2025年人民版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人民版高二数学上册阶段测试试卷620考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、直线经过原点与点（-1，-1），则它的倾斜角是（）A.45°B.135°C.45°或135°D.0°2、不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A.B.C.D.3、抛物线y2+6x=0的焦点在（）

A.x轴正半轴上。

B.x轴负半轴上。

C.y轴正半轴上。

D.y轴负半轴上。

4、计算的值为()A.B.C.D.5、【题文】设为坐标原点，若三点共线，则的最小值是（）A.2B.4C.6D.86、【题文】经过直线y=2x+3和直线3x-y+2=0的交点,且垂直于第一条直线的方程为()A.x+2y-11="0"B.x-2y-1=0C.x-2y+9="0"D.x+y=07、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点则点取自阴影部分的概率为（）

A.B.C.D.8、已知a∈R，若为实数，则a=（）A.-2B.C.D.29、已知定点M(鈭�3,0)N(2,0)

如果动点P

满足|PM|=2|PN|

则点P

的轨迹所包围的图形面积等于(

)

A.100娄脨9

B.142娄脨9

C.10娄脨3

D.9娄脨

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是____．11、已知等差数列{an}的公差是2，其前4项和是-20，则a2=____．12、若直线与曲线有公共点，则b的取值范围为____。13、过点的抛物线的标准方程是14、【题文】盒中装有形状、大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为____.15、【题文】等差数列中,则______________16、【题文】记函数的图象与轴围成的区域为M,满足的区域为N，若向区域M上随机投一点P，则点P落入区域N的概率为______17、【题文】一元二次不等式的解集是则的值是________18、如图，圆被其内接三角形分为4

块，现有5

种颜色准备用来涂这4

块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有______种.(

填数字)

评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共16分)24、如图；已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB与平面ABCD所成的角为30°，PB与平面PCD所成的角为45°，求：

（1）PB与CD所成角的大小；

（2）二面角C-PB-D的大小．

25、设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A；B两个不同的点；与x轴相交于点C，记O为坐标原点．

（Ⅰ）证明：a2＞

（Ⅱ）若=2求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)26、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．27、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。28、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)29、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．30、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为31、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．32、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：利用斜率公式，设倾斜角为即则考点：直线的倾斜角与斜率；【解析】【答案】A2、C【分析】试题分析：由“直线定界，特殊点定域”画出可行域，可求出可行域的三顶点坐标分别为（1，1），（0，4），（0，），其面积为答案选C.考点：线性规划中的可行域【解析】【答案】C3、B【分析】

整理抛物线方程得y2=-6x；

∴焦点在x轴，p=3，∴焦点坐标为（-0）

抛物线y2+6x=0的焦点在x轴负半轴上。

故选B．

【解析】【答案】先把抛物线整理标准方程；进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标即可．

4、A【分析】【解析】试题分析：=故选A。考点：本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的函数值。【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】

考点：基本不等式；三点共线．

专题：计算题；不等式的解法及应用．

分析：利用的坐标，结合A，B，C三点共线可求得a，b的关系；利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵

∴=（a-1；1）；

=（-b-1；2）；

∵A；B，C三点共线；

∴2（a-1）-（-b-1）=0；

∴2a+b=1．又a＞0，b＞0；

∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=4+2×2=8（当且仅当a=b=时取等号）．

故答案为：8．

点评：本题考查向量共线的坐标运算，考查基本不等式，求得是关键，属于中档题．【解析】【答案】Ｄ6、A【分析】【解析】根据所求直线垂直于第一条直线,从而其斜率为,利用这一点判断各选项.【解析】【答案】A7、B【分析】【分析】阴影部分的面积而正方形的面积故点取自阴影部分的概率为故选B.8、C【分析】解：==为实数，可得a=．

故选：C．

利用复数的除法的运算法则化简复数为a+bi的形式；通过虚部为0，求解即可．

本题考查复数的代数形式混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．【解析】【答案】C9、A【分析】解：设P(x,y)

则由|PM|=2|PN|

得(x+3)2+y2=4[(x鈭�2)2+y2]

化简得3x2+3y2鈭�22x+7=0

整理，得(x鈭�113)2+y2=1009

点P

的轨迹所包围的图形是以(113,0)

为圆心，以103

为半径的圆；

隆脿

点P

的轨迹所包围的图形的面积S=娄脨隆脕(103)2=100娄脨9

．

故选：A

．

设P(x,y)

则由|PM|=2|PN|

得(x+3)2+y2=4[(x鈭�2)2+y2]

从而求出点P

的轨迹所包围的图形是以(113,0)

为圆心，以103

为半径的圆；由此能求出点P

的轨迹所包围的图形面积．

本题考可点的轨迹的所包围的图形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式及点的轨迹方程的性质的合理运用．【解析】A

