备战2023年高考数学一轮复习-第1讲-随机抽样

第1讲随机抽样1．全面调查与抽样调查(1)对eq\x(\s\up1(01))每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．(2)在一个调查中，我们把调查对象的全体称为eq\x(\s\up1(02))总体，组成总体的每一个调查对象称为eq\x(\s\up1(03))个体.(3)根据一定的目的，从总体中抽取eq\x(\s\up1(04))一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查．(4)把从总体中抽取的那部分个体称为eq\x(\s\up1(05))样本.(5)样本中包含的个体数称为eq\x(\s\up1(06))样本量.(6)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据．2．简单随机抽样(1)放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是eq\x(\s\up1(07))放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率eq\x(\s\up1(08))都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样．(2)不放回简单随机抽样如果抽取是eq\x(\s\up1(09))不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率eq\x(\s\up1(10))都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．(3)简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．(4)简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．(5)简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法有很多，eq\x(\s\up1(11))抽签法和eq\x(\s\up1(12))随机数法是比较常用的两种方法．3．总体平均数与样本平均数(1)总体平均数①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\x(\s\up1(13))eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数．②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq\x\to(Y)＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fiYi.(2)样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\x(\s\up1(15))eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数．4．分层随机抽样(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个eq\x(\s\up1(16))子总体，每个个体eq\x(\s\up1(17))属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为eq\x(\s\up1(18))层.(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小eq\x(\s\up1(19))成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．5．分层随机抽样的平均数计算(1)如果总体分为两层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的总体平均数分别为eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，两层的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，总体平均数为eq\x\to(W)，样本平均数为eq\o(w,\s\up6(－)).则eq\x\to(W)＝eq\x(\s\up1(20))eq\f(\o(∑,\s\up6(M),\s\do4(i＝1))Xi＋\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi,M＋N)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\x(\s\up1(21))eq\f(\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi,m＋n).(2)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数eq\o(w,\s\up6(－))估计总体平均数eq\x\to(W).1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．1．某班有男生36人，女生18人，用分层随机抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为()A．6 B．4C．3 D．2答案C解析抽取的女生人数为eq\f(9,36＋18)×18＝3，故选C.2．为了了解全年级240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A．总体是240B．个体是每一个学生C．样本量是40名学生D．样本量为40答案D解析研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么．本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标，故A，B不正确；而样本量是数量，故C不正确，D正确．3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层随机抽样，那么每类人中应抽选的人数分别为()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8答案D解析因为抽样比为eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每类人中应抽选的人数分别为4800×eq\f(1,200)＝24,7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.故选D.4．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是()A．简单随机抽样 B．抽签法C．随机数法 D．以上都不对答案D解析由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．故选D.5．某校高三年级物化生组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分．答案108解析样本中40名学生的平均成绩为eq\f(20,40)×110＋eq\f(20,40)×106＝108分，所以估计该组合学生的平均成绩约为108分．6．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000,001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为________.(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案068解析由题意，得从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331,455,068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.考向一简单随机抽样例1(1)(多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是()A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验C．从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛答案ACD解析A不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的；B是简单随机抽样；C不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；D不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样．故选ACD.(2)(2021·安阳一模)嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01,02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为()4567321212310201045215200112512932049234493582003623486969387481A．12 B．20C．29 D．23答案C解析依次从数表中读出的有效编号(重复的跳过)为12,02,01,04,15,20,29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C.(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是等可能抽取．(2)抽签法与随机数法的适用情况①抽签法适用于总体中个数较少的情况，随机数法适用于总体中个数较多的情况．②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.1.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为()A．180 B．400C．450 D．2000答案C解析设这个学校高一年级的学生人数约为x，则eq\f(90,x)＝eq\f(20,100)，∴x＝450.故选C.2．齐鲁风采“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的三十个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________.答案抽签法解析三十个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典型的抽签法．考向二分层随机抽样例2(1)某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为()A．35,33,30 B．36,32,30C．36,33,29 D．35,32,31答案B解析先将每个年级的人数凑整，得高一1800人，高二1600人，高三1500人，则三个年级的人数所占比例分别为eq\f(18,49)，eq\f(16,49)，eq\f(15,49)，因此，各年级抽取人数分别为98×eq\f(18,49)＝36,98×eq\f(16,49)＝32,98×eq\f(15,49)＝30，故选B.