2025年北师大版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.2、函数在区间上单调递增，则的取值范围是()A.B.C.D.3、某人驾车从乡村进城；各时间段的行驶速度如图，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是（）

A.

B.

C.

D.

4、【题文】已知圆C的方程是直线则圆C上有几个点到直线的距离。

为A.1个B.2个C.3个D.4个5、函数的值域为（）A.B.C.D.6、已知集合M={a，b}，集合N={-1，0，1}，在从集合M到集合N的映射中，满足f（a）≤f（b）的映射的个数是（）A.3B.4C.5D.6评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、【题文】已知直线和两点若直线上存在点使得最小，则点的坐标为____.8、【题文】已知集合Z}，则集合=________．9、将函数f（x）=sin（2x+θ）（|θ|＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x）、g（x）的图象都经过点P（0，），则φ=______．10、从点（4，3）向圆（x-2）2+（y-1）2=1作切线，则过两个切点的直线方程是______．11、从圆(x鈭�1)2+(y鈭�1)2=1

外一点P(2,3)

向这个圆引切线，则切线的方程为______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)12、已知函数f(x)=x2+ax，且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1－x)成立.（1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.13、（本小题满分12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是以2为首项，为公差的等差数列，其前项和为求使成立的最大的的值．14、【题文】（12分）一个圆锥，它的底面直径和高均为

（1）求这个圆锥的表面积和体积.

（2）在该圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的侧面积最大？最大值是多少？15、【题文】（本小题满分13分）

据预测，我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量的关系近似地满足：（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数），当时的市场供应量曲线如图所示；

（1）根据图象求的值；

（2）若市场需求量为它近似满足

当时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率的最小值.16、计算：已知log73=a，log74=b，求log748．（其值用a，b表示）17、已知α，β为锐角，求α+2β．18、已知函数f（x）=1+2sin（2x-）．

（1）用五点法作图作出f（x）在x∈[0；π]的图象；

（2）求f（x）在x∈[]的最大值和最小值．评卷人得分四、证明题(共4题，共24分)19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．21、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分五、综合题(共4题，共20分)23、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．24、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．25、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．26、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于那么里根据不等式的倒数性质可知，且又故可知选C.考点：不等式的性质【解析】【答案】C2、D【分析】试题分析：在上单调递增，又因为在区间上单调递增，所以即考点：二次函数的单调性.【解析】【答案】D.3、A【分析】

当0≤t＜1时；s=40t；

当1≤t＜2时；s=40+80（t-1）；

当2≤t＜3时；s=120+30（t-2）；

所以函数解析式为

故选A．

【解析】【答案】根据题目中所给的速度关于时间的函数图象以及路程公式s=vt解答．

4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、C【分析】【解答】因为所以所以所以答案为C。

【分析】对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。这是求值域最简单的一种方法：观察法。6、D【分析】解：若从集合M到集合N的映射中，满足f（a）≤f（b）；

则有：f（a）=-1，f（b）=-1；

f（a）=-1，f（b）=0；

f（a）=-1，f（b）=1；

f（a）=0，f（b）=0；

f（a）=0，f（b）=1；

f（a）=1，f（b）=1；

共6个。

故选：D

根据映射的定义，列举出满足条件f（a）≤f（b）的映射个数；可得答案．

本题主要考查了映射的概念和分类讨论的思想．这类题目在高考时多以选择题填空题的形式出现，较简单属于基础题型．【解析】【答案】D二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】【解析】

试题分析：如图，作关于直线的对称点连结交直线于则点即为使最小的设则即

∴

考点：两直线的交点.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】9、略

【分析】解：将函数的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数y=sin（2x-2φ+θ）的图象；

∵f（x）、g（x）的图象都经过点则sinθ=sin（-2φ+θ）=

∴θ=sin（-2φ+θ）=sin（-2φ+）=．

由于-2φ∈-2π，0），∴-2φ+∈（-），∴-2φ+=-∴φ=．

故答案为：．

根据f（x）、g（x）的图象都经过点则sinθ=sin（-2φ+θ）=求得θ的值，可得-2φ+θ的值，从而求得φ的值．

本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，属于中档题．【解析】10、略

【分析】解：设点P（4；3），圆心（2，1）

由题意，以PC为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=2；

两圆的交点是B；A；两圆的公共弦为AB．

将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+2y-7=0；

故答案为：2x+2y-7=0．

求出以PC为直径的圆的方程；两圆的公共弦为AB，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程，即为过两个切点的直线方程．