二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

①f′（x）=-3x2+6x+9=-3（x+1）（x-3）；

当x＜-1或x＞3时；f′（x）＜0，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0；

所以f（x）在（-∞；-1），（3，+∞）上单调递减；在（-1，3）上单调递增．

所以当x=-1时f（x）取得极小值f（-1）=-6+a；f（-2）=2+a，f（2）=22+a．

由于函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2；2]上存在零点；

则解得-22≤m≤6；

所以当函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2；2]上存在零点时，实数a的取值范围是[-22，6]．

故答案为：-22≤m≤6．

【解析】【答案】利用导数求出函数f（x）的单调区间及极大值、极小值、f（-2）、f（2），结合函数f（x）的图象，先求出函数f（x）=x3-3x+m在[0；2]上不存在零点时m的范围，然后求其补集即可．

11、略

【分析】

由题意可得公差d=2，且4a1+×d=-20，解得a1=-8，∴a2=a1+d=-6；

故答案为-6．

【解析】【答案】由题意可得公差d=2，且4a1+×d=-20，解得a1的值，再由a2=a1+d，运算求得a2的值．

12、略

【分析】【解析】试题分析：曲线表示以原点为圆心，半径为2的圆在x轴以上的部分，结合图形可知当直线过点时，b最小为-2，当直线与曲线相切时，b最大，此时考点：数形结合法求参数范围【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】试题分析：当焦点在x轴上时，设抛物线方程为把点代入得m=当焦点在y轴上时，设抛物线方程为把点代入得n=所以抛物线的标准方程为或考点：本题考查抛物线的标准方程的四种形式。【解析】【答案】或14、略

【分析】【解析】

试题分析：从5个球中任选2个，共有种选法.2个球颜色不同，共有种选法.所以所求概率为

考点：古典概型及组合数的计算.【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】解：因为等差数列中,【解析】【答案】3816、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】17、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】418、略

【分析】解：对涂色区域编号；如图：

分别用2

色；就是1

一色；234

同色，涂色方法为：C52A22=20

涂3

色时；23

同色，24

同色，34

同色，涂色方法是3C53A33=180

涂4

色时涂色方法是A54=120

所以涂色方案有：20+180+120=320

故答案为：320

．

根据题意；由题意相邻两块的颜色不同，通过对涂色区域编号，分别选出2

种颜色；3

种颜色、4

种颜色涂色，求出各自的涂色方案种数，即可得到结果．

本题考查排列、组合的实际应用，关键是依据题意，对选用的颜色进行分类讨论．【解析】320

三、作图题(共5题，共10分)19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共16分)24、略

【分析】

根据题意，可知PD=CD=1，BC=以D为原点，以DA，DC，DP方向，分别作x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系：

则C（0，1，0），B（1，0），P（0，0，1）．

（1）=（0，1，0），=（1，-1），cos＜＞==

即PB与CD所成的角为60°；

（2）由=（0；1，-1）；

设=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量，则•=0，•=0得y=z，x=0令y=z=1得=（0；1，1）．

同理可求得平面PBD的一个法向量为=（1，-0），cos＜＞==

因为二面角C-PB-D为锐二面角，于是二面角C-PB-D为arccos

【解析】【答案】（1）以D为原点；以DA，DC，DP方向，分别作x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，分别求出PB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到PB与CD所成角的大小；

（2）分别求出平面PBC与平面PBD的法向量；代入向量夹角公式，即可得到二面角C-PB-D的大小．

（本小题满分12分）

25、略

【分析】

（1）把直线l的方程代入椭圆方程；由直线与椭圆相交于A；B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1，y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值；进而得到a的值．

本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、△＞0、向量相等、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．【解析】（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得．

并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2-6ky+3k2-k2a2=0①

∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2-4（3+k2）（3k2-k2a2）＞0；

∴．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由①，得②

∵而点C（-1，0）；

∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2）；

得y1=-2y2代入②，得③

∴△OAB的面积==≤=当且仅当k2=3，即时取等号．

把k的值代入③可得

将及这两组值分别代入①，均可解出a2=15．

∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．五、计算题(共3题，共9分)26、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．27、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。28、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共4题，共40分)29、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．30、（1）{#mathml#}255

{#/mathml#}；（2）{#mathml#}x245+y29=1

{#/mathml#}【分析】【解答】1、由题设条件知，点M的坐标为（），又Kom=从而=进而得a=c==2b,故e==

2、由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB的方程为+=1,点N的坐标为（-),设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），则线段NS的中点T的坐标为（)又点T在直线AB上，且KNSKAB=-1从而可解得b=3，所以a=故圆E的方程为

【分析】椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体，不管对其如何进行改编与设计，抓住基础知识，考基本技能是不变的话题，解析几何主要研究两类问题：一是根据已知条件确定曲线方程，二是利用曲线方程研究曲线的几何性质，曲线方程的确定可分为两类，可利用直接法，定义法，相关点法等求解31、【解答】（1）设等差数列{an}的公差为d；则。

∵