2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知a、b、c为正实数，且满足===k，则一次函数y=kx+（1-k）的图象一定经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限2、设则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为A.B.C.D.3、下列命题中错误的是（）

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象与y轴一定相交；④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数．

A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

4、定义两种运算：则函数的图象关于（）

A.x轴对称。

B.y轴对称。

C.原点对称。

D.直线x-y=0对称。

5、【题文】设直线L经过点(-1.1),则当点(2.-1)与直线L的距离最远时,直线L的方程是()A.3x-2y+5=0B.2x-3y-5=0C.x-2y-5=0D.2x-y+5=06、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A.120B.240C.360D.4807、已知平面向量=（1，-3），=（4，-2），若λ-与垂直，则实数λ=（）A.-1B.1C.-2D.28、x2+y2-4y-1=0的圆心和半径分别为（）A.（2，0），5B.（0，-2），C.（0，2），D.（2，2），59、下列函数是偶函数的是(

)

A.y=tan3x

B.y=cos2x+1

C.y=2sinx鈭�1

D.y=2x

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为____km．11、=____．12、函数的定义域为；13、已知数列的则=_____________14、【题文】“”是“”的____条件．15、已知α、β均为锐角，且tanβ=则tan（α+β）=____16、对a，b∈R，记max{a，b}=则函数f（x）=max{|x+1|，x+2}（x∈R）的最小值是____．17、求值：=____________．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．20、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、计算题(共1题，共7分)23、如图，∠1=∠B，AD•AC=5AE，DE=2，那么BC•AD=____．评卷人得分五、综合题(共4题，共16分)24、已知抛物线Y=x2-（m2+4）x-2m2-12

（1）证明：不论m取什么实数；抛物线必与x有两个交点。

（2）m为何值时；x轴截抛物线的弦长L为12？

（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？25、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．26、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．27、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【分析】此题要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，然后求出k，就知道函数图象经过的象限．【解析】【解答】解：分两种情况讨论：

当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得：k==2；此时直线是y=2x-1，过第一；三、四象限；

当a+b+c=0时，即a+b=-c；

∵a、b；c为正实数；

∴此种情况不存在．

故选C．2、A【分析】试题分析：当时，函数的定义域为不符合题意；当时，函数的定义域为R且为奇函数符合题意；当时，函数的定义域为不符合题意；当时，函数的定义域为R且为奇函数；所以答案选A.考点：函数的性质【解析】【答案】A3、D【分析】

①根据奇函数的定义可知；奇函数的图象关于原点对称，则图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；故正确。

②奇函数的定义域内有0时，则图象一定过原点，但是定义域内若没有0，则函数就不过原点，例如函数y=故错误。

③偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如y=为偶函数；其图象与y轴一定不交；故错误。

④由偶函数的定义可知；偶函数的图象关于y轴对称，则图象关于y轴对称的函数一定为偶函数，故正确。

故错误的命题有②③

故选D

【解析】【答案】①根据奇函数的定义可知，图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；②奇函数的定义域内有0时，则图象一定过原点；③例如y=为偶函数；其图象与y轴一定相不交；

④由偶函数的定义可知；图象关于y轴对称的函数一定为偶函数。

4、C【分析】

∵

∴函数===（-2＜x＜2；且x≠0）

又∵f（-x）==-f（x）

故函数为奇函数。

即函数的图象关于原点对称。

故选C

【解析】【答案】由已知中可求出函数=（-2＜x＜2；且x≠0），化简后，易判断出函数为奇函数，进而根据奇函数的对称性得到答案．

5、A【分析】【解析】本题考查直线方程的求法。

由题意，当点(2.-1)与直线L的距离最远时,设直线L应出之于过点(-1.1)与点(2.-1)的连线，故直线L的斜率为的负倒数由直线方程的点斜式可得直线L的方程为3x-2y+5="0"，选A。

【点评】读懂题意是关键。【解析】【答案】A6、A【分析】解：由题意可得：S==120（平方步）；

故选：A．

利用扇形面积计算公式即可得出．

本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【答案】A7、B【分析】解：∵=λ（1，-3）-（4，-2）=（λ-4，-3λ+2），与垂直；

∴=λ-4-3（-3λ+2）=0；解得λ=1．

故选B．

利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．

熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．【解析】【答案】B8、B【分析】解：x2+y2-4y-1=0的标准方程为：x2+（y-2）2=5．圆的圆心坐标（0，2），半径为：．

