机械振动基础Mechanical-Vibrations资料讲解

机械振动基础MechanicalVibrations

2010年11月能源与动力工程学院热能工程系单自由度系统-无阻尼系统的振动特性简谐振动固有频率固有圆频率周期振幅与相位初始条件系统参数常力不影响系统的固有频率单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性振动方程临界阻尼系数阻尼因子振动特性第4章受迫振动4.1数学基础

(自学)4.2单自由度系统

4.3二自由度系统4.4多自由度系统数学基础（自学）二阶非齐次常系数线性微分方程的解二阶非齐次常系数线性微分方程组的解拉普拉斯变换(*)强迫振动系统在持续的随时间变化的激励力或激励位移、激励速度作用下所发生的振动。强迫振动的研究对象：瞬态响应（transientresponse）稳态响应(steady-stateresponse）强迫振动主要研究系统的稳态响应，特别是当激励的频率与系统的固有频率相等时出现的“共振”（resonance）现象。自由振动的瞬态响应与简谐激励的稳态响应研究方法牛顿定律建立微分方程求解解析法旋转矢量法复数矢量法系统模型：简谐激励下的响应xF0sinωtmkc简谐力为激励频率，系统的运动微分方程为：这一二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为：齐次方程通解特解Φ是位移xp(t)与激励力F（t)之间的相位差简谐激励下的响应-稳态解{频率比注意：式中的积分常数A、B虽仍由初始条件决定，但在有阻尼的情况下不能按自由振动条件得到的积分常数直接代入。因为在强迫振动的情况下，即使初始位移和初始速度均为零，在响应中仍包含有瞬态部分，因此积分常数必须与稳态解一起考虑。简谐激励下的响应-稳态解上式中等式右边第一项表示有阻尼自由振动响应，它是衰减振动，仅在振动开始后一段时间内有意义，属于瞬态解。右边第二项表示受迫振动响应，它是持续的等幅振动，属于稳态解。

上式中的待定系数由初始条件确定，当时，R不一定为零，这是它与自由振动的区别。系统的全响应为：简谐激励下的响应幅频特性和相频特性称为放大因子振幅达到最大值的位置：

简谐激励下的响应当应该注意，这里的相位差是表示响应滞后于激励的相位角，不应与式中的初相位相混淆。是表示系统自由振动时的初相位，它取决于初始位移与初始速度的相对大小，而Φ是反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统本身具有阻尼引起的，这是两者主要区别。

受迫振动峰值并不出现在阻尼系统的固有频率处，峰值频率略向左偏移，若

时，有

相位特性和振幅一样，相位也仅为r的函数。

简谐激励下的响应图示系统中，，，

系统的稳态响应求（1）（3）（2）建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，向下为正。

解作受力分析图简谐激励的响应-例4.1()()000==xx&时，系统的全响应

（1）简谐激励的响应

-例4.1

(2)简谐激励的响应

-例4.1

简谐激励的响应

-例4.1

稳态响应特性简谐振动系统在简谐激励作用下的响应仍然是简谐受迫振动的频率（与激励频率相同）受迫振动的振幅阻尼的影响相位特性力矢量图

简谐激励的响应-复数表示

0(刚度控制区)

力矢量图分析:当简谐激励的响应-复数表示(阻尼控制区)(惯性控制区)简谐激励的响应-复数表示弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.01.02.03.00180°90°150°120°60°30°特性曲线惯性控制区阻尼控制区弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性（1）-弹性控制区

(1)当频率比r很小(r《1)，即激励频率ω远小于系统的固有频率ωn时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数μ→1，X→F0/K,即振幅近似地等于激励力幅值Fo作用下的静位移,这个区域内振幅x主要由弹簧常数K控制，故称为“弹性控制区”，此时φ=0。

(2)当频率比r很大，即激励频率ω远大于系统的固有频率ωn时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数μ→0，X→F0/kr2=F0/mw2,即振幅的大小主要决定于系统的惯性。故称为“惯性控制区”，此时φ=180度。弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性（2）-惯性控制区惯性控制区弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性（3）-阻尼控制区惯性控制区阻尼控制区(3)当频率比r接近1时，即ω

接近ωn。φ→90度，产生共振现象。振幅大小与阻尼情况关系极为密切。当ζ→0时，振幅x将趋向无穷大。惯性力和弹性力基本平衡．从而可以近似认为激励力与阻尼力相平衡，X=F0/cω.因此阻尼对系统响应有着决定性影响，振幅x的大小随阻尼ζ而定。故这一区域称为“阻尼控制区”。相频特性

(a)当r=1共振时，不管系统的阻尼如何，响应总是滞后于激励90。

(b)ζ=0，当r＜1时，响应与激励同相位，即φ=o；当r＞1时，则相位相反，即φ=180，相位在共振点前后发生突变。

(c)若ζ>0，则φ随r的增大而逐渐增大，不会发生突变，但在共振点(即r＝1处)，特别当ζ较小时，相位角φ变化较大。1.02.03.00180°90°150°120°60°30°注：在振动测试过程中，常应用共振点前后相位角有较大变化的现象来确定系统的共振点。弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性-最大幅值惯性控制区阻尼控制区最大幅值并不发生在r=1。ζ>0.7后，响应曲线无峰值当系统无阻尼，即两个特例ζ=0将C1、C2带入，得无阻尼系统的响应当振动方程化为设解为初始条件带入，得当系统无阻尼，即两个特例ζ=0当在特解经过一个循环内通解完成多个循环，如图(a)；当响应的特解成为响应的通解曲线上叠加的振荡运动，如图(b)；当特例一两个特例拍现象设当ε很小时，式中第2项远小于第1项，略去第2项，得拍现象可视准周期为2π/ωn，可变振幅为拍的周期为π/ε特例二两个特例共振无阻尼共振曲线解为从图中可看出，它的振幅随时间线性增长，从理论上讲，它最终将变为无穷大。设特解为求得代入方程

