23无穷大小21教学教案

上课2025/1/281微积分--无穷大量与无穷小量0<|x－x0|<δ时,X>0,n>N正整数N,时,|un-A|<e=Ae>0,时,|f(x)

-A|<e=Ae>0,|x|>XX>0,x<－XX>0,x>Xd>0,时,|f(x)

-A|<e=Ae>0,时,|f(x)

-A|<e=Ae>0,|f(x)

-A|<e=Ae>0,0<x0－x<δ时,d>0,|f(x)

-A|<e=Ae>0,0<x－x0<δ时,d>0,|f(x)

-A|<e=Ae>0,2025/1/28微积分--无穷大量与无穷小量绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).一、无穷大量1.定义:记作:分析定义:0<|x－x0|<δ时,d>0,有|f(x)|

>MM>0,|x|>X

时,X>0,有|f(x)|

>MM>0,2.3无穷大量与无穷小量f(x)在X上无界★比较:2025/1/283微积分--无穷大量与无穷小量2025/1/285微积分--无穷大量与无穷小量2.正无穷大、负无穷大:注：正(负)无穷大不可笼统地写作无穷大;例:2025/1/286微积分--无穷大量与无穷小量——图示：2025/1/287微积分--无穷大量与无穷小量1.定义:极限为零的变量称为无穷小(量).记作:二、无穷小量分析定义:0<|x－x0|<δ时,d>0,有|f(x)

|<e=0e>0,X>0,时,有|f(x)

|<e=0e>0,|x|>X2025/1/288微积分--无穷大量与无穷小量例如,注意1.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小量的唯一的数；3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。ex当

时是无穷小量;lnx当

时是无穷小量.x→-∞x→12025/1/289微积分--无穷大量与无穷小量2.变量极限与无穷小量的关系:证仅对x→x0的情形证明。|f(x)-A|<e,0<|x-x0|<d时,|α(x)|<e0<|x-x0|<d时,即|f(x)-A|<e,定理2025/1/2810微积分--无穷大量与无穷小量3.无穷小的运算性质:(1)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.证注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.<e当|x|>X1时,有|α|<

,当|x|>X2时,有|β|<

.2025/1/2811微积分--无穷大量与无穷小量★(3)无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.证(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小量.0<|x－x0|<d2时,|α(x)|<e.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.例如:<ef(x)在x0的某空心邻域内有界,即2025/1/2812微积分--无穷大量与无穷小量(4)无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.证设A>0.？<?>?>0结论？思考!2025/1/2813微积分--无穷大量与无穷小量4.无穷小量阶的比较例如,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢?=0=－3=1无穷小量的商未必是无穷小量。

2025/1/2814微积分--无穷大量与无穷小量定义:例注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量。

(后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算)

2025/1/2815微积分--无穷大量与无穷小量定理在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.证三、无穷大量与无穷小量之间的关系意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.2025/1/2816微积分--无穷大量与无穷小量当

时是无穷大量;当

时是无穷小量.当

时是无穷大量;当

时是无穷小量.x→1或x→2－x→－∞x→－∞x→+∞练习:★无穷大:ln(2－x)——记作lnt——为无穷小t＝2－x

→1无穷小:ln(2－x)——记作lnt——为无穷大t＝2－x→+∞∴x→－∞或x→2－∴x→1或t＝2－x→0＋2025/1/2817微积分--无穷大量与无穷小量试说出下列极限的数学定义：P677(6)2025/1/2818微积分--无穷大量与无穷小量解答1.不能保证.例2.未必．例不存在且不为无穷大思考题:2.任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？故当x→0时,无穷小与x不可以比较阶的高低2025/1/2819微积分--无穷大量与无穷小量小结1.主要内容:三个定义;两个定理;四个性质;一个推论.2.几点注意:无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的.(1)无穷小(大)量是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数；(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小;(3)无界变量未必是无穷大量.3.无穷小量的比较:反映了同一过程中,两个无穷小量趋于零的速度快慢.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.