(2)(2021·德州二模)2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种，某小区年龄分布如下图所示，现用分层随机抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测，则从40岁至50岁之间的人群中抽取的人数为()A．18 B．24C．5 D．9答案A解析由条形统计图的数据，根据分层随机抽样的定义可以知道，若抽取60人，则从40岁至50岁之间的人群中抽取的人数为60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝18.故选A.比例分配的分层随机抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层．(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本量．(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．3.如下饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为()A．12 B．6C．4 D．3答案D解析青年教师的人数为120×(1－30%－40%)＝36，所以青年女教师有36－24＝12人，故青年女教师被选出的人数为12×eq\f(30,120)＝3.故选D.4.(多选)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则()A．老年旅客抽到100人B．中年旅客抽到20人C．n＝200D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200答案AC解析由题意知，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则eq\f(60,n)＝eq\f(3,5＋2＋3)，解得n＝200人，则老年旅客抽到60×eq\f(5,3)＝100人，中年旅客抽到40人．故选AC.考向三样本平均数的求法例3(1)某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：直径(单位：cm)121314频数12344估计这50个零件的直径大约为________cm.答案12.84解析eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(12×12＋13×34＋14×4,50)＝12.84cm.(2)在调查某中学的学生身高时，利用分层随机抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170cm，女生身高的平均值为165cm，估计该中学所有学生的平均身高是________cm(结果精确到0.1)．答案167.9解析eq\f(20×170＋15×165,20＋15)＝eq\f(5875,35)≈167.9.即该中学所有学生的平均身高约为167.9cm.在分层随机抽样中，如果层数分为两层，第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为eq\f(mx＋ny,m＋n).5.将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体；若A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________.答案2020.5解析∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×eq\f(2,5＋3＋2)＝20个个体．样本的平均数为eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.一、单项选择题1．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A．抽签法 B．随机数法C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法答案D解析总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本量D．从总体中抽取的一个样本答案A解析根据题意，结合总体、样本、个体、样本量的定义可知，5000名居民的阅读时间的全体是总体．3．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是()A．85分 B．85.5分C．86分 D．86.5分答案A解析由题意可知，两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩为eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分)．故选A.4．有一批计算机，其编号分别为001,002,003，…，112，为了调查计算机的质量问题，打算抽取4台入样．现在利用随机数表法抽样，在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始，向右读，那么抽取的第4台计算机的编号为()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B．021C．077 D．058答案B解析依次可得到需要的编号是076,068,072,021，故抽取的第4台计算机的编号为021.5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本量n＝()A．54 B．90C．45 D．126答案B解析依题意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即样本量为90.6．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,14) D．eq\f(10,27)答案C解析根据题意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).7．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层随机抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是()A．20 B．40C．60 D．80答案B解析由题可知抽取的比例为k＝eq\f(35,700)＝eq\f(1,20)，故青年人应该抽取的人数为N＝800×eq\f(1,20)＝40.故选B.8．某高中的三个兴趣小组的人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)：象棋组围棋组桥牌组高一9060x高二302040现要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，从参加这三个兴趣小组的学生中按小组采用分层随机抽样的方法抽取60人，已知围棋组被抽出16人，则x的值为()A．30 B．60C．80 D．100答案B解析由题意，知eq\f(16,60＋20)＝eq\f(60,240＋x)，解得x＝60，故选B.二、多项选择题9．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层随机抽样的方法从中抽取40人，则()A．抽取的体育特长生为10人B．抽取的美术特长生为15人C．抽取的音长特长生为16人D．抽取的体育特长生和美术特长生共25人答案AC解析抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生分别为eq\f(25,25＋35＋40)×40＝10(人)，eq\f(35,25＋35＋40)×40＝14(人)，eq\f(40,25＋35＋40)×40＝16(人)．故选AC.10．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是()A．应采用分层随机抽样法抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的答案ACD解析由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样法抽取，A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所以B错误；设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30，,z＝10，))所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；由分层随机抽样的意义可知D正确．11．(2021·衡水一中模拟)某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习．现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是()A．抽取的样本容量为120B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36，则a＝70D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500答案ABD解析抽取的样本容量为6000×2%＝120，故A正确；该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为6000×35%×50%＝1050，故B正确；根据题意，创新素质类课程的满意率为eq\f(36,6000×40%×2%)＝75%，a＝75，故C错误；该校学生中选择学科拓展类课程的人数为6000×25%＝1500，故D正确．故选ABD.12．(2021·常州期末)已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层随机抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生、初中生、高中生的近视率分别为30%,70%,80%.下列说法中正确的有()A．从高中生中抽取了440人B．每名学生被抽到的概率为eq\f(1,125)C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D．估计高中学生的近视人数约为44000答案ABD解析由题意，得抽样比为eq\f(2000,120000＋75000＋55000)＝eq\f(1,125)，B正确；从高中生中抽取了55000×eq\f(1,125)＝440人，A正确；高中生近视人数约为55000×80%＝44000，D正确；学生总人数为250000，小学生占比eq\f(120000,250000)＝eq\f(12,25)，同理，初中生、高中生分别占比eq\f(3,10)，eq\f(11,50)，在容量为2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取960人、600人和440人，则近视人数为960×30%＋600×70%＋440×80%＝1060，所以估计该地