2024-2025学年上海延安中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

延安中学2024学年第一学期高二年级数学期末2025.1一、填空题（本大题满分39分）本大题共有13题，每题3分．1．若过点、的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为________．2．已知直线与直线垂直，且经过点，则直线的方程为________．3．已知圆，直线被圆截得的弦长为________．4．直线与的夹角为________．5．已知点、，为线段上一点，若，则点的坐标为________．6．已知一正方体的表面积为24，若球与此正方体的各个面均相切，则该球的体积是_______.7．已知，若点是直线上的任意一点，则的最小值为________.8．已知两条平行直线，间的距离为，则________．9．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是________．10．已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为________．11．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则________．12．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使三点共线的的值是________．13．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是________．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分．14．如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（）.A． B．C． D．15．设，，向量，，，且，，则（）.A． B． C．2 D．816．已知点，，，则外接圆的方程是（）.A． B．C． D．17．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（）.A． B． C． D．三、解答题（本大题满分49分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．18．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5cm，（1）求该组合体的体积；（4分）（2）求该组合体的表面积．（4分）19．如图所示，平行六面体中，,，，．（1）用向量，，表示向量，并求；（4分）（2）求．（4分）20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．（1）求点坐标；（4分）（2）求直线的方程．（4分）21．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．（1）求证：平面；（4分）（2）求二面角的正弦值；（5分）（3）求点到平面的距离．（4分）22．已知圆和圆．（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（4分）（2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（4分）（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．（4分）

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.13.12．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使三点共线的的值是________．【答案】【解析】∵为中点，为的中点，三点共线，故答案为：．13．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是________．【答案】【解析】如图，七面体为正方体截去三棱棱的图形，

由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，

该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，

如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，

设球心，故

设平面的法向量为，则有，可取，

则球心到平面的距离为

因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得，

所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．故答案为：．二、选择题14.A15.B16.17.A17．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如图所求的直角坐标系，得，则直线方程为，

且的重心为，即，

设关于直线的对称为，则，解得，则，易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，所以直线QR的方程为，，即又直线QR过，所以，解得或（舍去），

所以，所以．故选：A．三、解答题18.（1）（2）19.（1）（2）20.（1）（2）21．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．（1）求证：平面；（4分）（2）求二面角的正弦值；（5分）（3）求点到平面的距离．（4分）【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：在三棱台中，平面，易证直线两两垂直，所以以点为原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由，得，，则．因为，点直线，所以．又平面平面，所以平面．

（2）由（1）得．设平面的法向量，则令，则，得．设平面的法向量，则令，则，得．设二面角的大小为，则

所以二面角的正弦值．

（3）由（1）知，，由（2）知平面的一个法向量，

所以点到平面的距离．22．已知圆和圆．（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（4分）（2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（4分）（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．（4分）【答案】（1）