2024-2025学年内蒙古赤峰市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古赤峰市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x∈N|2−x>0}，则A∩B=A.{3,4} B.{0,1} C.{−1,0,1} D.{2,3,4}2.一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是(

)A.1 B.2 C.3 D.63.平行直线l1：2x+y−5=0与l2：x−by+5=0之间的距离为(

)A.5 B.25 C.34.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为(

)A.6里 B.5里 C.4里 D.3里5.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点A.12a+12b−126.已知圆C1：(x+3)2+y2=81和C2：(x−3)2A.x216+y27=1 B.7.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若AF=2FB，若直线l的斜率为k，则k=A.22 B.−22 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则(

)A.P(B)=12 B.B与C互斥 C.A与B相互独立 D.A与9.已知曲线C：x22−m+A.当m<2时，曲线C是椭圆

B.当m=3时，曲线C是以直线y=±3x为渐近线的双曲线

C.存在实数m，使得C过点(1,1)

D.当m∈(2,6)时，直线y=x10.已知圆C：x2+(y−1)2=5，直线l：x−2y−8=0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别切圆C于点A，A.四边形PACB的面积最小值为53

B.M为圆C上一动点，则MP最小值为25

C.|PA|最短时，弦AB直线方程为2x−4y−1=0

D.|PA|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知复数z=1+i1−i，则z−z−12.已知空间向量a=(2,−2,1)，b=(3,0,4)，向量a在向量b上的投影向量坐标为______．13.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，依次构成的数列的第n项，则1a1+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A；

(2)若a=13，且△ABC的面积为15.(本小题15分)

在等差数列{an}中，a4=7，a3+2a8=35，数列{bn}的前n项和为Sn，且3bn−2Sn=116.(本小题15分)

某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)中的市民有200人．

心理测评评价标准调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]心理等级EDBBA(1)求n的值及频率分布直方图中t的值；

(2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)

(3)在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50,60)的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B17.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P−DM−B的余弦值；

(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是18.(本小题17分)

“曲线M”：由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆x2c2+y2b2=1(x≤0)组成，其中a2=b2+c2，a>b>c>0.如图，设点F，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“曲线M”与x，y轴的交点，N为线段A1A2的中点．

(1)若等边△FF1F2的重心坐标为(3参考答案1.B

2.B

3.C

4.A

5.B

6.C

7.C

8.ACD

9.ABC

10.ACD

11.2i

12.(613.20010114.解：(1)∵acosC+3asinC−b−c=0，

∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，即sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC=0，

∵0<C<π，∴sinC≠0，

∴3sinA−cosA=1，

∴sin(A−π6)=12，

又A∈(0,π)，则A−π6∈(−π6,5π6)，

∴A−π615.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

则由a4=7，a3+2a8=35可得：a1+3d=7，a1+2d+2(a1+7d)=35，

解得a1=1，d=2，

所以an=a1+(n−1)d=1+(n−1)×2=2n−1；

又因为3bn−2Sn=1，

所以令n=1得：3b1−2S1=1，即b1=1，

而当n≥2时，3bn−1−2Sn−1=1，16.解：(1)易知调查评分在[70,80)中的市民有200人，

而评分在[70,80)中的频率为10×0.020=0.2，

所以n=2000.2=1000，

而10(t+0.004+7t+0.020+0.035+0.025)=1，

解得t=0.002；

(2)市民心理健康调查评分的平均值x−=10(45×0.002+55×0.004+65×0.014+75×0.020+85×0.035+95×0.025)=80.7，

则市民心理健康指数平均值为80.7100=0.807>0.75，

所以只需发放心理指导资料，不需要举办心理健康大讲堂；

(3)因为评分在[40,50)中的人数是评分在[50,60)中人数的一半，

若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，

此时评分在[40,50)内的有1人，在[50,60)内的有2人，

记“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”为事件A，

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以P(A)=14×17.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，

∴MN/​/CD，MN=12CD，

∵AB/​/CD，AB=12CD，

∴AB/​/MN，AB=MN，

∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD⊂平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M为棱PC的中点，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，令z=2，则y=−1，x=1，

∴n=(1,−1,2)，

平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n⋅DA|n||DA|=11×6=618.解：(1)因为等边△FF1F2的重