故选：B．

圆的一般方程转化为标准方程；求出圆的圆心与半径．

本题考查圆的一般方程与圆的标准方程的互化，基本知识的考查．【解析】【答案】B9、B【分析】解：隆脽tan(鈭�3x)=鈭�tan3x隆脿y=tan3x

是奇函数；

隆脽cos(鈭�2x)+1=cos2x+1隆脿y=cos2x+1

是偶函数；

隆脽2sin(鈭�x)鈭�1=鈭�2sinx鈭�1隆脿y=2sinx鈭�1

为非奇非偶函数；

隆脽2鈭�x=12x隆脿y=2x

为非奇非偶函数．

故选B．

利用函数奇偶性的定义逐个判断．

本题考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

如图；依题意有。

AB=15×4=60；

∠MAB=30°；∠AMB=45°；

在△AMB中；

由正弦定理得=

解得BM=30（km）；

故答案为30．

【解析】【答案】先根据船的速度和时间求得AB的长；进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM．

11、略

【分析】

=

=

=．

故答案为：．

【解析】【答案】直接利用诱导公式化简求值即可．

12、略

【分析】因为函数的定义域即为解得x的取值范围是故答案为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

【解析】【答案】10014、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，则条件表示得到集合利用小集合大集合成立的充分不必要条件，可知结论，故填写充分不必要。

考点：本试题考查了充分条件的判定运用。

点评：解决该试题的关键是理解充分条件的概念，能结合条件和结论之间是否可以推出来判定结论，属于基础题。【解析】【答案】充分不必要15、1【分析】【解答】∵tanβ=

∴tanβ==tan（﹣α）．

又∵α、β均为锐角，∴β=﹣α，即α+β=

∴tan（α+β）=tan=1．

故答案为：1．

【分析】由条件化简可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均为锐角，可得β=﹣α，即α+β=故可求tan（α+β）的值，16、【分析】【解答】解：当|x+1|≥x+2；即x+1≥x+2或x+1≤﹣x﹣2；

解得x≤﹣时；f（x）=|x+1|，递减；

则f（x）的最小值为f（﹣）=|﹣+1|=

当|x+1|＜x+2，可得x＞﹣时；f（x）=x+2，递增；

即有f（x）＞

综上可得f（x）的最小值为．

故答案为：．

【分析】讨论当|x+1|≥x+2，|x+1|＜x+2时，求出f（x）的解析式，由单调性可得最小值．17、略

【分析】解：因为=tan(4π-)=-tan=-．

故答案为：-．【解析】-三、证明题(共5题，共10分)18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．20、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、计算题(共1题，共7分)23、略

【分析】【分析】根据∠1=∠B，∠A=∠A判断出△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质，列出比例式：，则，可求得AD•AC=AE•AB，有根据AD•AC=5AE，求出AB=5，再根据△AED∽△ACB，列出比例式=，可求出AD•BC=AB•ED=5×2=10．【解析】【解答】解：∵∠1=∠B；∠A=∠A；

∴△AED∽△ACB；

∴；

即AD•AC=AE•AB；

又∵AD•AC=5AE；

可得AB=5；

又知=；

可得AD•BC=AB•ED=5×2=10．

故答案为10．五、综合题(共4题，共16分)24、略

【分析】【分析】（1）因为△=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12），配方后得到△=（m2+8）2，而m2+8＞0；得到△＞0，即可得到结论；

（2）令y=0，则x2-（m2+4）x-2m2-12，解方程得到x1=m2+6，x2=-2，于是L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8，令L=12得到m2+8=12；解方程即可得到m的值；

（3）由L=m2+8，根据二次函数的最值问题即可得到m=0时，L有最小值，最大值为8．【解析】【解答】解：（1）证明：△=b2-4ac=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12）

=（m2+8）2；

∵m2≥0；

∴m2+8＞0；

∴△＞0；

∴不论m取什么实数；抛物线必与x有两个交点；

（2）令y=0，x2-（m2+4）x-2m2-12；

∴x=；

∴x1=m2+6，x2=-2；

∴L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8；

∴m2+8=12；解得m=±2；

∴m为2或-2时；x轴截抛物线的弦长L为12；

（3）L=m2+8；

∴m=0时，L有最小值，最小值为8．25、略

【分析】【分析】令x=0，得y=，令y=0，得x=，则Sk=•=（-），根据三角形面积公式求和．【解析】【解答】解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（；0），则

则Sk=•=（-）；

S1+S2++S2009

=（1-+-++-）

=（1-）

=．

故答案为：．26、略

【分析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，进而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等边三角形

证明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜边上的中线