课时作业-第7节-二项分布、超几何分布与正态分布

第7节二项分布、超几何分布与正态分布知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练二项分布1,2,59超几何分布3,4,811正态分布6,710概率分布模型的综合应用12,13141.设袋中有两个红球,一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回地抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续抽三次,X表示三次中红球被抽中的次数,每个小球被抽取的概率相同,每次抽取相对独立,则方差D(X)等于(C)A.2 B.1 C.23 D.解析:每次取球时,取到红球的概率为23,取到黑球的概率为13,所以取出红球的概率服从二项分布,即X～B(3,23),所以D(X)=3×23×(1-2.抛掷一枚质地均匀的硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为(A)A.E(X)=0,D(X)=1B.E(X)=12,D(X)=C.E(X)=0,D(X)=1D.E(X)=12解析:由题意知,随机变量X的分布列为X-11P11所以E(X)=(-1)×12+1×1D(X)=12×(-1-0)2+12×(1-0)3.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以X表示取出球的最小号码,则E(X)等于(B)A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6解析:易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,由古典概型的概率计算公式得P(X=0)=C11CP(X=1)=C11C32C53=30.1=0.5.故选B.4.(多选题)(2021·山东烟台质检)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格,则下列选项正确的是(CD)A.答对0题和答对3题的概率相同,都为1B.答对1题的概率为3C.答对2题的概率为5D.合格的概率为1解析:设此人答对题目的个数为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103P(ξ=2)+P(ξ=3)=512+112=5.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则(ACD)A.X～B(4,23B.P(X=2)=8C.X的数学期望E(X)=8D.X的方差D(X)=8解析:从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布X～B(4,23X=2,记其概率为P(X=2)=C42×(23)2×(13)因为X～B(4,23),所以X的数学期望为E(X)=4×23=因为X～B(4,23),所以X的方差为D(X)=4×23×136.(2021·八省市新高考适应性考试)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均数作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N(0,2n),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量次(若X～N(μ,σ2解析:根据正态曲线的对称性知,要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(μ-2σ,μ+2σ)⊆(-0.5,0.5)且μ=0,σ=2n,所以0.5≥22n答案:327.(2021·重庆巴蜀中学模拟)中国某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成.已知元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示,三个电子元件的使用寿命(单位:h)均服从正态分布N(10000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000h的台数的均值为.

解析:由正态分布可知,每个元件的使用寿命超过10000h的概率为12,则该部件的使用寿命超过10000h的概率为[1-(12)2]×12由题意知1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000h的台数服从二项分布,所以台数的均值为1000×38答案:3758.(2021·天津武清区高三模拟)已知一个袋子中装有1个红球,3个绿球,1个黄球.从袋中随机取球,每次取3个,则取出的三个球颜色各不相同的概率为;记取出的球颜色种数为ξ,则E(ξ)=.解析:由题意,共有5个球,从中取出3个球,则有C5取出的三个球颜色各不相同,则红球、绿球、黄球各取1个,有C33种不同的取法,所以取出的三个球颜色各不相同的概率为310取出的球颜色种数ξ的可能取值为1,2,3,P(ξ=3)=310,P(ξ=1)=1P(ξ=2)=C11C32所以ξ的分布列为ξ123P133所以E(ξ)=1×110+2×35+3×310答案:3109.(多选题)为弘扬我国古代“六艺”文化,某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程,若甲、乙、丙三名同学每人只能体验其中一门课程,则(BCD)A.甲、乙、丙三人选择课程方法有120种B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为5C.已知甲不选择课程“御”的条件下,乙、丙也不选择课程“御”的概率为25D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ,则E(ξ)=1解析:甲、乙、丙三名同学每人只能体验其中一门课程,则选择方法有63=216种,故A错误;恰有三门课程没有被三名同学选中,表示三名同学每个人选择了不重复的一门课程,所以概率为A6363=120216=59,故B正确;已知甲不选择课程“御”的概率为56,甲、乙、丙都不选择课程“御”的概率为5363=125216,所以条件概率为10.(多选题)(2021·江苏徐州高三模拟)已知某校有1200名同学参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),则下列说法正确的有(BD)(参考数据:①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.这次考试成绩超过100分的约有500人B.这次考试分数低于70分的约有27人C.P(115<X≤130)=0.0514D.从中任取3名同学,至少有2人的分数超过100分的概率为1解析:由题意可知,对于选项A,μ=100,σ=15,则P(X>100)=12,则成绩超过100分的约有1200×1对于选项B,P(X≥70)=P(70≤X≤100)+P(X>100)=12P(100-2×15≤X≤100+2×15)+0.5≈12×1200=27.3,即约为27人,所以选项B正确;对于选项C,P(X≤115)=P(X<100)+12P(100-15≤X≤100+15)≈0.5+10.6827=0.84135,P(X≤130)=P(X<100)+12P(100-2×15≤X≤100+215)≈0.5+12×P(X≤115)=0.97725-0.84135=0.1359,所以选项C错误;对于选项D,因为P(X>100)=12,且至少有2人的分数超过100分的情况如下:①恰好有2人时概率为C32×(12)2×12=38;②3人均超过100分时的概率为(12)3=111.