函数与方程（解析版）

第14讲函数与方程

考点1：判断函数零点所在的区间

考点2:判断函数零点的个数

函数与方程

根据函数零点的个数求参数

考点3:函数零点的应用9—

根据零点的范围求参数

I----------------------^1---

走进教材•自主回顾

1.函数零点

(I)定义：对于困数y=«x)(x£。)，我们把使"丫)=。的实数x叫做困数y=；(x)(x£/J)的

零点.

(2)三个等价关系

(3)存在性定理

什内㈤在区间［Q网上的图象是连续不断的一条曲线

多住凡(端点值满型⑷•热)

屈诏卜［存在XpE(aJ),使初■)=()

2.二次函数)，=加+以+或6>0)的图象与零点的关系

J>0J=0/VO

二次函数

尸加+71

bx+c寸

(心0)u

的图象

与X轴

(XI，0)，(X2,0)(汨，0)无交点

的交点

零点Xl.X2XI无

考点探究•题型突破//////////////////////////////

>考点1判断函数零点所在的区间

［名师点睛］

确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理法：首先看函数y=/(x)在区间口，加上的图像是否连续，再看

是否有人4)火加<0.若有，则函数了=次力在区间(a,b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

［典例］

1.(2022•天津红桥•一模)函数/(力=d+2工-6的零点所在的区间是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【解析】函数/(%)=e，+2%-6是R上的连续增函数，

・・•/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0,

可得〃D〃2)vO,

所以函数f(x)的零点所在的区间是(L2).

故选：C

2.(2022•全国•高三专题练习)设/VXZsinQx-DT,则在下列区间中函数/⑶不存在零点

的区间是()

A.［-1,0］B.［0,1］C.［L2］D.［2,3］

【答案】D

【解析】为连续函数，/(-I)=2sin(-3)+1>2sin(-1it)+1=0,/(0)=2sin(-l)<0,根据零点

O

存在性定理可知，［T.0］内存在零点：/(l)=2sinl-l>0./(2)=2sin3-2<0.

/(3)=2sin5-3<0,同理可知：区间［0』，区间［闾上都存在零点，区间［2,3］上没有零点

故选：D

［举一反三］

1.(2022•全国•高三专题练习)函数〃x)=2=3x的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,0)

【答案】B

【解析】函数〃x)=2*-3x是连续函数，

V/(0)=l-0>0,

/(1)=2-3<0,

A/(O)/(l)<O,

由零点判定定理可知函数的零点在(0,1).

故选：B.

2.(2022•江苏•高三专题练习)函数/*)=lnX-2的零点所在区间为()

e

A.B.(l,e)C.(e,/)».(/,/)

【答案】C

【解析】Q/(x)=lnx一一在(0,+8)上是增函数，

e

01333333

X/-=,n——=-1——<0,/(l)=lnl--=--<0,/(^)=Ine--=l--<0,

yeJeeeeeee

33

f(e2)=Ine2—=2—>0,.J(e)-f(e2)<0,

ee

根据零点存在性定理可知，函数/(x)=lnx-j的零点所在的大致区间是(e,3)

故选：C

3.(2022•浙江•高三专题练习)函数〃x)=e，+x的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】由题意，函数/(x)=e*+x在R上单调递增，

且〃-2)="2-2<0,/(-1)=^'-1<0,/(0)=e°4-0>0,

所以函数的零点所在的一个区间是

故选：B.

C.(T1)和(1,2)D.(一1,3)和(4收)

【答案】A

【解析】由表格可知:/(-3)>0,/(-1)<0,/(2)<0,/(4)>0,

所以f(-3)f(T)<0J(2”(4)<0,

结合零点存在性定理可知：二次函数加0=加+笈+c(xwR)的零点圻在区间为和

(2,4),所以方程狈2+加+°=0的两根所在的区间是(一3,-1)和(2,4),

故选：A.

