福建省福州市福州则徐中学2020-2021学年8下期中试卷（解析版）

晋安区2020-2021学年第二学期期中七校联考初二数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若二次根式有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列式求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义∴x﹣3≥0，即：x≥3．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零．2.下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的条件：①被开方数不能含有开得尽方的数，②被开方数不能含有分母，由此可进行排除选项．【详解】解：A、，故不符合题意；B、是最简二次根式，故符合题意；C、，故不符合题意；D、，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式条件是解题的关键．3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线互相平分 B.对角线相等C.每一条对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直【答案】A【解析】【分析】根据矩形、菱形及正方形的性质可直接进行排除选项．【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，∴矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故选A．【点睛】本题主要考查矩形、菱形及正方形的性质，熟练掌握矩形、菱形及正方形的性质是解题的关键．4.下列运算中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算可进行求解．【详解】解：A、，故不符题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、无法计算，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．5.如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB＝CD B.AD∥BC C.OA＝OC D.AD＝BC【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理可直接进行排除选项．【详解】解：A、若添加AB=CD可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定，故不符合题意；B、若添加AD∥BC可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定，故不符合题意；C、由AB∥CD可得∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证△ABO≌△CDO（AAS），然后可得OB=OD，进而根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定，故不符合题意；D、若添加AD=BC不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．6.如图，矩形OABC，OA＝2，AB=1，OA在数轴上，以原点O为圆心，交正半轴于一点，则此点表示的实数是（）A.2.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠OAB=90°，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB=90°，∵OA＝2，AB=1，∴，∴这个点表示的实数是；故选D．【点睛】本题主要考查勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理及矩形的性质是解题的关键．7.△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（）A.b2＝a2﹣c2 B.a∶b∶c＝1∶2∶2C.2∠C＝∠A＋∠B D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．【详解】解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，故不符合题意；C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故选A．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键．8.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题．“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”秋于的绳索始终拉的很直，则绳索长为（）A.15.5尺 B.14.5尺 C.13.5尺 D.12.5尺【答案】B【解析】【分析】过点B作BC⊥OA于点C，作BE垂直于地面，延长OA交地面于点D，根据题意可得CD=BE=5尺，BC=10尺，设绳索长为x尺，进而可得OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，作BE垂直于地面，延长OA交地面于点D，如图所示：由题意知CD=BE=5尺，BC=10尺，AD=1尺，设绳索长为x尺，∴OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，∴在Rt△OCB中，，即，解得：，∴绳索长为14.5尺；故选B．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9.把图1的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图2），已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，则矩形ABCD的面积为（）A.12 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意易得MN=5，然后可得Rt△MPN的高，进而可得矩形的宽AB的长，然后根据折叠的性质可得BC的长，最后问题可求解．【详解】解：∵∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，∴，设Rt△MPN斜边上的高为h，则矩形的宽AB即为h，∴根据直角三角形的面积公式可得：，由折叠的性质知，，∴矩形的面积为；故选B．【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形与折叠性质及勾股定理是解题的关键．10.如图，在正方形OABC中，OA＝6，点E、F分别在边BC，BA上，OE＝，若∠EOF＝45°，则点F的纵坐标为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长BA到点M，使AM=CE，连接OM，由题意易得△OCE≌△OAM，则有OE=OM，∠COE=∠AOM，然后可得∠EOF=∠MOF，进而可得△EOF≌△MOF，则有FM=EF，根据勾股定理可得CE=3，设AF=x，则EF=3+x，BE=3，BF=6-x，最后根据勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：延长BA到点M，使AM=CE，连接OM，如图所示：∵四边形OABC是正方形，OA＝6，∴，∴△OCE≌△OAM，∴OE=OM，∠COE=∠AOM，∵∠EOF＝45°，∴，∴，∴∠EOF=∠MOF，∵OF=OF，OE=OM，∴△EOF≌△MOF（SAS），∴，∵OE＝，∴在Rt△OEC中，，设AF=x，则EF=3+x，BE=3，BF=6-x，∴在Rt△EBF中，，∴，解得：，∴点F的纵坐标为2；故选A．【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11.在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是___．【答案】8cm【解析】【分析】根据菱形性质可直接进行求解．【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm，故答案为8cm．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．12.请写出“全等三角形的面积相等”的逆命题___．【答案】面积相等两个三角形全等【解析】【分析】根据逆命题的概念可直接进行求解．【详解】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题为面积相等的两个三角形全等；故答案为面积相等的两个三角形全等．【点睛】本题主要考查逆命题，熟练掌握逆命题的概念：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．13.如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为2cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为___cm2．【答案】2【解析】【分析】由题意易得这两张正方形纸片的边长分别为，则有，然后根据割补法可求解．【详解】解：∵两张正方形纸片的面积分别为2cm2和8cm2，∴这两张正方形纸片的边长分别为，∴，∴空白部分的面积为；故答案为2．【点睛】本题主要考查二次根式的运算及应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知∠AOB=60°，AB＝2，则AC的长为___．