(2021·天津南开区高三模拟)一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是25;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79,则白球的个数为;从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=解析:设白球的个数为y,又从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79则Cy2+由题设知ξ的所有可能取值是0,1,2,3,P(ξ=0)=C53C103=1P(ξ=2)=C52C51C10则随机变量ξ的分布列为ξ0123P1551所以E(ξ)=512+512×2+312答案:5312.(2021·河北饶阳中学高三模拟)由商务部和北京市人民政府共同主办的2020年中国国际服务贸易交易会(简称服贸会)于9月4日开幕,主题为“全球服务,互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况,决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果,采访的学生中男女比例为3∶2,已知抽取的男生中有10名不了解服贸会,抽取的女生中有25名了解服贸会,请解答下面所提出的相关问题.(1)完成2×2列联表,并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.性别了解情况合计了解不了解男生女生合计100(2)若从被采访的学生中利用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动,记抽取男生的人数为ξ,求出ξ的分布列及数学期望.附:χ2=n(α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(1)2×2列联表如表:性别了解情况合计了解不了解男生501060女生251540合计7525100χ2=100×(所以没有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关.(2)根据题意,抽取的5人中男生有3人,女生有2人.从这5人中随机抽取3人,则男生人数ξ的所有可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=C31C22C5P(ξ=3)=C33C所以ξ的分布列为ξ123P361所以E(ξ)=1×310+2×610+3×11013.(2021·江西南昌模拟)有某品牌A型和B型两种节能灯,假定A型节能灯使用寿命都超过5000h.经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计,得到如图所示的频率分布直方图.某商家因原店面需重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解,A型20W和B型55W的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/kW·h.假定该店面正常营业一年的照明时间为3600h,若正常营业期间灯坏了立即购买同种型号的灯更换(用频率估计概率).(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯,求一年内恰好更换了2只灯的概率;(2)若只考虑灯的成本和消耗电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯,请说明理由.解:(1)由频率分布直方图可知B型节能灯使用寿命超过3600h的频率为0.0010×200=0.2,用频率估计概率,得B型节能灯使用寿命超过3600h的概率为15所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为45所以一年内恰好更换了2只灯的概率为C52×(45)2×(15)(2)共需要安装5只同型号的节能灯,若选择A型节能灯,一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870(元).若选择B型节能灯,由于B型节能灯一年内需更换的只数服从二项分布B(5,45故一年需更换灯的只数的数学期望为5×45故一年共需花费(5+4)×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5(元).因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯.14.(2021·山西高三三模)2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点,全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日,中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容,其中第一项是结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果,在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年,总的要求是学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行,教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事、开新局.为了配合这次学党史活动,某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛,现从参加人员中随机抽取100人,并对他们的分数进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)现从这100人中随机抽取2人,记其中得分不低于80分的人数为ξ,试求随机变量ξ的分布列及数学期望;(2)由频率分布直方图,可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,经计算s2=192.44.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人,且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立,试问这500名参赛者的分数高于82.3的人数最有可能是多少?参考数据:192.2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)100人中得分不低于80分的人数为(0.014+0.006)×10×100=20,随机变量ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ=0)=C802C1002=316P(ξ=2)=C202C则ξ的分布列为ξ012P3163219E(ξ)=0×316495+1×3299+2×19495=198(2)μ=35×0.04+45×0.06+55×0.11+65×0.36+75×