）=%解析：（1）根据人£、AF的值求出和BF,在RT^CBF和RTACDE中求出切ma,tang；（口）利用两角和的正切函数求出tan（a+幻的值，由a、Q的范围求出a+6的值，再求出3CF的度数.本题考查两角和的正切函数，以及正切函数的定义，注意角的范围和正切函数的符号，属于中档题.答案：解：（1）把sinQ+cos/3=?①，两边平方得：（sin&+cos"=1+2sin^cos^=&・•・sinficosp=—1|<0,（sing—cos"=1—Isinficosp=黑，0V/?VTT,三V6<7T,即sinQ—COS&>0,则sin/?—cos，=f②；（2）联立①②解得：sinp=?cosg=-|,则tern/?=_?•解析：⑴把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出sinpeosp的值，再利用完全平方公式求出sinQ—cos/?的值即可；(2)联立sin/?+cos&与sinB-cos/?的值，求出sin/?与cos/?,即可确定出tern#的值.此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.答案：解：⑴由题意得，=100sm（l+cosO）,6G（0,；）;=lOOsin0（l+cos。）,0G（°，；）；（2）遥用1设t=x,16,贝gs=%t）100_（号^=S；40t3,t€（20,40），设f0）=-t4+40t3,/,（t）=-4t3+120t2=0,t=30,所以当t=30,x=20fftSmax=75必,选用2设4BAE=。，顾2=lOOsin0（l+cos。）,。e（0,；）由S?=lOO（2cos20+cos9-1）=0得cos。=-（cos0=-1舍去）.因为6E（。,万），所以。列表如下：eTV3