>考点2判断函数零点的介数

［名师点睛］

判断函数零点个数的方法

(1)直接求零点：令危)=0,如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在［m句上是连续不断的曲线，且

火4)犬/?)<0,还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几

个不同的值，原函数就有几个不同的零点.

［典例］

(4^-1-1<r<1

1.(2022•全国•模拟预测)已知函数/(力=｛，/二'一丁，则函数g(x)=/(x)Tog24的

J1,

零点个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】当1W3时，U—241,则/(工一2)=4收一1；以此类福当3W5时，

“xU；…；

在平面直角坐标系中作出函数力与y=iog2”的部分图象如图所示.

由图可知，y=/(x)与y=log2x的图象有7个不同的交点

故选：D

2.(2022•湖南衡阳•二模)已知定义在R上的奇函数/(力恒有〃.Ll)=/(x+l),当xe［04)

时，/(x)=冷，已知此则函数g(x)=/(x)-履一:在(T，6)上的零点个

数为()

A.4个B.5个C.3个或4个D.4个或5个

【答案】D

【解析】因为/(KT)=〃X+1),所以的周期为2,

又因为/(%)为奇函数，/(%)=-/(—X)，

令4=1，得/⑴=—/(—1)，又〃-1)=/(1),所以/。)=/(-1)=0,

当X«T1)时，〃X)=1^=1—六，

7、

由y=岛单调递减得函数〃力在(T1)上单调递增，

所以/(-1)＜/(-0＜/(1),得—；＜〃x)＜；‘

作出函数图象如图所示，

当丁=丘+；经过点(3,0)时，k=J,此时有5个零点.

当一62＜攵＜一；1时，有4个零点.

当丁=履+；经过点(5,0)时，2=-5，此时有5个零点.

当-5＜女＜-七时，有4个零点.

当¥=h+：经过点(6,0)时，k=~,此时在(T6)上只有3个零点.

31o

当一%〈一白时，有4个零点.

151o

所以当左4-2，-±］时，函数g(x)=/(x)-履一(在(一1,6)上有4个或5个零点.

V13loy3

故选：D

3.(2021•北京•高考真题)已知函数/⑶=加耳-心-2,给出下列四个结论：

①若左=0,/*)恰有2个零点；

②存在负数左，使得/(外恰有个1零点；

③存在负数3使得了(幻恰有个3零点；

④存在正数A,使得恰有个3零点.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】对于①，当&=0时，由/•(力=但止2=0,可得％=士或x=100,①正确;

对于②，考查直线了=区+2与曲线)，=一他式0<4<1)相切于点尸化-电。，

e

"+2=-lgft=----

对函数y=-1g”求导得y'=—-二，由题意可得<1,解得，100

xlnlOk=---------,100.

rlnlOk=------Ige

e

inn

所以，存在A=-^lgevO,使得f(x)只有一个零点，②正确；

对于③,当直线>=依+2过点(1,0)时，女+2=0,解得％=-2,

所以，当-变植6<攵<一2时，直线y="+2与曲线y=-lgx(0<x<l)有两个交点，

e

若函数/(X)有三个零点，则直线丁=履+2与曲线y=-Igx(Ovxvl)有两个交点，

直线y=H+2与曲线y=lgx(x>l)有一个交点，所以，「一丁ge<一，此不等式无解,

2+2>0

因此，不存在k<0,使得函数有三个零点，③错误;

对于④，考查直线y=6+2与曲线y=lgx(x>l)相切于点P(l,lg。,

kt+2=\gtt-100e

由题意可得L1

对函数y=©求导得上布解得，女_惶6r

K=-------

HnlO~K)6^

所以，当。<%<黑时，函数〃力有三个零点，④正确.

［举一反三］

I.(2022•海南•模拟预测)函数y=e*+f+2x-1的零点个数为()

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】解:函数)，=廿十人、24-1的零点个数即函数/Q)=F与8(人)=一1一2人+1的图象交

由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点

故选：C

2.(2022•重庆•模拟预测)若函数了⑴满足〃x)=/(x+2),且当xe［T,l］时，f(x)=x\

则函数y=f(x)与函数y=ig|H的图像的交点个数为().

