《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第九章-第2节-用样本估计总体

第2节用样本估计总体知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练百分位数6,8众数、中位数、平均数310,11,13极差、方差与标准差3,5,710,11,1215统计图表与数字特征的综合1,2,4,914161.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是(C)A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解析:因为频率分布直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%,故D正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C错误.故选C.2.(2021·吉林高三模拟)甲,乙,丙三名运动员在某次测试中各射击20次,三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1,图2和图3所示,若s甲,s乙,s丙分别表示他们测试成绩的标准差,则(D)A.s乙<s甲<s丙 B.s丙<s乙<s甲C.s乙<s丙<s甲 D.s丙<s甲<s乙解析:甲的平均成绩为(7+8+9+10)×0.25=8.5,其方差为s甲2=0.25×[(7-8.5)2+(8-8.5)2+(9-8.5)2+(10-8.5)乙的平均成绩为7×0.3+8×0.2+9×0.2+10×0.3=8.5,其方差为s乙2=0.3×(7-8.5)2+0.2×(8-8.5)2+0.2×(9-8.5)2(10-8.5)2=1.45.丙的平均成绩为7×0.2+8×0.3+9×0.3+10×0.2=8.5,其方差为s丙2=0.2×(7-8.5)2+0.3×(8-8.5)2+0.3×(9-8.5)2(10-8.5)2=1.05.所以s丙<s甲<s乙.故选D.3.(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(CD)A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同解析:A.E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c≠0,故平均数不相同,错误;B.若第一组中位数为xi,则第二组的中位数为yi=xi+c,显然不相同,错误;C.D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同,正确;D.由极差的定义知,若第一组的极差为xmax-xmin,则第二组的极差为ymax-ymin=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故极差相同,正确.故选CD.4.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成六组,其频率分布直方图如图所示,则下列说法错误的是(D)A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格(60分以下)的考生人数约为1000人C.考生竞赛成绩平均分的估计值为70.5分D.考生竞赛成绩中位数的估计值为75分解析:A.根据统计图可知,[70,80)对应的频率除以组距的值最大,即频率最大,所以人数最多,故正确;B.不及格的频率为(0.010+0.015)×10=0.25,所以不及格的人数约为4000×0.25=1000(人),故正确;C.根据频率分布直方图可知平均数为(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5,故正确;D.前三组的频率之和为(0.01+0.015+0.02)×10=0.45<0.5,前四组的频率之和为(0.01+0.015+0.02+0.03)×10=0.75>0.5,所以中位数在第四组数据中,且中位数为70+0.55.已知数据x1,x2,…,x2020的平均数、标准差分别为x=90,sx=20,数据y1,y2,…,y2020的平均数、标准差分别为y,sy,若yn=xn2020),则(D)A.y=45,sy=5 B.y=45,sy=10C.y=50,sy=5 D.y=50,sy=10解析:因为yn=xn所以y=12020[(x12+5)+(x225×2020]=12sy=1=1=12sx=126.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为.解析:成绩的70%分位数为x,因为1+3+71+3+7+6+3=0.55,1+3+7+6所以0.55+(x-16)×61+3+7+6+3答案:16.57.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未被污损,即9,10,11,1■,■,那么这组数据的方差s2可能的最大值是.解析:设这组数据的最后两个分别是10+x,y,则9+10+11+(10+x)+y=50,得x+y=10,故y=10-x,故s2=1+0+1+x2+(-x)25=答案:32.88.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为;

(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为.

