2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估二课时作业含解析新人教A版选修2-1

其次章单元质量评估(二)eq\o(\s\up7(时限：120分钟满分：150分),\s\do5())一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(C)A．4 B．－4C．－eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)2．若椭圆eq\f(x2,3m)＋eq\f(y2,2m＋1)＝1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))B．(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m>0,2m＋1>0且2m＋1>3m，得0<m<1，故选B.3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为(C)A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4).又a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，故选C.4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(C)A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析：如图，|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，|F1F2|＝2，由椭圆定义得|AF1|＝2a－eq\f(3,2)①.在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22②.由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，应选C.5．已知双曲线y2－x2＝1的离心率为e，且抛物线y2＝2px的焦点坐标为(e2,0)，则p的值为(D)A．－2B．－4C．2D．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e＝eq\r(2)，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以eq\f(p,2)＝2，所以p＝4.故选D.6．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝(A)A．4B．6C．8D．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线l，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴|BF|＝1，|AB|＝4，故选A.7．过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为eq\f(2,3)，则k的值为(C)A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．±eq\f(1,3)D．±eq\f(1,2)解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a)))，则斜率k＝eq\f(±\f(b2,a),c＋a)＝±eq\f(b2,ac＋a2)＝±eq\f(a2－c2,ac＋a2)＝±eq\f(1－e2,e＋1)＝±(1－e)＝±eq\f(1,3)，故选C.8．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点间的线段F1F2正好被椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为(B)A．y＝±eq\f(\r(5),3)xB．y＝±eq\f(2\r(5),5)xC．y＝±eq\f(3\r(5),5)xD．y＝±eq\r(5)x解析：∵双曲线的焦距为2eq\r(a2＋b2)，椭圆的焦距为2eq\r(a2－b2)，∴2eq\r(a2－b2)＝eq\f(1,3)·2eq\r(a2＋b2)，整理得4a2＝5b2，则a＝eq\f(\r(5),2)b.代入双曲线的渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(2\r(5),5)x.9．已知椭圆C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(A)A．m>n，且e1e2>1B．m>n，且e1e2<1C．m<n，且e1e2>1D．m<n，且e1e2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m2－1＝n2＋1.∴m2－n2＝2，∴m>n.∵e1＝eq\r(1－\f(1,m2))，e2＝eq\r(1＋\f(1,n2))，∴e1e2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2))))＝eq\r(1＋\f(1,n2)－\f(1,m2)－\f(1,m2n2))＝eq\r(1＋\f(m2－n2－1,m2n2))＝eq\r(1＋\f(1,m2n2))>1.10．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A，B，在椭圆上有一个异于点A，B的动点P，若直线PA的斜率为k0，则直线PB的斜率为(B)A.eq\f(3,4k0)B．－eq\f(3,4k0)C．－eq\f(3,4)k0D．－eq\f(3,2)k0解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x0，y0)(x0≠±2)，∴kPA＝eq\f(y0,x0＋2)，kPB＝eq\f(y0,x0－2).∵点P在椭圆上，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))，∴kPA·kPB＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4))),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).∵kPA＝k0，∴kPB＝－eq\f(3,4k0)，故选B.11．抛物线x2＝－6by的准线与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC＝∠BOC，则双曲线的离心率为(C)A.eq\f(2\r(3),3)B．3C.eq\f(4\r(3),3)D．2eq\r(3)解析：抛物线的准线为y＝eq\f(3,2)b，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(13),2)a，\f(3,2)b))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)a，\f(3,2)b)).易得∠AOC＝∠BOC＝60°，∴kOC＝eq\f(3\r(13)b,13a)＝tan60°＝eq\r(3).∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(13,3)，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(13,3))＝eq\f(4\r(3),3)，故选C.12．在焦点在x轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[3b2,4b2]，则椭圆离心率的范围是(A)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，\f(\r(3),2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(3),3)))解析：设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为y＝kx(假设k>0)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))解得x2＝eq\f(a2b2,b2＋a2k2)，y2＝eq\f(a2b2k2,b2＋a2k2).所以矩形ABCD的面积S＝4|xy|＝eq\f(4a2b2k,b2＋a2k2)＝eq\f(4a2b2,\f(b2,k)＋a2k)≤eq\f(4a2b2,2\r(\f(b2,k)·a2k))＝2ab，当且仅当k＝eq\f(b,a)时取等号．所以3b2≤2ab≤4b2，解得eq\f(1,2)≤eq\f(b,a)≤eq\f(2,3).所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，\f(\r(3),2))).故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝2eq\r(2).解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－eq\r(2)，0)，故抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\r(2)，所以eq\f(p,2)＝eq\r(2)，解得p＝2eq\r(2).14．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))，则|eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝1或5.解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点F(3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F1，由eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)))，知Q为PF的中点．连接PF1，则|eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))|.由||eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF,\s\up6(→))||＝4，|eq\o(PF,\s\up6(→))|＝6，得|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2或10，故|eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝1或5.15．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若F到直线AB的距离等于eq\f(b,\r(7))，则椭圆的离心率为eq\f(1,2).