2025年外研版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册月考试卷489考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、在区间（1；7）中取一个数使取到的数大于3的概率是（）

A.

B.

C.

D.

2、若存在x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，1]B.（﹣∞，﹣8]C.[1，+∞）D.[﹣8，+∞）3、已知f(x)为R上的可导函数，且均有则有（）A.B.C.D.4、设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2017（x）=（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx5、xOy平面内点的坐标的特点是（）A.z坐标是0B.x坐标和y坐标都是0C.x坐标是0D.x坐标，y坐标和z坐标不可能都是06、空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于x轴对称的点为A'，点B（2，1，-1），则=（）A.B.C.3D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、计算定积分：=_______.8、设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），且P（ξ≥1）=则P（η≥1）=____．9、在△中，内角所对的边分别是已知不等式的解集为则____；10、在一个居民小区内设计一个边长为5米的菱形喷水池,规划要求菱形的一条对角线长不大于6米,另一条长不小于6米,则菱形喷水池的两条对角线的长度之和的最大值为米.11、观察下列等式。

据此规律，第n

个等式可为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)12、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）13、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共7分)18、【题文】某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了户家庭；分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）

动员前动员后。

（Ⅰ）已知该小区共有居民户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是吨；请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；

（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在内的家庭中选出户作为采访对象，其中甲、乙两家在备选之列，求恰好选中他们两家作为采访对象的概率评卷人得分五、计算题(共4题，共40分)19、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．20、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．21、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.22、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．25、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】

设取出的数为x；则1＜x＜7，包含6个单位；

若x＞3；解得3＜x＜7，包含4个单位；

故在区间（1；7）中取一个数使取到的数大于3的概率：

p==．

故选D．

【解析】【答案】设取出的数为x；若x＞3，可得x的取值范围，又由题意中x的范围，结合几何概型公式，计算可得答案。

2、A【分析】试题分析：构造函数f（x）=2x﹣x2，由存在使不等式2x﹣x2≥a成立（如果是任意使不等式2x﹣x2≥a成立则易误解），可知即答案选A.考点：二次函数的最值【解析】【答案】A3、D【分析】【解答】令g(x)=则g′(x)=

因为f（x)＞f'（x)，所以g′（x)＜0；所以函数g（x)为R上的减函数；

所以g（-2013)＞g（0)，即

所以故选D．

【分析】中档题，本题不易想到的是构造函数(x)=并研究其单调性。4、C【分析】解：由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=-sinx，f3（x）=f2′（x）=-cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2017=4×504+1，f2010（x）是一周中的第三个函数，故f2017（x）=cosx．

故选：C．

由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f2010（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．

本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．本题易因为判断不准f2017（x）一周期中的第几个数而导致错误，要谨慎．【解析】【答案】C5、A【分析】解：在空间直角坐标系中；xOy平面是水平的平面；

该平面内的点的坐标满足竖坐标z=0．

故选：A．

关键空间直角坐标系中；各坐标平面内点的坐标特点，即可得出正确的结论．

本题考查了空间直角坐标系的应用问题，解题时应熟悉空间直角坐标系的特征是什么．【解析】【答案】A6、D【分析】解：空间直角坐标系中；点A（1，0，1）关于x轴对称的点为A'；

则A′（1；0，-1）；

又点B（2；1，-1）；

∴==．

故选：D．

根据题意求出点A关于x轴对称的点A'，再计算的值．

本题考查了点关于坐标轴对称问题，也考查了模长计算问题，是基础题目．【解析】【答案】D二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】试题分析：故应填入：．考点：定积分．【解析】【答案】．8、略

【分析】

∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=

∴P（ξ≥1）=1-P（ξ＜1）=1-Cp•（1-p）2=

∴p=

∴P（η≥1）=1-P（η=0）=1-C3（）（）3=1-=．

故答案为：．

【解析】【答案】先根据变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=1-P（ξ＜1）=求出p的值，然后根据P（η≥1）=1-P（η=0）求出所求．

9、略

【分析】【解析】试题分析：因为不等式的解集为那么则由韦达定理可知，两根和为a+c=4,两根之积为ac=1，而在解三角形中，由余弦定理可知故可知b=考点：本试题主要考查了一元二次不等式的解集问题的运用。【解析】【答案】10、略

【分析】本试题主要是考查了平行四边形的性质的运用，以及运用线性规划的最优解得到结论。因为由平行四边形的性质有菱形喷水池的两条对角线的长度之和a+b,则可知利用线性规划的最优解作图，设a+b=Z当a=6,b=8时，目标函数最大为14，答案为14米。解决该试题的关键是得到然后结合线性规划的知识来求解。【解析】【答案】1411、略

【分析】解：根据等式；左边有2n

项，右边第一项分母为n+1

最后一项分母为n+n=2n

．

据此规律，第n

个等式可为1鈭�12+13鈭�14++12n鈭�1鈭�12n=1n+1+1n+2++12n

．

故答案为：1鈭�12+13鈭�14++12n鈭�1鈭�12n=1n+1+1n+2++12n

．

根据等式；左边有2n

项，右边第一项分母为n+1

最后一项分母为n+n=2n

即可得出结论．

本题是规律探究题，考查观察与归纳推理的能力，比较基础．【解析】1鈭�12+13鈭�14++12n鈭�1鈭�12n=1n+1+1n+2++12n

三、作图题(共6题，共12分)12、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．13、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共7分)18、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图可求；（Ⅱ）按照分布列的取值情况求对应的概率即可。

试题解析：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为。

（吨）

于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水。

（吨）6分。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知动员前月均用水量在内的家庭有户；

设为：甲、乙、从中任选户，共包含个基本事件：

（甲，乙）、（甲，）、（甲，）、（甲，）、（甲，）、（乙，）、（乙，）；

（乙，）、（乙，）、（）、（）、（）、（）、（）、（）

甲；乙两家恰好被选中是其中一个基本事件：（甲；乙）；

因此所求概率为12分。

考点：频率分布直方图、概率，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）五、计算题(共4题，共40分)19、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．20、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．21、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）22、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则六、综合题(共3题，共21分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）24、解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6；f（1）＞0

∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0

∴a2﹣6a﹣3＜0

∴{#ma