《备战2023年高考数学一轮复习》课件-第三章-第2节-第二课时-利用导数研究函数的极值、最值

第二课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数研究函数的极值问题关键能力·课堂突破类分考点落实四翼角度一根据图象判断函数的极值解析:因为函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,所以当x>-2时,f′(x)>0;当x=-2时,f′(x)=0;当x<-2时,f′(x)<0.所以当-2<x<0时,xf′(x)<0;当x=-2时,xf′(x)=0;当x<-2时,xf′(x)>0.故选C.例1-1设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是(

)解题策略1.涉及与极值有关的函数图象问题,首先要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f′(x)的图象,应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.2.f(x)在x=x0处有极值时,一定有f′(x0)=0,f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)在x=x0两侧的符号后才可下结论;若f′(x0)=0,则f(x)不一定在x=x0处取得极值,只有确认x1<x0<x2时,f(x1)·f(x2)<0,才可确定f(x)在x=x0处取得极值.角度二求函数的极值解题策略利用导数研究函数的极值,首先是利用导数研究函数的单调区间,根据函数的单调性确定函数的极值,也就是f′(x)的值的符号,如果左正右负,那么y=f(x)在这个点处取极大值,如果左负右正,那么y=f(x)在这个点处取极小值.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个点处无极值.角度三已知极值点求参数(范围)例1-3已知函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex在x=1处取得极小值,求实数a的取值范围.解题策略已知函数的极值点x=x0求参数的值时,首先明确f′(x0)=0,然后判断函数在x=x0左右的函数值的符号是否满足函数极值点的性质,若是涉及参数的讨论,则还要根据函数的导数的零点分类讨论,一般是将导函数的零点用参数表示出来,根据导函数的零点与极值点的关系分类讨论后求解.角度四已知极值点的个数,求参数的取值范围解题策略已知函数极值点的个数求参数的取值范围.解决此类问题可转化为函数y=f′(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.角度五讨论函数极值点的个数例1-5已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(e是自然对数的底数,a∈R).讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解:f(x)的定义域为R,f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a),(1)当a≤0时,ex-2a>0,令f′(x)=0,得x=0,若x<0,则f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,若x>0,则f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)有1个极值点.解题策略讨论函数极值点的个数,就是转化为讨论函数的导数的变号零点的个数,而讨论变号零点的个数,常常利用数形结合法,将其转化为两个函数的图象的交点问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象讨论满足条件的参数范围.[针对训练]1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么(

)A.-1是函数f(x)的极小值点B.1是函数f(x)的极大值点C.2是函数f(x)的极大值点D.函数f(x)有两个极值点解析:根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f′(-1)=0,f′(2)=0,当x<-1时,f′(x)>0,-1<x<2时,f′(x)>0,x>2时,f′(x)<0,所以-1不是极值点,2是函数f(x)的极大值点.故选C.2.(2021·河北邯郸一中月考)若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为(

)A.-1 B.0 C.1 D.e解析:f′(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f′(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.故选C.解析:因为f′(x)=(x+2)(ex-3),令f′(x)=0,解得x=-2或x=ln3.故当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,当x∈(-2,ln3)时,f′(x)<0,当x∈(ln3,+∞)时,f′(x)>0,故当x=-2时,函数f(x)有极大值,极大值是6.答案:65.已知函数f(x)=xln(2x)-ax2-x(a∈R),讨论函数f(x)极值点的个数.考点二利用导数研究函数的最值例2已知函数f(x)=lnx-mx(m∈R),求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值.解题策略1.求解函数y=f(x)在给定闭区间[a,b]上的最值问题,应先利用导数判断函数在该区间上的单调性,根据单调性以及函数的极值点的函数值与区间端点的函数值的大小确定函数的最值(若函数值的大小不能确定,则需要利用作差比较法比较其大小);若所给的闭区间[a,b]含有参数或函数解析式含有参数,则需通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.2.已知函数的最值求参数,通法是直接根据函数的单调性求参数,这种方法一般需要较为复杂的讨论;巧法是利用最值的定义通过分离参数法转化为不含参数的函数最值问题.[针对训练]已知f(x)=ax-lnx,a∈R,是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.考点三导数在实际问题中的应用(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),问一年内哪几个月是衰退期?解:(1)由题意可得V(t)<100.①当0<t≤10时,由V(t)=-t3+11t2-24t+100<100,可得t(t-3)(t-8)>0,解得0<t<3或8<t≤10.(2)求一年内该地区冰川的最大体积.解:(2)①当0<t≤10时,V(t)=-t3+11t2-24t+100,V′(t)=-3t2+22t-24=-(3t-4)(t-6).当t变化时,V(t)与V′(t)在区间(0,10]上的变化情况如表.利用导数解决生活中优化问题的基本方法(1)将实际问题利用函数进行抽象表达,并注意函数定义域.(2)利用导数解决函数的最值问题.(3)根据函数的最值得到优化问题的答案.提醒:用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.解题策略(1)当m=600时,每天生产量x为多少时,利润L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值;(2)每天生产量x为多少时,平均利润P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.备选例题例1(2021·黑龙江大庆铁人中学高三模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+