解析:(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由图可知,年龄小于35岁的频率为(0.01+0.04+0.07)×5=0.6,年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9,所以志愿者年龄的85%分位数在[35,40)内,因此志愿者年龄的85%分位数为35+0.85答案:(1)0.04(2)399.(2021·安徽合肥调研)第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会,让更多的人了解、喜爱冰雪项目,某大学举办了冬奥会知识竞赛,并从中随机抽取了100名学生的成绩,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图估计,这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替);(2)若采用分层随机抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生中共抽取6人,再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人),求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率.解:(1)平均成绩x=0.02×45+0.16×55+0.22×65+0.30×75+0.20×85+0.10×95=73.00.(2)由题意知,从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生中分别选取了3人,2人,1人.6人平均分成3组分配到3个社区,共有C6成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有A3所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率P=3690=210.(多选题)(2021·辽宁锦州高三一模)冬末春初,乍暖还寒,人们容易感冒发热.若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康,干扰正常工作生产.某大型公司规定:若任意连续7天,每天不超过5人体温高于37.3℃,则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中,能判定该公司没有发生群体性发热的为(BD)A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1C.均值为3,众数为4D.均值为2,标准差为2解析:将7个数由小到大依次记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7.对于A选项,反例:2,2,2,3,3,4,6,满足中位数为3,众数为2,与题意矛盾,A选项不合乎要求;对于B选项,假设x7≥6,即该公司发生了群体性发热,因中位数为1,则x6≥x5≥x4=1,平均数为x=∑i=17对于C选项,反例:0,1,2,4,4,4,6,满足众数为4,均值为3,与题意矛盾,C选项不合乎要求;对于D选项,假设x7≥6,即该公司发生群体性发热,若均值为2,则方差为s2=∑i=17(xi-11.(多选题)(2021·河北邯郸高三三模)在管理学研究中,有一种衡量个体领导力的模型,称为“五力模型”,即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图,其中每项能力分为三个等级,“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分,把分值称为能力指标,则下列判断正确的是(AB)A.甲、乙的五项能力指标的均值相同B.甲、乙的五项能力指标的方差相同C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑,乙的领导力高于甲的领导力D.如果从影响力、控制力、感召力考虑,甲的领导力高于乙的领导力解析:甲的五项能力指标为6,5,4,5,4.平均值为6+5+4+5+45乙的五项能力指标为6,4,5,4,5,平均值为6+4+5+4+55由于均值相同,各项指标数也相同(只是顺序不同),所以方差也相同,则B正确;从控制力、决断力、前瞻力考虑,甲的均值为143,乙的均值为13从影响力、控制力、感召力考虑,甲、乙的指标均值相同,方差也相同,所以甲、乙水平相当,则D不正确.故选AB.12.(2021·河南郑州一测)某同学10次测评成绩的数据如下(从小到大排列):2,2,3,4,10+x,10+y,19,19,20,21.已知成绩的中位数为12,若要使标准差最小,则4x+2y的值为.

解析:由成绩的中位数为12,得10+x+10+y2=12,故x+y=4,故成绩的平均数为11011.4)2+(10+y-11.4)2=(x-1.4)2+(y-1.4)2≥(x答案:1213.(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和(1)求x,y,s12,(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x≥2s1解:(1)x=9.y=10.s10=0.036,s20=0.04.(2)依题意,y-x=0.3=2×0.15=20.152=2020.y-x≥2s114.某市为了鼓励居民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200kW·h的部分按0.5元/(kW·h)收费,超过200kW·h但不超过400kW·h的部分按0.8元/(kW·h)收费,超过400kW·h的部分按1.0元/(kW·h)收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:kW·h)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过随机抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用低于260元的占80%,求a,b的值;(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.所以y与x之间的函数解析式为y=0(2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量低于400kW·h的占80%,结合频率分布直方图可知0解得a=0.0015,b=0.0020.(3)设75%分位数为m,因为用电量低于300kW·h的所占比例为(0.001+0.002+0.003)×100=60%,用电量低于400kW·h的占80%,所以75%分位数m在[300,400)内,所以0.6+(m-300)×0.002=0.75,解得m=375,即用电量的75%分位数为375.15.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数,甲得到十位市民的幸福感指数分别为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8,方差为2.2,则这20位市民幸福感指数的方差为(C)A.1.75 B.1.85C.1.95 D.2.05解析:设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为x1,x2,…,x10,乙得到十位市民的幸福感指数分别为x11,x12,…,x20,故这20位市民的幸福感指数的方差为120(x12+x22+…+x102因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8,方差为2.2,x11+x12+…+x20=8×10=80,故x=5+6+6+7+7+7+7+8+8+9+10×820=7.5,而110(x11故x112+…+而x12+x22+…+x102=52+62+62+4×72+2故所求的方差为120(502+662)-7.5216.(多选题)(2021·福建高三二模)在第一次全市高三年级统考后,某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况,将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于6