A.18个B.16个C.14个D.10个

【答案】A

【解析】因〃x+2)=〃x),

于是得函数f(x)是以2为周期的周期函数，又当工£［-1,1］时，/(%)=/,则有函数y=f(x)

与函数y=lg|R都是偶函数，

在同一坐标系内作出函数y=fa)(xz-i)与函数y=igx的图像，如图，

观察图象得，函数y=/(x)(xNO)与函数y=igx的图像有9个交点，由偶函数的性质知，两

函数图象在x<0时有9个交点，

所以函数y=/")与函数y=ig|R的图像的交点个数为18.

故选：A

3.(2022•重庆酒南大学附中模拟预测)函数/⑶满足/*)+/(—)=2,f(I+X)-/(I-X)=0,

当xe[0,l]时，〃x)=x+l,则关于x的方程/(力=去£在xe[0,2022]上的解的个数是()

A.1010B.1011C.1012D.1013

【答案】B

【解析】解：因为函数/⑴满足〃防+/(一#=2,所以函数/(x)关于点(0,1)对称，

因为/(1+X)-/(1-幻=0,即f(l+x)=/(l-x),所以函数/(x)关于直线x=l对称，

因为当xw[0,l]时，/U)=x+1,

由图可知，函数/(X)为周期函数，周期为7=4,

由于函数xe[2,6]•个周期内，y=/(力与丁=女白有2个交点,

在xe[0,2]上，y=/(力与尸与，有1个交点，

所以根据函数周期性可知，当xc[0,2022]时，y=〃力与、=册■有2x等+1=1011个

交点.

所以关于X的方程/*）=、£在xw［0,2022］上的解的个数是1011个.

故选：B

》考点3函数零点的应用

［名师点睛］

1.已知函数的零点求参数，主要方法有：（1）直接求方程的根，构建方程（或不等式）求

参数；（2）数形结合；（3）分离参数，转化为求函数的最值.

2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的

交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围.

［典例］

|log2x|,0<x<4,

1.（2022•天津滨海新•高三阶段练习）已知函数,.（7U彳，一八若函数

2siii-x-----,4、人、10.

U6）

y=f（x）-a（awR）恰有4个零点，分别为巧，々，与，乙，且%，则为+占+/+Z

的取值范围是（）

A.（1吟）B.（1吟）C.（臼D.（1吟）

【答案】D

【解析】f（x）-a=o的零点即为函数y=/。）的图象与直线y="的交点的横坐标，作出

y=f（©的图象和直线y=〃，如图，

2£=

V-0,区间610］正好是y=2sin（gx-r）的一个周期，％=4和x=10时取得最大值，因

此x=7是它在［4,10］上的对称轴，当+5=14,

由.In%=111%2得%七=1,l<x»<4,

所以西+/+马+七='+々+14,它在超6（1，4）时是增函数，

1173

-+1+14=16,-+4+14=—,

144

73

所以K+工2+X3+兀》的取值范围是（16,二~）.

4

故选：D.

2.(2022.全国.高三专题练习)己知函数小)匕*°,g(x)"-2x+2…，若

关于x的方程/(8(力)=九(丸€1<)恰有6个不同实数根，则实数之的取值范围为()

【答案】A

【解析】设g(x)=r,可得H，

因为g(x)=，最多有两个实根，若/(g(x))=/恰有6个不同实数根,

则/⑺=4恰有三个实根，

由卜+1|=丸或Igf=4可得：f]=%T或右=一丸一।或，3=1°"，且

由g(x)=4即炉—2,x+22—2=2—1，x2—2x+A,—1=0，

由A=4-4x(2-l)>0nT^2<2.

由g(x)=，2即f-2x+2/1—2=-1，x2-2x+3A-I=0.