【答案】4【解析】【分析】由题意易得AO=BO，然后可得△AOB为等边三角形，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，AC=2AO，∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝2，∴AO=BO=AB=2，∴AC=4；故答案为4．【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．15.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且a＋c＝27，a-c=3，则b的值是___．【答案】9【解析】【分析】由题意易得a=15，c=12，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：∵a＋c＝27，a-c=3，∴a=15，c=12，∵∠BAC＝90°，∴；故答案为9．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA=12，AC＝16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为___．【答案】【解析】【分析】连接AD，EF，由题意易得BC=20，然后可得四边形DEAF是矩形，进而可得当AD⊥BC时，AD的值为最小，然后可得GF的最小值．【详解】解：连接AD，EF，如图所示：∵∠BAC＝90°，且BA=12，AC＝16，∴，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴，∴四边形DEAF是矩形，∴EF=AD，∴当AD⊥BC时，AD值为最小，∵，∴，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查矩形性质与判定及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题（本题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．）17.计算：（1）（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂，绝对值的性质求解即可得到答案；（2）先利用平方差公式和整式的计算法则进行化简，然后代值计算即可．【详解】解：（1）；（2），当时，原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，零指数幂，化简绝对值，整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18.如图，在四边形ABCD中，，．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接证明再利用全等三角形的性质可得结论.【详解】解：连接四边形ABCD中，，，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，构建全等三角形，利用证明三角形全等是解题的关键.19.如图，已知正方形CDEF的边长为13cm，且AC⊥AF，AB=3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明理由【答案】△ABC是直角三角形，理由见详解【解析】【分析】由题意易得FC=13cm，则根据勾股定理可得AC=5cm，然后再根据勾股定理逆定理可求解问题．【详解】解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵正方形CDEF的边长为13cm，∴FC=13cm，∵AC⊥AF，AF＝12cm，∴，∵AB=3cm，BC＝4cm，∴，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．20.如图在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝．（2）若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），请你在图中找出一点D．并作出以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形．直接写出满足条件的D点的坐标．【答案】（1）135°，；（2）点D的坐标为或或【解析】【分析】（1）直接利用网格得出∠ABC的度数，再利用勾股定理可求BC的长；（2）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，然后再根据平行四边形的性质可进行求解点D的坐标．【详解】解：（1）由图可得：，由勾股定理可得：；故答案为135°，；（2）由点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），可建立平面直角坐标系，如图所示，满足条件的点D共有3个，以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形分别是：，如图，∴点D的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键．21.求证：对角线相等的平行四边形是矩形．（根据题意画出图形，并写出已知、求证和证明过程）【答案】见详解【解析】【分析】根据命题先写出已知、求证和作图，然后再根据题意证明求解即可．【详解】解：已知：如图，在中，AC=BD，求证：平行四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查矩形的判定及三角形全等，解题的关键是利用全等三角形的判定与性质得到．22.下面是小兰探究二次根式的运算规律的过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：．特例2：．特例3：．特例4：．（举一个符合上述运算特征的例子）（2）观察、归纳，得出猜想．若n为大于1的正整数，用含n的式子表示这个运算规律：．（3）请证明你发现的结论．【答案】（1）；（2）；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据题中所给规律可直接进行求解；（2）由（1）及题意总结规律即可求解；（3）根据分式的运算及二次根式的化简可直接进行证明．【详解】解：（1）由题中所给特例可得：特例4为；故答案为；（2）∵n为大于1的正整数，∴观察例子可得用含n的式子表示这个运算规律为；故答案为；（3）证明如下：∵n为大于1的正整数，∴，即．【点睛】本题主要考查二次根式的性质及分式的运算，熟练掌握二次根式的性质及分式的运算是解题的关键．23.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC、AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD＝6，DF＝2，求四边形DBEC的面积．【答案】（1）见详解；（2）四边形DBEC的面积为【解析】【分析】（1）由题意易得四边形DBEC是平行四边形，DC=DB，然后问题可求证；（2）连接DE，由三角形中位线可得BC=4，则有CD=AD=6，然后根据菱形的性质可得DE的长，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC是平行四边形，∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴DC=DB，∴四边形DBEC是菱形；（2）解：连接DE，如图所示：∵点D是AC的中点，AD＝6，∴DC=AD=6，∵点F是AB的中点，∴DF是△DCB的中位线，∵DF＝2，∴BC=2DF=4，∵四边形DBEC是菱形，∴DE⊥BC，，在Rt△CDO中，∴，∴，∴四边形DBEC的面积为．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．24.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE=PB，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系．（2）①如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．②图2，试用等式来表示PB、BC、CE之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）PD=PE且PD⊥PE，理由见详解；（2）①（1）中猜想成立，理由见详解；②，证明见详解．【解析】【分析】（1）根据点P在线段AO上，利用三角形的全等判定可以得出问题；（2）①利用三角形全等得出BP=PD，由PB=PE可得PE=PD，要证PE⊥PD可从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可求解；②连接DE，由①知PE=PD，PE⊥PD，由勾股定理可得，由四边形ABCD是正方形可得BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，根据知，然后结合PE=PB可求解．【详解】解：（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵PC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，∵PE=PB，∴PD=PE，∠PBC=∠PEB，∴∠PDC=∠PEB，∴∠PDC+∠PEC=180°，由四边形PECD内角和为360°，∴∠DPE+∠DCE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DPE=90°，∴PD=PE且PD⊥PE；（2）①（1）中结论仍成立，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，∵PA=PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PD=PE，a、当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时PE⊥PD；b、当点E在BC的延长线上时，如图所示：∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP=∠ADP，∴∠CDP=∠CBP，∵BP=PE，∴∠CBP=∠PEC，∴∠PDC=∠PEC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD，综上所述：PD=PE且PD⊥PE仍成立；②数量关系：，证明如下：如图2，连接DE，由①可得PD=PE且PD⊥PE，∴，∵四边形ABCD是正方形，