2024-2025学年浙江省宁波市高一上册10月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年浙江省宁波市高一上学期10月月考数学检测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意，.故选：A2.已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【正确答案】C【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数.【详解】因为所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，所以集合个数为，故选：C3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】D【分析】根据全称命题的否定即可得答案.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：D.4.下列关系中正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用常用数集，结合集合包含关系逐项判断即得.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，中不含任何元素，C错误；对于D，不是的元素，因此不是的子集，D错误.故选：B5.是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要【正确答案】D【分析】根据交集、子集、充分和必要条件等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】若，如，满足但不满足.若，如，满足但不满足.所以是的既不充分也不必要条件.故选：D6.已知，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果.【详解】对于A，令，则，故选项A错误，不符合题意；对于B，若，，则，故选项B错误，不符合题意；对于C，，则a>b>1，即，故选项C对于D，令，则，故选项D错误，不符合题意；故选：C.7.若函数值域是，则函数的值域是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可.【详解】因为函数的值域是，所以，所以，所以，所以，故函数的值域是.故选：C.8.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（）A.2 B.3 C.5 D.8【正确答案】D【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论.【详解】函数的图象如图所示：，当时，，由于关于的不等式恰有一个整数解，因此其整数解必为3，又，，结合图象可知，解得，因为要求的最大值，所以不必考虑.综上所述，的最大值为.故选：D方法点睛：数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于的不等式的解集为，则（）A.的根为和B.函数的零点为和C.D.【正确答案】AC【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.【详解】关于的不等式的解集为，，C选项正确；且和是关于的方程的两根，则，则，，故D不正确；不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.故选：AC．10.下列说法中正确的是（）A.B.C.若正实数，满足，则的最小值为2D.若正实数，满足，则的最大值为2【正确答案】ABD分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当时，，当且仅当时等号成立.当时，，当且仅当时等号成立.综上所述，成立，A选项正确.B选项，，令，则在上单调递增，故，当，即时取等号，则，而成立，所以B选项正确.C选项，，，，不符合题意，所以C选项错误.D选项，，，，当且仅当时等号成立，D选项正确.故选：ABD11.下列说法中正确的是（）A.函数的单调递减区间是B.若函数，则函数C.若，则函数中满足的函数共有9个D.若定义在上的函数满足，且，则【正确答案】CD【分析】根据单调性判断A，根据换元法求选项B，根据映射定义判断C，根据赋值法判断D.【详解】对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故A错误；对于B，令，则，所以，即，故B错误；对于C，，满足，则集合中剩2个元素，但集合中仍有3个元素，集合中每一个元素在集合中都有3个相对应，即个，故C正确；对于D，，令，则，则，所以，故D正确；故选：CD.三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.若函数的定义域为，则函数的定义域为________．【正确答案】【分析】根据抽象函数的定义域可得到的定义域.【详解】根据的定义域为，即，得到，则的定义域为，故答案为.13.已知，且，则的最小值是__________.【正确答案】【分析】根据已知式子拼凑出，将乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，由可得，则当且仅当，即时取等，所以的最小值是，故答案为.14.若函数在−1,1内恰有一个零点，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.【详解】当时，，解得，符合题意，则；当时，二次函数的判别式为：，若，即时，函数的零点为，符合题意，则；当，即时，由，解得且，则且；当时，，方程另一根，当时，，方程中一根，则或，所以实数a的取值范围为.故四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.设全集，集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围．【正确答案】（1），（2）或．【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据得到，根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.【小问1详解】当时，，所以，.【小问2详解】，当时，，当时，，综上所述，或．16.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中．（1）求关于的函数解析式；（2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据已知条件以及图象求得关于的函数解析式；（2）根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案.【小问1详解】由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，，所以顶点的横坐标为，当时，设，将代入上式得，解得，所以，当时，设，将代入上式得：，解得，所以.所以.小问2详解】当时，，当时，，综上所述，老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．17.（1）解关于的不等式，其中；（2）若对任意，都有，则求实数的取值范围．【正确答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）利用分类讨论方法求解含参的不等式.（2）变形给定不等式，构造函数，借助二次函数最值列式求解即得.【详解】（1）不等式，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得或，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）依题意，对任意的都成立，而当时，不成立，则，且，即，解得，所以实数取值范围是.18.已知定义在上函数，其中．（1）判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明；（2）解不等式；（3）设，若的定义域为时，值域为，则求正实数的取值范围．【正确答案】（1）在上单调递增；证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据单调性的定义法证明即可；（2）根据单调性得到不等式组，求解即可；（3）根据值域得到有关的一元二次函数方程，根据根的情况得到不等式组，求解即可.【小问1详解】在0,+∞上单调递增；证明：，且，，∵，，∴，，∴，即，∴在0,+∞上单调递增；【小问2详解】∵在0,+∞上单调递增，，∴x≥x+3x−1x>0x+3x−1∴；【小问3详解】由（1）可知，在上单调递增，又∵在上的值域为，∴，∴方程有两个实根，，即方程有两个不相等的正实根，∴Δ>0a2a−1219.已知．（1）当，时，求的值域；（2）对任意，存在，使得，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）或【分析】（