2025年中图版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年中图版高二数学上册月考试卷184考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知向量若与共线，则等于（）A．B．C．D．2、【题文】用秦九韶算法计算多项式在时的值时，需做加法与乘法的次数和是（）A.12B.11C.10D.93、已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A.25πB.26πC.27πD.28π4、若直线2ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是()A.B.C.2D.45、设且则锐角α为（）A.B.C.D.6、设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-4=0上，则该抛物线的准线方程为（）A.x=-1B.x=-2C.x=-3D.x=-47、在二维条形图中，两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大．（）A.与B.与C.与D.与评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、【题文】已知为等差数列，为其前项和，若则___________.9、已知函数f（x）=2x3-3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为______．10、若α⊥β，α∩β=l，点P∈α，P∉l，则下列命题中正确的为______．（只填序号）

①过P垂直于l的平面垂直于β；

②过P垂直于l的直线垂直于β；

③过P垂直于α的直线平行于β；

④过P垂直于β的直线在α内．11、已知如图，PA、PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为______．12、已知两点M（-5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x-1；②y=-x；③y=x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是______．（填全部正确答案的序号）13、用反证法证明命题：“设实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设______．14、一个容量100

的样本，其数据的分组与各组的频数如表。组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数1213241516137则样本数据落在(10,40)

上的频率为_

______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共16分)22、【题文】已知且求证：23、判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假，并证明．评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)24、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．评卷人得分六、综合题(共2题，共14分)25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】【解析】

因为向量则说明【解析】【答案】C2、A【分析】【解析】本题考查秦九韶算法原理。

原多项式即：故需做加法与乘法的次数分别为6次，共12次，选A。

【点评】了解秦九韶算法原理即可。【解析】【答案】A3、D【分析】【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=EF=

设OO′=x；则。

∵O′B=2；O′F=1；

∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2；

∴R2=7；

∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π；

故选：D．

【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．4、D【分析】【分析】圆方程x²+y²+2x-4y+1=0配方得：(x+1)²+(y-2)²=4，可知圆心坐标为(-1,2)，半径r=2

又直线被圆截得的弦长为4；其值等于直径长；

所以可知直线过圆心(-1,2)

则可将圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0,即a+b=1

因为a>0,b>0，所以由均值定理可得：a+b≥2√(ab)（当且仅当a=b时取等号),即≤所以ab≤

则当a=b=时，ab有最大值为

又==

所以当a=b=1/2时，有最小值为4

选D.5、B【分析】解：∵

∴

sin2x=1

∵x是锐角。

∴x=

故选B．

利用向量共线的充要条件列出关于角x的方程；利用三角函数的二倍角公式化简求出值．

本题考查向量共线的坐标形式的充要条件、考查三角函数的二倍角公式及三角方程的解等基本知识，属于基础题．【解析】【答案】B6、B【分析】解：抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-4=0上；可得焦点坐标（2，0）；

所求的抛物线的准线方程为：x=-2．

故选：B．

求出直线与x轴的交点坐标；得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线的准线方程．

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．【解析】【答案】B7、A【分析】解：由题意，-=

∵ad-bc相差越大；两个分类变量有关系的可能性就越大；

∴-相差越大；两个分类变量有关系的可能性就越大；

故选：A．

由题意，-=根据ad-bc相差越大；两个分类变量有关系的可能性就越大，即可得出结论．

本题考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了等差数列的前n项和与通项公式的运用；是基础题。

因为为等差数列，因此可知故答案为

解决该试题的关键是设出公差，然后利用公式求解得首项和公差,运用公式得到结论【解析】【答案】9、略

【分析】解：∵f（x）=2x3-3x，∴f′（x）=6x2-3≥-3；

∴当x=0时；切线的斜率最小值且为-3；

当x=0时；f（0）=0，∴切点为（0，0）；

∴切线的方程为y-0=-3（x-0）；即y=-3x．

故答案为y=-3x．

先对f（x）=2x3-3x求导得y′=6x2-3；根据二次函数的单调性求出当x=0时其最小值为-3，据此求出切点，进而写出斜率最小时的切线方程．

本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，熟练求导及根据二次函数的单调性求最小值是解决问题的关键．【解析】y=-3x10、略