由=4_4x（3/l_l）>0可得2v：,

由g（R）=G即/-2x+2%-2=。，x2-2X+2A-2-10A=0，

由A=4-4（2/1-2-1（/）=12-82+4104=4（3—24+10，）>0恒成立，

综上所述：0<2<|,实数2的取值范围为（0,：）

故选：A.

3.（2022•重庆•模拟预测）已知二次函数y=Y—4%+。的两个零点都在区间（l,+oo）内，则“

的取值范围是（）

A.（—,4）B.（3,+co）C.（3,4）D.（—3）

【答案】C

【解析】二次函数y=d-4x+a,对称轴为x=2,开口向上，

在（70,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，

要使二次函数/*）=/-41+〃的两个零点都在区间（l,*o）内，

需［；、（QZ解得3<”4

"（2）=4-8+a<0

故实数。的取值范围是（3,4）

故选：C

［举一反三1

1.（2022•全国•高三专题练习）函数/（外=2'-：-〃的一个零点在区间（1,3）内，则实数。的

取值范围是（）

A.（7,+oo）B.（-oo,-l）C.J（7,+oo）D.（-1,7）

【答案】D

3

【解析】・・・y=2x和y=-2在（0,+oo）上是增函数,

x

3

AfM=2x---a&（0,+o。）上是增函数，

x

・•・只需/（1）/（3）<0即可,gp（-l-a）（7-a）<0,解得-lvav7.

故选：D.

2.（2022•福建龙岩•模拟预测）函数八力=/-〃a+9的两个不同的零点均大于1的一个充分

不必要条件是（）

A.771G（2,6）B./ne（6,8）C./we（6,10）D.zne（6,+oo）

【答案】B

【解析】解：因为函数/（力=/7秘+9的两个不同的零点均大于1，

70）>o

-/n

所以---—>1,解得6<相<10.

△>0

所以选项A是函数=f-/侬+9的两个不同的零点均大于1的既不充分也不必要条件;

选项B是函数/（力=/-〃氏+9的两个不同的零点均大于1的充分不必要条件；

选项C是函数/（力=/-〃眯+9的两个不同的零点均大于1的充要条件：选项D是函数

/（力=/一加+9的两个不同的零点均大于1的必要不充分条件.

故选：B.

|』-x2（川+2x）,相x>0。,关、，于、的」方程.

3.（2022•浙江•高三专题练习）已知函数

尸（同一24（力+〃-1=0（”我）有四个相异的实数根，则。的取值范围是（）

A.（田,0）B.[1,+8）

C.（-<»,0）u[2,+oo）D.（9,0）51,+00）

【答案】D

-x2+2x,x>0/,一，

【解析】解：函数/*）=7心+1).<。的图象如图:

方程『2"）-切'（力+。-1=0（々£/?）有四个相异的实数根，

f（“必须有两个解,①一个一个f（x）w（o,1）,

或者②f（x）w（0，1），另一个/（。,0,

令r=/（x）,则可令g（7）=f2-2R+a一l（aeR）,

A>0a2-a4-1>0

故①，g(0)>0,即・。-1>0，解得

g(D<0-a<0

A>0{a2-a+l>0

故②(g(0)K0,即(a-140，解得a«Yo,0),

g⑴>0-a>0

综上，ae(Yo,0)U(l,+°°)

故选：D

4.(多选)(2022•湖南岳阳•二模)已知函数〃力=，:°(AeR),

-x2+6x-8,x>2

g(x)=f(x)-m,则下列说法正确的是()

A.当；1=0时，函数/1)有3个零点

B.当2=2时，若函数g(x)有三个零点百,工2，七，则西+工2+工3£(6,6+巾2)

C.若函数恰有2个零点，则加⑵4)

D.若存在实数加使得函数双力有3个零点，则2C(YO,3)