本题考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．【解析】2x+2y-7=011、略

【分析】解：分两种情况考虑：

若切线方程斜率不存在时；直线x=2

满足题意；

若切线方程斜率存在时；设为k

此时切线方程为y鈭�3=k(x鈭�2)

即kx鈭�y+3鈭�2k=0

隆脽

直线与圆相切，隆脿

圆心(1,1)

到切线的距离d=r

即|k鈭�1+3鈭�2k|k2+1=1

解得：k=34

此时切线方程为34x鈭�y+3鈭�32=0

即3x鈭�4y+6=0

综上；切线方程为x=2

或3x鈭�4y+6=0

．

故答案为：x=2

或3x鈭�4y+6=0

当切线方程斜率不存在时，直线x=2

满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离d=r

列出关于k

的方程；求出方程的解得到k

的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意的切线方程．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．【解析】x=2

或3x鈭�4y+6=0

三、解答题(共7题，共14分)12、略

【分析】

（1）恒成立即恒成立（2）由（1）得设上是增函数【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】

（Ⅰ）由成等差数列知即所以所以或而所以．（Ⅱ）由已知得所以可得所以满足条件的．【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)如图，设母线长为

1分。

2分。

3分。

5分。

（2）设圆柱的高为底面半径为侧面积为

则7分。

8分。

9分。

10分。

当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值，其最大值为12分。

考点：本题主要考查圆柱；圆锥的几何特征；体积计算及面积计算，二次函数的图象和性质。

点评：综合题，组合体问题中要注意观察几何元素之间的关系，并注意将“空间问题”转化成“平面问题”，这里运用了相似三角形相关知识。本题较难。【解析】【答案】(1)

（2）时，圆柱的侧面积取得最大值，其最大值为15、略

【分析】【解析】（1）由图可知时，有解得

（2）当时，得解得

令在中；

对称轴为直线且图象开口向下.

时，取得最小值此时，【解析】【答案】

(1)

(2)16、【解答】log748

=log73+log716

=log73+2log74

=a+2b【分析】【分析】直接利用对数的运算性质，求出结果即可．17、解：因为β为锐角，sinβ=所以cosβ=则tanβ=

而tan2β===＜1，得到0＜2β＜且＜得到0＜α＜

则tan（α+2β）===1；

由α，β为锐角，得到α+2β∈（0，），所以α+2β=．【分析】【分析】根据β为锐角，由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ，即可求出tanβ的值，然后利用二倍角正切函数公式求出tan2β的值，且根据求出的tan2β的值判断出2β的范围，由tanα的值判断出α的范围，即可得到α+2β的范围，利用两角和的正切函数公式化简后，把tanα和tan2β的值代入即可求出tan（α+2β）值，然后根据α+2β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．18、略

【分析】

（1）列表；描点，连线即可利用“五点作图法”画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象．

（2）利用x的范围，可求≤2x-≤根据正弦函数的图象和性质即可得解其最值．

本题主要考查三角函数的图象和性质，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，要求熟练掌握五点作图法，属于中档题．【解析】解：（1）列表如下：。x0π2x--0πy1-130-11-对应的图象如下：

（2）∵f（x）=1+2sin（2x-）；

又∵x∈[]；

∴≤2x-≤即2≤1+2sin（2x-）≤3；

∴f（x）max=3，f（x）min=2．四、证明题(共4题，共24分)19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．21、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．五、综合题(共4题，共20分)23、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如图2；∵△AGC∽△HAB；

∴=；

∴=；

∴y=；

②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9；

∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9-x）；

∴z=+x-9；

（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的顶角；

如图；∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9；

由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9；

∴BG=HC；

∴CG=x=9；

即当x=9时；AG=AH．

故答案为：△HGA，△HAB．24、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则∠POE+∠MOF=90˚；∠POE+∠EPO=90˚．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90˚；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM；交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．

∵∠MOF+∠OMF=90˚；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90˚；

∴△OF