2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.1.2棱柱棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1．了解多面体的有关概念．2．理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征．3．会进行与棱柱、棱锥、棱台有关的计算．1．多面体的有关概念(1)定义：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体．(2)相关概念如图，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD、面BCC′B′；相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB、棱AA′；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A、顶点A′；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD′．(3)凸多面体：把一个多面体的随意一个面延展为平面，假如其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．2．棱柱、棱锥、棱台名称棱柱棱锥棱台定义有两个相互平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都相互平行有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分图形分类三棱柱四棱柱五棱柱⋮三棱锥四棱锥五棱锥⋮三棱台四棱台五棱台⋮特别的几何体侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱假如棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥由正棱锥截得的棱台叫做正棱台1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)假如四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等．()(2)五棱锥只有五条棱．()(3)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相像．()解析：(1)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(2)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(3)正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．如图所示的几何体中，是凸多面体的是________．解析：①②是凸多面体，③④不是．答案：① ②3．直棱柱与正棱柱有什么区分？解：(1)直棱柱是在一般棱柱的基础上加一个条件“侧棱与底面垂直”．(2)正棱柱是在直棱柱的基础上再加一个条件“底面是正多边形”．棱柱、棱锥、棱台的概念给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且全部侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】明显命题①、②均是真命题．对于命题③，明显一个图形要成为空间几何体，则它至少须要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是被截原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故命题④为真命题．【答案】Aeq\a\vs4\al()只有理解并驾驭好各种简洁多面体的概念以及相应的结构特征，才能不至于被各个命题的表面假象所迷惑，从而对问题做出正确的推断．1．下列命题中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行B．棱柱中两个相互平行的平面肯定是棱柱的底面C．在平行六面体中，随意两个相对的面均相互平行，但平行六面体的随意两个相对的面不肯定可当作它的底面D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面肯定不是平行四边形解析：选A．正四棱柱中两个相对侧面相互平行，故B错；平行六面体的随意两个相对面可作底面，故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错．2．下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面肯定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．其中正确说法的序号是__________．解析：①正确，棱台的侧面肯定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．答案：①②③空间几何体的结构特征如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1．(1)这个长方体是棱柱吗？假如是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？假如是，是几棱柱？假如不是，说明理由．【解】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱相互平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1­CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1­DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．假如本例条件不变，若用一个平面只截去侧棱B1C1所在的一个角，剩余的几何体是棱柱吗？如何截取能得到一个棱柱？解：用一个平面只截去侧棱B1C1所在的一个角，则剩余的几何体不肯定是棱柱，如图(1)所示，沿平面EFF1E1(其中EF≠E1F1)，所截得几何体ABEFA1­DCE1F1D1不是棱柱，当截面按平行于侧棱BC的方向去截时，所得几何体为棱柱，如图(2)所示．eq\a\vs4\al()多面体的几何特征(1)棱柱的几何特征侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；(2)棱锥的几何特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台的几何特征上、下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．1．若一个棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥肯定不是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥解析：选D．因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满意上述条件的棱锥肯定不是六棱锥．2．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．以上答案都不对解析：选B．剩余部分是四棱锥A′-BCC′B′．棱柱、棱锥、棱台中的有关计算如图正三棱台ABC­A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面的面积为eq\f(20\r(3),3)，O1、O分别为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长．【解】AB＝10，则AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝5eq\r(3)，所以OD＝eq\f(1,3)×AD＝eq\f(5\r(3),3)．设上底面边长为x，则O1D1＝eq\f(\r(3),6)x．过D1作D1H⊥AD于点H，则DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x．