解析：直线AB的方程为eq\f(y,b)＋eq\f(x,－a)＝1，即bx－ay＋ab＝0.设F(－c,0)，则eq\f(|－bc＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(b,\r(7))，即eq\f(|a－c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(7)).因而eq\r(7)|a－c|＝eq\r(a2＋b2).又b2＝a2－c2，代入上式，并整理得8c2－14ac＋5a2＝0，于是8e2－14e＋5＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝eq\f(5,4)(舍去)．16．设抛物线M：y2＝2px(p>0)的焦点F是双曲线N：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过点F，则双曲线N的离心率e＝eq\r(2)＋1.解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线M：y2＝2px(p>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，双曲线N：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，∴eq\f(p,2)＝c.又公共弦AB恰好过点F，得AB为抛物线M的通径，∴AB＝2p＝eq\f(2b2,a)，∴b2＝2ac⇒c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，∴e＝eq\r(2)＋1或e＝1－eq\r(2)(舍去)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点坐标为F1(c,0)，F2(－c,0)．∵以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，∴c＝|OP|＝eq\r(32＋42)＝5.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)＋\f(42,b2)＝1，,a2＝b2＋52，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝45，,b2＝20，))∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.18．(12分)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为eq\f(π,4)的直线与抛物线相交于A，B两点．(1)用p表示|AB|；(2)若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，求这个抛物线的方程．解：(1)抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，过点F且倾斜角为eq\f(π,4)的直线方程是y＝x－eq\f(p,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝x－\f(p,2)，))得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq\f(p2,4)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.(2)由(1)知x1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝3p，∴y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)))＝x1x2－eq\f(p,2)(x1＋x2)＋eq\f(p2,4)＝eq\f(p2,4)－eq\f(3p2,2)＋eq\f(p2,4)＝－p2，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(p2,4)－p2＝－eq\f(3p2,4)＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.∴这个抛物线的方程为y2＝4x.19．(12分)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq\f(1,2).(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求k的值．解：(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，而y≥0，所以|PN|＝y，所以eq\r(x2＋y－\f(1,2)2)＝y＋eq\f(1,2)，化简得x2＝2y(y≥0)为所求的方程．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y))得x2－2kx－2＝0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，所以k4＋3k2－4＝0，而k2≥0，所以k2＝1，所以k＝±1.20．(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论．(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．解：(1)x1＋x2＝0，证明：点F在直线l上⇒|FA|＝|FB|⇒A，B两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x轴的平行线，∴上述条件等价于y1＝y2⇒xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)⇒(x1＋x2)(x1－x2)＝0，∵x1≠x2，∴当且仅当x1＋x2＝0时，直线l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y＝2x＋b.则过点A，B的直线方程可写为y＝－eq\f(1,2)x＋m，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2，,y＝－\f(1,2)x＋m，))化简得2x2＋eq\f(1,2)x－m＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(1,4).∵A，B为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝eq\f(1,4)＋8m>0，即m>－eq\f(1,32).设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0＝－eq\f(1,8)，y0＝－eq\f(1,2)x0＋m＝eq\f(1,16)＋m.又点N在直线l上，∴eq\f(1,16)＋m＝－eq\f(1,4)＋b，于是b＝eq\f(5,16)＋m>eq\f(5,16)－eq\f(1,32)＝eq\f(9,32)，∴l在y轴上的截距的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,32)，＋∞)).21．(12分)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2eq\o(F1F2,\s\up6(→))＋eq\o(F2Q,\s\up6(→))＝0，过A，Q，F2三点的圆的半径为2.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？假如存在，求出m的取值范围，假如不存在，请说明理由．解：(1)因为2eq\o(F1F2,\s\up6(→))＋eq\o(F2Q,\s\up6(→))＝0，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为(－3c,0)，因为AQ⊥AF2，所以b2＝3c×c＝3c2，a2＝4c×c＝4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1(－c,0)，半径为2c，所以c＝1.所以a＝2.b＝eq\r(3).故所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)存在．设直线l的方程为y＝kx＋2(k>0)，与椭圆方程联立，消去y可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.设点G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(16k,3＋4k2).所以eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(PH,\s\up6(→))＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)．又eq\o(GH,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))，由于菱形对角线相互垂直，则(eq\o(PG,\s\up6(→))＋eq\o(PH,\s\up6(→)))·eq\o(GH,\s\up6(→))＝0，所以(x2－x1)[(x1＋x2)－2m]＋k(x2－x1)[k(x1＋x2)＋4]＝0.故(x2－x1)[(x1＋x2)－2m＋k2(x1＋x2)＋4k]＝0.因为k>0，所以x2－x1≠0.所以(x1＋x2)－2m＋k2(x1＋x2)＋4k＝0，即(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，所以(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16k,3＋4k2)))＋4k－2m＝0，解得m＝－eq\f(2k,3＋4k2)，即m＝－eq\f(2,\f(3,k)＋4k).由Δ>0，且k>0，可得k>eq\f(1,2).因为k>eq\f(1,2)，可以使eq\f(3,k)＝4k，所以－eq\f(\r(3),6)≤m<0.故存在满意题意的点P且m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，0)).22．(12分)已知两定点E(－2,0)，F(2,0)，动点P满意eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满意eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(MQ,\s\up6(→))，点M的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)过