2023届高考数学特训营-第7节-抛物线

第7节抛物线A级(基础应用练)1．(2022·浙江宁波市高三二模)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点P(－1，－2)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(1，0) B．(2，0)C．(0，1) D．(0，2)答案：A解析：因为抛物线的准线经过点P(－1，－2)，则eq\f(p,2)＝1，即p＝2，则该抛物线的焦点坐标为(1，0)．故选A.2．(2022·河南省高三仿真模拟)抛物线E：x2＝8y的焦点为F，在E上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到E的准线l的距离为()A．6 B．8C．4 D．1答案：A解析：如图，过P作PC⊥l于C，由抛物线的定义可知|PF|＝|PC|＝8，|FA|＝4，故PF的中点M到E的准线l的距离为|MB|＝eq\f(1,2)(|FA|＋|PC|)＝6.故选A.3．(2022·四川绵阳市高三模拟)已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3，3)，则|PQ|＋d的最小值为()A．5 B.eq\r(30)＋1C.eq\r(30)－1 D．4答案：D解析：因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)．P到直线x＝－1的距离等于|PF|，所以P到y轴的距离d＝|PF|－1，所以d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1.所以当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|.因为Q(－3，3)，F(1，0)，所以|QF|＝5，所以d＋|PQ|的最小值为5－1＝4.故选D.4．(2022·福建龙岩市高三三模)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝()A．30° B．45°C．60° D．75°答案：C解析：设P(x0，y0)，则|PQ|＝y0＋1，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，则y0＝3.又xeq\o\al(2,0)＝4y0，则xeq\o\al(2,0)＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2eq\r(3)，即P(2eq\r(3)，3)，因此Q(2eq\r(3)，－1)，所以|QF|＝eq\r(12＋4)＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°.故选C.5．(2022·陕西宝鸡市高三模拟)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为eq\f(\r(3),3)的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是()A．4 B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．8答案：C解析：由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为eq\f(\r(3),3)，∴直线AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A(m，eq\f(m2,4))，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，|AM|＝eq\f(1,2)|AF|，∴eq\f(m2,4)－1＝eq\f(1,2)(eq\f(m2,4)＋1)，解得m＝2eq\r(3)，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是eq\f(1,2)×4×4sin60°＝4eq\r(3).故选C.6．(2022·湖南高三高考仿真)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则eq\f(|MN|,|AB|)的最大值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)C．1 D．2答案：C解析：设|AF|＝a，|BF|＝b，过A，B点分别作准线的垂线AQ，BP，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又因为ab≤(eq\f(a＋b,2))2，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－eq\f(3,4)(a＋b)2＝eq\f(1,4)(a＋b)2，所以|AB|≥eq\f(1,2)(a＋b)＝|MN|，所以eq\f(|MN|,|AB|)≤1，即eq\f(|MN|,|AB|)的最大值为1，故选C.7．(2022·甘肃省高三第一次诊断)抛物线y2＝－2px(p>0)的准线经过椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦点，则p＝________．答案：4解析：由椭圆方程可得其右焦点为(2，0)，因为抛物线的准线经过椭圆的右焦点，所以eq\f(p,2)＝2，解得p＝4.8．(2022·云南昆明市高三期中)抛物线y2＝2px(p>0)的准线被圆x2＋y2－2y－1＝0所截得的弦长为2，则抛物线的焦点坐标为________．答案：(1，0)解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq\f(p,2)，把圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，得圆心M(0，1)，半径r＝eq\r(2)，圆心到准线的距离为eq\f(p,2)，所以(eq\f(p,2))2＋(eq\f(2,2))2＝(eq\r(2))2，即p＝2，所以焦点坐标为(1，0)．9.(2022·江西上饶市高三三模)某中学的张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线(人的身高不计，铅球看成一个质点)，如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量θ.已知张燕投铅球的最远距离为10m，当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为________m．(空气阻力不计，重力加速度为10m/s2)答案：5解析：设铅球运动时间为t0，t时刻的水平方向位移为x，则x＝v0tcosθ.由v0sinθ－eq\f(1,2)gt0＝0知t0＝eq\f(2v0sinθ,g)，所以x＝eq\f(veq\o\al(2,0)sin2θ,g)，故当x＝eq\f(π,4)时，xmax＝eq\f(veq\o\al(2,0),g)＝10，因为g＝10m/s2，所以t0＝eq\r(2)s，v0＝10m/s，所以h＝eq\f(1,2)g(eq\f(t0,2))2＝2.5m.