在△D1DH中，D1D＝eq\f(DH,cos60°)＝2(eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x)，所以在梯形B1C1CB中，S＝eq\f(1,2)(B1C1＋BC)·D1D，即eq\f(20\r(3),3)＝eq\f(1,2)(x＋10)·2(eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x)，解得x＝2eq\r(15)．所以上底面的边长为2eq\r(15)．eq\a\vs4\al()在正棱台的有关计算中，要留意找寻直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．已知正三棱锥V­ABC，底面边长为8，侧棱长为2eq\r(6)，计算它的高和斜高．解：如图所示，设O是底面中心，连接AO，并延长交BC于点D，则D为BC的中点，所以△VAO和△VCD是直角三角形．因为底面边长为8，侧棱长为2eq\r(6)，所以AO＝eq\f(\r(3),3)×8＝eq\f(8,3)eq\r(3)，CD＝4，所以VO＝eq\r(VA2－AO2)＝eq\r((2\r(6))2－(\f(8,3)\r(3))2)＝eq\f(2,3)eq\r(6)．VD＝eq\r(VC2－CD2)＝eq\r((2\r(6))2－42)＝2eq\r(2)．即正三棱锥的高是eq\f(2,3)eq\r(6)，斜高是2eq\r(2)．1．棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形．应留意：若一个几何体是棱台，则其侧棱延长后必交于同一点，也就是说若一个几何体的各条侧棱延长后不交于同一点，则该几何体肯定不是棱台．驾驭好棱柱、棱锥、棱台的定义和性质，是解决问题的基础和关键．2．棱台是由棱锥截得的，在处理与棱台有关的问题时要留意联系棱锥的有关性质，“还台为锥”是常用的解题方法和策略．不能正确地理解棱柱、棱锥、棱台的定义及其几何特征，简洁致错．对于正棱锥和正棱台，要留意精确理解概念，把握图形的特征，尤其是图中的一些重要的直角三角形和直角梯形．1．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为()解析：选A．推断一个几何体是否是棱锥，关键看它是否满意以下条件：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，且是有一个公共顶点的三角形，故A不是棱锥；B是四棱锥；C，D是五棱锥．2．用一个平面去截四棱锥，不行能得到()A．棱锥 B．棱柱C．棱台 D．四面体答案：B3．下列说法错误的是()A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形解析：选D．三棱柱的侧面为平行四边形．4．一个棱柱有10个顶点，全部的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为__________cm．解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为eq\f(60,5)＝12(cm)．答案：12[学生用书P79(单独成册)])[A基础达标]1．视察如图所示的四个几何体，其中推断不正确的是()A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台解析：选B．由棱柱、棱锥、棱台的定义可知，①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．2．下列说法正确的是()A．棱柱的底面肯定是平行四边形B．棱锥的底面肯定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不行能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D．棱柱和棱锥的底面可以是随意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．3．具备下列条件的多面体是棱台的是()A．两底面是相像多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体解析：选D．由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点．4．如图所示，在棱锥A­BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△DBC的周长是18，则△EFG的周长为()A．2 B．4C．6 D．9解析：选C．由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以eq\f(△EFG的周长,△DBC的周长)＝eq\f(EF,BD)．又因为eq\f(EF,BD)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(△EFG的周长,△DBC的周长)＝eq\f(1,3)，所以△EFG的周长＝18×eq\f(1,3)＝6．5．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线()A．20条 B．15条C．12条 D．10条解析：选D．如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体视察求得)．答案：487．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5698．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的绽开图的为__________．(填序号)解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．答案：① ②9．已知正四棱锥V­ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2eq\r(11)，求该棱锥的高．解：取正方形ABCD的中心O，连接VO、AO，则VO就是正四棱锥V­ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2eq\r(2)．因为一条侧棱长为2eq\r(11)，所以VO＝eq\r(VA2－AO2)＝eq\r(44－8)＝6．所以正四棱锥V­ABCD的高为6．10．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P．问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2．[B实力提升]11．关于如图所示几何体的正确说法为()①这是一个六面体．②这是一个四棱台．③这是一个四棱柱．④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．A．①②③ B．①③④C．①②④⑤ D．①③④⑤解析：选D．①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．假如把几何体放倒就会发觉是一个四棱柱．④⑤都正确．如图所示．12．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，体对角线长为9，则棱台的斜高等于________．解析：如图，四边形BDD1B1是等腰梯形，B1D1＝5eq\r(2)，BD＝7eq\r(2)，BD1＝9，所以OO1＝eq\r(BDeq\o\al(2,1)－(\f(BD＋B1D1,2))2)＝3．又E1，E分别为B1C1，BC的中点，所以O1E1＝eq\f(5,2)，OE＝eq\f(7,2)．所以在直角梯形OEE1O1中，斜高E1E＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋(OE－O1E1)2)＝eq\r(10)．答案：eq\r(10)13．正四棱锥S­ABCD的高为eq\r(3)，侧棱长为eq\r(7)．(1)求侧面上的斜高；(2)求一个侧面的面积；(3)求底面的面积．解：(1)如图所示，在正四棱锥S­ABCD中，高SO＝eq\r(3)，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，解Rt△