2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、设全集集合集合则()A．B．C．D．2、【题文】甲袋中装有个白球和个黑球，乙袋中装有个白球和个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为A.B.C.D.3、【题文】若则下列结论中正确的是（）

4、已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（）A.“a2+b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件B.“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件C.“a3+b3=c3”是“△ABC为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D.“+=”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件5、设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A.B.C.D.26、=1上有两个动点P、Q，E（3，0），EP⊥EQ，则的最小值为（）A.6B.C.9D.7、已知函数f（x）=x2+2x+1-2x，则y=f（x）的图象大致为（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为____

S=0

i=1

DO

输入xi

S=S+xi

i=i+1

LOOPWHILE____

a=S/20．

输出a．9、方程表示的曲线是____．10、已知函数存在则的最大值为。11、【题文】的值是____12、【题文】若是夹角为的单位向量,且则____13、已知直线x﹣2y﹣2k=0与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k的取值范围是____14、已知向量a鈫�=(1,2)b鈫�=(鈭�2,t)

若a鈫�//b鈫�

则实数t

的值是______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共8分)22、【题文】（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线在轴上的截距为交椭圆于A；B两个不同点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)23、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．24、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.25、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．28、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【解析】

因为全集集合集合则选D【解析】【答案】D2、A【分析】【解析】白球没有减少包括不变和增加，白球不变的概率是白球增加的概率是所以白球没有减少的概率是【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】由于的含义是于是若成立，则有成立；同理，若成立，则也成立，以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛盾，故排除再考虑取代入得显然排除故选【解析】【答案】A4、C【分析】【解答】解：若a2+b2＞c2，由余弦定理可知cosC=＞0，即角C为锐角，不能推出其他角均为锐角，故A为假命题；若a2+b2＜c2，由余弦定理可知cosC=＜0，则C为钝角，但若三角形为钝角三角形，钝角不一定是C，故“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件；故B为假命题．

若由余弦定理可知cosC==0，则C为直角，故“”是“△ABC为钝角三角形”的即不充分也不必要条件；故D为假命题；

a3+b3=c3”三角形即有锐角的可能；也有钝角的可能，故C为真命题．

故选C．

【分析】主要是利用余弦定理求得cosC与0的关系来判断三角形的形状．5、C【分析】【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1；

得x2±x+1=0；

由相切的条件可得，判别式﹣4=0；

即有b=2a，则c===a；

则有e==．

故选C．

【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．6、A【分析】解：设P（x，y），则即

∵EP⊥EQ；

∴==EP2；

而EP2=（x-3）2+y2=

∵-6≤x≤6

∴当x=4时，EP2=（x-3）2+y2=有最小值6；故选A．

根据EP⊥EQ，和向量的数量积的几何意义，得∴==EP2，设出点P的坐标，利用两点间距离公式求出EP2；根据点P在椭圆上，代入消去y，转化为二次函数求最值问题，即可解得结果．

此题是个中档题．考查了向量在几何中的应用，以及向量数量积的几何意义，和椭圆的有界性，二次函数求最值等基础知识，注意椭圆的有界性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．【解析】【答案】A7、A【分析】解：f(x)=x2+2x+1鈭�2x=(x+1)2鈭�2x

令g(x)=(x+1)2h(x)=2x

则f(x)=g(x)鈭�h(x)

在同一坐标系下作出两个函数的简图；

根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)

与h(x)

共有三个交点；横坐标从小到大依次令为x1x2x3

在(鈭�隆脼,x1)

区间上有g(x)>h(x)

即f(x)>0

在区间(x1,x2)

有g(x)<h(x)

即f(x)<0

在区间(x2,x3)

上有g(x)>h(x)

即f(x)>0

在区间(x3,+隆脼)

有有g(x)<h(x)

即f(x)<0

．

故选：A

．

由题设；可构造两个函数g(x)=(x+1)2h(x)=2x

作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f(x)

的图象的位置关系，从而得出正确选项．

本题考查函数图象特征与函数值正负的对应，确定出对应区间上函数值的符号是解答的关键．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

由于已知中程序的功能是求20个数的平均数。

且循环变量i的初值为1；步长为1

故进行循环的条件为i≤20；

而如图所示的程序是一个直到型循环结构；

满足条件时执行循环；故横线上应填充的语句是i≤20．

故答案为：i＜=20．

【解析】【答案】根据已知中程序的功能是“求20个数的平均数”；我们结合框图循环变量i的初值为1，步长为1，易确定继续进行循环的条件和退出条件的条件，再根据直到型循环结构的特点，易得到结论．

9、略

【分析】

∵方程中；x≥0；

对所给的方程两边平方得到x2+3y2=1；x≥0；

∴方程所表示的曲线是椭圆x2+3y2=1的右半部分；

故答案为：椭圆x2+3y2=1的右半部分．

【解析】【答案】根据所给的方程看出x的取值范围，对所给的方程两边平方得到x2+3y2=1；方程所表示的曲线是椭圆的一半，即位于y轴右边的部分，得到曲线是半个椭圆．

10、略

【分析】试题分析：由题意得由得：所以当时，当时，因此当时，取最大值为考点：利用导数求最值【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】解：因为【解析】【答案】112、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、[﹣1，0）∪（0，1]【分析】【解答】解：令x=0；得y=k；令y=0，得x=﹣2k．

∴三角形面积S=|xy|=k2．

又S≤1，即k2≤1；

∴﹣1≤k≤1．

又当k=0时；直线过原点构不成三角形，故应舍去；

故答案为：[﹣1；0）∪（0，1]

【分析】先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，再根据其面积不大于1，建立关于k的不等式求解，注意去掉k=0时的情况．14、略

【分析】解：a鈫�=(1,2)b鈫�=(鈭�2,t)

由a鈫�//b鈫�

得1隆脕t鈭�2隆脕(鈭�2)=0

解得：t=鈭�4

．

故答案为：鈭�4

．

直接利用向量共线的坐标表示列式求得t

值．

本题考查平面向量共线的坐标表示，关键是公式的记忆与应用，是基础题．【解析】鈭�4

三、作图题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共8分)22、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程为

,则∴椭圆方程

（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m,又

∴l的方程为：

由

∵直线l与椭圆交于A；B两个不同点；

∴m的取值范围是

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可。

设

可得

而

∴k1＋k2=0,故直线MA；MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

考点：本小题主要考查椭圆方程；直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质.

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生转化和化归思想的运用，统筹运算的能力．【解析】【答案】（1）（2）（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，证明k1＋k2=0即可.五、计算题(共3题，共30分)23、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．24、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）25、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共3题，共6分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6；f（1）＞0

∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0

∴a2﹣6a﹣3＜0

∴{#mathml#}3-23<a<3+23

{#/mathml#}

∴不等式的解集为{#mathml#}a|3-23<a<3+23

{#/mathml#}

（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3）