2024-2025学年高考数学考点第二章不等式一元二次不等式及其解法理

一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅概念方法微思索1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示明显a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))1．（2024•天津）设，使不等式成立的的取值范围为__________．【答案】【解析】，将分解因式即有：；；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：；即：；或．故答案为：．2．（2024•B卷模拟）已知方程的两个根是2，3．（1）求实数，的值；（2）求不等式的解集．【解析】二次方程的根为2，3，，；，；（2）不等式；；则不等式不等式的解集．1．（2024•河南模拟）已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是A． B． C． D．3【答案】C【解析】是不等式的解集，，是方程的两个实数根且，，，；且，；，当且仅当时“”成立；的最小值为．故选C．2．（2024•重庆模拟）一元二次不等式的解集为A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】不等式对应方程的解为和，所以不等式的解集为，．故选B．3．（2024•江西模拟）若，则不等式成立的概率为A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式可化为，解得或，利用几何概型的概率公式计算所求概率为．故选A．4．（2024•一卷模拟）已知关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】，时，不等式可化为；当时，不等式为，满意题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上知，实数的取值范围是．故选A．5．（2024•乃东区校级一模）若不等式对一切，成立，则的最小值为A． B．0 C． D．【答案】A【解析】不等式对一切，成立，，．令，，．，函数在，上单调递增，当时，函数取得最大值，．的最小值为．故选A．6．（2024•乃东区校级一模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是A．，， B． C． D．，，【答案】A【解析】关于的不等式的解集是，．关于的不等式可化为，或．关于的不等式的解集是或．故选A．7．（2024•汉中二模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的范围是A． B．， C．， D．，【答案】C【解析】由，得，又表示不大于的最大整数，所以．故选C．8．（2024春•吉安期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为A．，或 B． C．，或 D．【答案】C【解析】由题意，的两根为3，6．则，解得，则不等式可化为，解得，或．故选C．9．（2024春•宣城期末）关于的不等式的解集为A． B．或 C．或 D．【答案】A【解析】不等式可化为，，原不等式等价于，且不等式对应的一元二次方程的根为和1；又，原不等式的解集为．故选A．10．（2024春•惠州期末）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是A． B．，， C．， D．【答案】D【解析】不等式的解集为，所以△，即，解得．故选D．11．（2024春•上饶期末）一元二次不等式的解集是A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式不等式对应方程的解为和，所以不等式的解集为或．故选B．12．（2024春•惠州期末）不等式的解集为A． B． C．，， D．【答案】A【解析】，，解得．用集合表示为．故选A．13．（2024•青岛三模）若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】D【解析】时，不等式化为，解集为实数集；时，应满意，所以，解得；综上，实数的取值范围是．故选D．14．（2024•淄博模拟）设表示不小于实数的最小整数，则满意关于的不等式的解可以为A． B．3 C． D．【答案】BC【解析】不等式可化为，解得；又表示不小于实数的最小整数，且，，，；所以满意不等式的解可以为、．故选BC．15．（2024•鼓楼区校级模拟）设关于的不等式，，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为__________．【答案】【解析】设，其图象为抛物线．对于随意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的状况下才能满意而整数解只有有限个，所以．因为0为其中的一个解可以求得，又，所以，，则不等式为和，可分别求得和，为整数，，，，，0和，，，0，1，2，3全部不等式的整数解的和为故答案为：．16．（2024春•仓山区校级期末）已知关于的不等式，它的解集是，，则实数__________．【答案】【解析】关于的不等式，它的解集是，，全部关于的方程的两根为1和3，由根与系数的关系知，实数．故答案为：．17．（2024•江苏一模）若关于的不等式的解集是，则实数的值为__________．【答案】4【解析】不等式的解集是，所以方程的解1和3，由根与系数的关系知，．故答案为：4．18．（2024•连云港模拟）若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是__________．【答案】，，【解析】若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即．若，要使不等式的解集不是空集，则①时，有△，解得．②若，则满意条件．综上满意条件的的取值范围是，，．故答案为：，，．19．（2024•南通二模）已知关于的不等式的解集为，且中共含有个整数，则当最小时实数的值为__________