【分析】解：由α⊥β；α∩β=l，点P∈α，P∉l，知：

在①中；由面面垂直的判定定理得：过P垂直于l的平面垂直于β，故①正确；

在②中；过P垂直于l的直线有可能垂直于α，但不垂直于β，故②错误；

在③中；由线面平行的判定定理得过P垂直于α的直线平行于β，故③正确；

在④中；由面面垂直的性质定理得过P垂直于β的直线在α内，故④正确．

故答案为：①③④．

由面面垂直的判定定理得①正确；在②中；过P垂直于l的直线有可能垂直于α，但不垂直于β；由线面平行的判定定理得③正确；由面面垂直的性质定理得④正确．

本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．【解析】①③④11、略

【分析】解：PA；PB、PC互相垂直；以P为坐标原点，PA、PB、PC分别为x，y，z轴；

设PA=2，则平面PAC的法向量可以为=（2；0，0），E（1，0，1），C（0，2，0）；

=（1；-2，1）；

直线CE与平面PAC所成角的正弦值为：==．

故答案为：．

建立空间直角坐标系；求出平面PAC的法向量，向量CE，利用空间向量的数量积求解即可．

本题考查直线与平面所成角的求法．考查空间向量数量积的应用，是基础题．【解析】12、略

【分析】解：∵点M（-5；0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6；

∴点P的轨迹是以M；N为焦点；2a=6的双曲线。

可得b2=c2-a2=52-32=16，双曲线的方程为-=1．

∵双曲线的渐近线方程为y=±x

∴直线y=x与双曲线没有公共点，直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞与双曲线也没有公共点．

而直线①y=x-1、②y=-x都与双曲线-=1有交点。

因此，在①y=x-1、②y=-x上存在点P使|PM|-|PN|=6；满足“和谐直线”的条件．

只有①②正确．

故答案是：①②．

根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出双曲线的方程为-=1．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系；可得只有①②的直线上存在点P满足“和谐直线”的条件，由此可得答案．

本题给出“和谐直线”的定义，判断几条直线是否为“和谐直线”，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题．【解析】①②13、略

【分析】解：由于命题：“设实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”的否定为：“a，b；c都小于2．

故答案为：a，b；c都小于2．

由条件求出要证命题的否定；可得结论．

本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于基础题．【解析】a，b，c都小于214、略

【分析】解：由表格知，样本事件落在(10,20]

上的频率是13100=0.13

样本事件落在(20,30]

上的频率是24100=0.24

样本事件落在(30,40]

上的频率是15100=0.15

落在三个区间上是互斥的；

根据互斥事件的概率得到样本事件落在(10,40]

上的频率是0.13+0.24+0.15=0.52

故答案为：0.52

根据所给的表格；做出样本落在(20,30]

上的频率，样本事件落在(10,20]

上的频率，样本事件落在(30,40]

上的频率数据就落在三个区间上是互斥的，根据互斥事件的概率得到结果．

本题考查互斥事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，是一个基础题，本题还可以做出要求区间的总频数，用频数除以样本容量得到结果．【解析】0.52

三、作图题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共16分)22、略

【分析】【解析】

试题分析：由条件知可变为由待证等式左式变为代入可知原等式成立.

证明：2分。

5分。

6分。

8分。

12分。

考点：两角和的正切公式.【解析】【答案】证明过程见试题解析.23、略

【分析】

根据原命题与它的逆否命题真假性相同；判断原命题的真假即可．

本题考查了四种命题的应用问题，解题时应根据原命题与它的逆否命题的真假性相同进行解答，是基础题．【解析】解：该命题的逆否命题是真命题．

证明如下；

∵关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空；

∴△=（2a+1）2-4（a2+2）≥0；

解得a≥

∴a≥1；原命题正确；

∴它的逆否命题也正确的．五、计算题(共1题，共9分)24、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．六、综合题(共2题，共14分)25、略

【分