福建省宁德市福安高级中学高三数学理联考试卷含解析

福建省宁德市福安高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记集合,,将M中的元素按从大到小排列，则第2012个数是A.

B.

C.

D.参考答案：A2.对函数f（x），如果存在x0≠0使得f（x0）=﹣f（﹣x0），则称（x0，f（x0））与（﹣x0，f（﹣x0））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=ex﹣a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．[1，+∞）参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由方程f（x）=﹣f（﹣x）有非零解可得e2x﹣2aex+1=0有非零解，令ex=t，则关于t的方程t2﹣2at+1=0有不等于1的正数解，利用二次函数的性质列出不等式组解出a的范围．【解答】解：∵f（x）=ex﹣a存在奇对称点，∴f（x）=﹣f（﹣x）有非零解，即ex﹣a=a﹣e﹣x有非零解，∴e2x﹣2aex+1=0有非零解．设ex=t，则关于t的方程t2﹣2at+1=0在（0，1）∪（1，+∞）上有解；∴，解得a≥1．若t=1为方程t2﹣2at+1=0的解，则2﹣2a=0，即a=1，此时方程只有一解t=1，不符合题意；∴a≠1．综上，a＞1．故选B．3.给出下列三个命题：①命题：,使得，则：，使得②是“”的充要条件.③若为真命题，则为真命题.

其中正确命题的个数为(A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)

3参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2C

解析：若命题：,使得，则：，使得，故①正确；“”?，故是“”的充要条件②正确．若为真命题，则p，q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则为假命题，故③错误；故正确的命题个数为：2个，故选：C【思路点拨】写出原命题的否定形式，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③.4.设椭圆的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足=9，则||?||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15参考答案：D【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，?=9，即||?||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||?||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|?|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|?|PF2|﹣18=16，∴|PF1|?|PF2|=15，故选：D．5.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（

）A．9

B．7

C．-3

D．-7参考答案：B本题选择B选项.6.曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为（）A．8π B．8(3﹣)π C．16(﹣1)π D．16(2﹣)π参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y=x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【解答】解：设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y=x的交点为A（2x0，2x0），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当x02=2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选C．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题．7.设命题P：nN，>，则P为（A）nN,>

（B）nN,≤（C）nN,≤

（D）nN,=参考答案：C8.展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为A.

B.

C.

D.参考答案：9.设函数,定义,其中,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，，，因为,所以.两式相加可得:,.故选C.考点：1.数列求和；2.函数的性质.10.在中,内角A,B,C的对边分别是,若，,则（

）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知AB和AC是网的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为

． 参考答案：略12.已知的最大值为

。参考答案：答案:913.袋中装有大小、形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足：已知从袋中任取2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率.现从袋中任取2个球，设取到红球的个数为ξ，则ξ的期望=

．参考答案：14.若实数满足不等式组，则的最大值为

．参考答案：略15.某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若（1）班有50名学生，将每一学生编号从01到50止．请从随机数表的第3行第6列（下表为随机数表的前5行）开始，依次向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是．0347437386369647366146986371623326168045601114109597742467624281145720425332373227073607512451798973167662276656502671073290797853135538585988975414101256859926969668273105037293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030．参考答案：22，02，10，29，07【考点】系统抽样方法．【分析】从随机数表第3行第6列开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为22，02，10，29，07，故可得结论．【解答】解：从随机数表第3行第6列开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，符合条件依次为：22，02，10，29，07，故答案为22，02，10，29，07．16.函数的部分图像如图所示，则

．

参考答案：617.观察下面两个推理过程及结论：（1）若锐角A，B，C满足A+B+C=，以角A，B，C分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：(2)若锐角A，B，C满足A+B+C=，则，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式.则若锐角A，B，C满足A+B+C=，类比上面推理方法，可以得到一个等式是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、.已知向量，，且．（1）

求的值；（2）若，求△ABC的面积S．参考答案：19.（本小题满分12分）已知数列满足，，令.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式．参考答案：(Ⅰ)，，即，是等差数列．………6分(Ⅱ)，，…………

10分

，．…………

12分20.已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0），短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（1，0）的任一直线l交椭圆C于A，B两点（长轴端点除外），证明：存在一定点Q（x0，0），使为定值，并求出该定点坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得b=1，，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，将其代入椭圆，得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能证明存在一定点Q（x0，0），使为定值，并求出该定点坐标．解答： （本题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得b=1，又，即，∴，即，∴a2=4，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，将其代入椭圆，消去x化简得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴====，∵对过点P的任意直线，使为定值，∴只要，解得，此时=，定点．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，并考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．21.在直角坐标系xOy中，点，是曲线上的任意一点，动点C满足（1）求点C的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点C的轨迹方程交于A、B两点，在x轴上是否存在定点D（异于点P），使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；（2）存在点符合题意.【分析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.【详解】（1）设，，则，，.又，则即因为点N为曲线上的任意一点，所以，所以，整理得，故点C的轨迹方程为.（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，将代入，得.设，，则，.因