如图，建立平面直角坐标系，P(－5，－2.5)，设抛物线方程为x2＝－2py，则抛物线的焦点到准线的距离p＝eq\f(x2,－2y)＝eq\f(（－5）2,2×2.5)＝5m.B级(综合创新练)10．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－eq\r(3)，则下列结论正确的是()A．准线方程为x＝－3B．焦点坐标F(eq\f(3,2)，0)C．点P的坐标为(eq\f(9,2)，3eq\r(3))D．PF的长为3答案：BC解析：由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标F(eq\f(3,2)，0)，准线方程为x＝－eq\f(3,2)，A错误，B正确；因为直线AF的斜率为－eq\r(3)，所以直线AF的方程为y＝－eq\r(3)(x－eq\f(3,2))，当x＝－eq\f(3,2)时，y＝3eq\r(3)，所以A(－eq\f(3,2)，3eq\r(3))，因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq\r(3)，可得点P的坐标为(eq\f(9,2)，3eq\r(3))，C正确；根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝eq\f(9,2)－(－eq\f(3,2))＝6，D错误，故选BC.11．(多选题)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N(异于原点)，则以下结论正确的是()A．点P的纵坐标的取值范围是(3，5)B．圆C的圆心到抛物线准线的距离为1C．|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离D．△PFN周长的取值范围是(8，10)答案：ACD解析：如图所示，圆C：x2＋(y－1)2＝16的圆心为(0，1)，半径为4，与y的正半轴交点为(0，5)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x2＋（y－1）2＝16，))解得y＝3，所以点P的纵坐标的取值范围是(3，5)，故A项正确；因为圆C的圆心为抛物线的焦点，所以圆C的圆心到抛物线准线的距离为p＝2，故B项错误；由抛物线的定义得|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故C项正确；△PFN周长为|PF|＋|PN|＋|NF|＝r＋yP＋1＝yP＋5∈(8，10)，故D项正确，故选ACD.12．(2022·福建省宁德市高三三模)如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2eq\r(3)m，灶深CD为0.5m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为________．答案：1.5m解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由题意可得A(eq\f(1,2)，eq\r(3))，将A点坐标代入抛物线的方程可得3＝2p×eq\f(1,2)，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，焦点的坐标为(eq\f(p,2)，0)，即(eq\f(3,2)，0)，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为eq\f(3,2)＝1.5m.13．(2022·静宁县高三模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．答案：2eq\r(10)－1解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，F(1，0)，准线l：x＝－1，由抛物线的定义可知点P到l的距离d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，设圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为C，则C(0，3)，圆的半径为1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq\r(12＋32)－1＝eq\r(10)－1，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立，所以|PQ|＋d的最小值为eq\r(10)－1.14．(2022·上海高三模拟)已知过点M(eq\f(p,2)，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为x＝my＋eq\f(p,2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2),y2＝2px))，得y2－2pmy－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3，又x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2p)·eq\f(yeq\o\al(2,2),2p)＝eq\f(p2,4)，所以eq\f(p2,4)－p2＝－3，又因为p>0，所以p＝2.(2)根据抛物线定义，得|AM|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1，|BM|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋1，所以|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2eq\r(4x1x2)＋5＝9，当且仅当x1＝4x2时等号成立．将x1＝4x2代入x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，得x2＝eq\f(1,2)(负值舍去)．将x2＝eq\f(1,2)代入y2＝4x，得y2＝±eq\r(2)，即点B(eq\f(1,2)，±eq\r(2))，将点B代入x＝my＋1，得m＝±eq\f(\r(2),4)，所以直线l的方程为x＝±eq\f(\r(2),4)y＋1，即4x±eq\r(2)y－4＝0.15．(2022·全国卷5月联考)已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右顶点重合．(1)求抛物线C1的标准方程；(2)设过点(0，1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝1，求直线l的方程．解：(1)由题设知，双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右顶点为(2，0)，所以eq\f(p,2)＝2，解得p＝4，所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx＋1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝8x，))，消去y得k2x