上式中等式右边第一项表示有阻尼自由振动响应，它是衰减振动，仅在振动开始后一段时间内有意义，属于瞬态解。右边第二项表示受迫振动响应，它是持续的等幅振动，属于稳态解。在简谐激励力作用下，强迫振动是简谐振动。振动的频率与激振力的频率ω相同。

强迫振动的振幅和相位差都只取决于系统本身的物理性质和激励力的大小与频率，与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态响应。系统的全响应为：总结

力矢量图

总结

表示响应滞后于激励的相位角，与前讲的初相位含义不同，初相位表示系统自由振动在t=0时的角度，取决于初始位移与初始速度，而Φ由频率比和系统本身的阻尼引起。总结

强迫振动的振幅如超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而招致疲劳破坏，或影响机器及仪表的精度。实际系统阻尼往往比较小，ξ=0.05~0.2,所以一般仍以ω作为共振频率。例题2若m=20kg,k=8kN/m,c=130N.s/m，受到F(t)=24sin(15t)N激励力的作用；设t=0时，x(0)=0,x(0)=100mm/s,求系统的稳态响应、瞬态响应和总响应。(p95).例题3一质量为1.95kg的机器零件，在粘性阻尼介质中振动，激励力为F(t)＝25sin(2πft)N。(a)若测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s，求其阻尼系数c.(b)若f＝4Hz，试求除去阻尼后的振幅是有阻尼时的振幅的几倍?例题3例题3单自由度系统-实际系统的阻尼在振动分析中，对阻尼的研究具有很重要的意义。自由振动中阻尼使振幅逐步衰减在受迫振动中，阻尼耗散能量-抑制共振振幅的作用实际上：建立阻尼详细的力学模型极其困难。阻尼类型黏性阻尼结构阻尼：作为材料的一种特性，其大小取决于温度和激励频率。摩擦阻尼（或库仑阻尼）等效阻尼设稳态响应为：

阻尼力：

粘性阻尼模型通常来表示固体之间的相互作用实际系统的阻尼

–简谐激励下的能量平衡系统循环一周耗能E由外力的功补充：

粘性阻尼循环一周的耗能与频率成正比：

实际系统的阻尼

–简谐激励下的能量平衡阻力元件耗能

特点：在简谐激励下，结构阻尼的耗能与频率无关，而与振幅平方成正比按耗能相同等效成粘性阻尼：结构阻尼是粘弹性阻尼（非金属）、滞后阻尼或复刚度（金属）的统称。(2)结构阻尼实际系统的阻尼

–简谐激励下的能量平衡实验表明实际系统的阻尼

–简谐激励下的能量平衡实际系统的阻尼

–简谐激励下的能量平衡具有摩擦阻尼的系统简谐激励下的响应具有摩擦阻尼的系统简谐激励下的响应运动能继续的条件为：摩擦力与激励力必须满足

具有结构阻尼的系统在简谐激励下的稳态响应结构阻尼的幅频和相频曲线具有结构阻尼的系统在简谐激励下的稳态响应h=hk/称为损耗因子。

具有结构阻尼的系统在简谐激励下的稳态响应说明：结构阻尼与粘性阻尼之间的相似性只有对简谐激励才是正确的，对其他激励无意义。单自由度系统-实际系统的阻尼

(例3)单自由度系统-实际系统的阻尼

(例3)振动微分方程为：单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

典型发动机的周期性激励比如：柴油机的气体激励力坎贝尔曲线

解

系统的稳态响应。

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，求当电机以角速度

匀速旋转时系统的受迫振动规律。exOxωt例8

exOxωt单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

解：

将电机与偏心块看成一质点系。设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置O的坐标为x，则偏心块的x坐标应为x+esint。此时作用在系统上的恢复力为-kx。列出质点系动量定理的微分形式得exOxωt单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

整理后得微分方程则受迫振动振幅单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

如图所示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支，另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量m为的小球。若在点A加一激振力F=F0sint，其中激振力的频率

=

0/2，

0为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。mAOkF例9

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

mAOkF令则上述微分方程可以整理为单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

mAOkF上述方程的特解，即受迫振动为将

=

0/2

代入上式，可解得思考：

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距3l处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐振力F=F0sint。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率

0，以及当激振力频率

等于

0时质点的振幅。mlllkcF例11

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

mlllkcF解:

设刚杆在振动时的摆角为

，由刚体转动微分方程可建立系统的振动微分方程为整理后得令单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

0即系统的固有频率，当

=

0

时，其摆角

的振幅为此时质点的振幅mlllkcF无阻尼系统对简谐激励的响应

(直接法）三自由度系统

计算步骤：1.可先令，求出系统对的响应。2.再将此过程重复两次，分别求出对和的响应。振动微分方程可表示为多自由度系统例4-15图示系统中，已知，，，，求系统受迫振动响应。

无阻尼系统对