【答案】ABD

,fer-l,x<0

【解析】A：义=0时f(x)={2，令/。)=°，由/一1=0可得工=0，由

[—r+6x—8,x>0

-犬+6x-8=0可得x=2或x=4,满足题设，正确；

B：4=2时f(x)=FO.，若g(x)有三个零点，即了⑴与y=m有三个交点，如

-.V+6.v-8,,v>2

下图示:

••・0＜加＜1,当〃?趋向于0时恒有％]+“2+七＞6,当机趋向于1时恒有芭+超+吃＜6+卜2,

故B正确；

C：同B项中分析的图象，在垂直于x轴的虚线x=2移动过程中，当4=(-8,0)=[2,4)时/(%)

恰有2个零点，错误；

D：同C项分析，要使g(x)有3个零点，必有义W(YO,3),正确；

故选：ABD.

5.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(同=[恤+：,°八，若方程〃力=。有三

[-X+l,x＜0

个不同的实数根4、X?、色，且』＜“2＜七，则()

A.0＜t7＜lB.-l＜x,＜0

"2出-

C.9马=6D.叼勺七的取值范围是一——,0

【答案】ABD

【解析】作出函数丁=。与函数y=/(x)的图象如下图所示:

对于A选项，由图可知，当当0<。41时，方程/（耳=。有三个不同的实数根，A正确：

对于B选项，由图可知，^<0,/U）=-Af+le（0,l],解得一iv^vl,此时Tv^KO,

B正确；

对于C选项，当Ovxvl时，/（A）=|lnx|=-lnx；当x>l时，/（x）=|lnx|=lnx.

由图可知，0<工2<1<%3，由/（七）=/（王）可得一'七=lnw,即皿七+加%=。,

所以，占玉=1,C错误;

对于D选项，因为天工3=1，所以"/2巧=g=(-x：+l)K，且TvXjKO,

id/i(x)=(-x2+l)x,-l<x«O,则”(x)=-3f+l,

令"(x)=-3f+l=0,得一立(工=,舍去),

所以当-lvx<-当时，//(x)<0,当一号<x«o时，h,(x)>0,

所以〃（力的极小值也是最小值，M6min=〃一

_2c_

/?（-1）=0,力（0）=0,所以叫毛项的取值范围是一十，°，D正确.

故选：ABD.

2x2+4x,x<0,

6.（多选）（2022•辽宁•鞍山一中模拟预测）已知函数/（力=<若关于x的方程

2-1,%NO,

4/2（力一4^/（力+2。+3=0有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（

cD

A二B.T-4-4

*2

【答案】BCD

【解析】令以4=m,记g(m)=4叫2-4M+2a+3的两个零点为q,〃h，则由/*)的图象可

知：方程4.r(力-4〃・/(力+为+3=0有5个不同的实根oy=町,y=g与/⑶的图象共有

5个交点=-2<mj4-1,且-Iv吗<。(不妨设，叫〈吗).

g(-2)=10a+19>0

^(-1)=6«+7<037

则解得一产力

g(0)=2a+3>0

△=/一2。一3〉0

故选：BCD

7.(2022•福建南平•三模)已知函数/(司=61+%1+幺—©-2有零点，则实数。=

【答案】2-ln3

【解析】由e">0可得ei+9ef=ek"+当NzJefYynG,当且仅当十°=二时取

eVee

等，

Xx2-4x-2=(x-2)2-6>-6,当且仅当x=2时取等，

O

a/(x)=ev-fl+9ea-v+X2-4x-2>6+(-6)=0,当且仅当6厂“=去，x=2时取等.

e

9

要使函数有零点，则？1=丁且x=2,化简得e2T=3,解得a=2-ln3.

e

故答案为：2-ln3.

x<0,

8.(2022•浙江金华•三模)设〃£1i.函数/(4)=•…。，若小⑼肛

则。=，若/（X）只有一个零点，则a的取值范围是.

【答案】-2或1a>\

【解析】由题意得/（0）=2e0-l=l

所以/（/（0））=〃1）=/+。-2=0