2024-2025学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量8.5空间向量及其应用理

考点8.5空间向量及其应用考点梳理考点梳理1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合的向量a∥b共面对量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面对量定理共面对量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b相互垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角余弦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有多数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．明显一个平面的法向量有多数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0概念方法微思索1．共线向量与共面对量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面对量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．真题演练真题演练1．（2024•新课标Ⅱ）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A． B． C． D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，，，设异面直线与所成角为，则，，．异面直线与所成角的正切值为．故选．2．（2024•新课标Ⅱ）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，，，，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为．故选．3．（2024•全国）长方体，，，、、为、、的中点，为上一点，则，求异面直线与所成角的余弦值__________．【答案】【解析】长方体，，，、、为、、的中点，为上一点，则，以为原点，为国，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，2，，，0，，，2，，，0，，，，，，，，设异面直线与所成角为，则．故答案为：．4．（2024•江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，0，，，1，，，，，，0，，，1，．（1）点为的中点．，，．．异面直线与所成角的余弦值为：；（2）为的中点．，，设平面的一个法向量为，，，由，可取，，，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为．强化训练强化训练1．（2024•东湖区校级三模）如图，在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，，若过点，，的平面分别交棱、于点，，则线段的长度为A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，延长、，相交于，点是棱的中点，，且正方体的棱长为4，，，，则．在平面中过作，交于，则．可得，，即．．故选．2．（2024•沙坪坝区校级模拟）直角中，，为边上一点，沿将折起，使点在平面内的正投影恰好在上，若，则二面角的余弦值是A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，在直角中，由，得．设，则，由，，，可得．在中，由，，，得．在中，有，即，解得．即，．则．．设二面角的平面角为，则．故选．3．（2024•浙江模拟）如图，在平行四边形中，沿将折成，记异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角为，当时，则A． B． C． D．【答案】B【解析】由选项可知，当为平行四边形，且时，角，，的大小唯一确定．则不妨取平行四边形为边长是2的菱形，，．，异面直线与所成的角即为的补角为；设，则，，即为二面角的平面角，由，，，可得平面，在平面内，过作，则平面，连接，可得为直线与平面所成的角为，在与中，由，，可得，则；在中，由，，可得，在中，由，，可得，则，可得．结合选项可知，．故选．4．（2024•内江三模）如图，在直棱柱中，，，，，．（1）证明：面面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：由直棱柱可知，平面，平面，，又，且，平面，又平面面，面面；（2）易知，，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，4，，，4，，，，，解得舍去），，设是平面的一个法向量，则，即，令，可得，同理可得平面的一个法向量为，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．5．（2024•德阳模拟）如图，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）证明：连接、，由题知，平面且四棱柱的侧棱与底面垂直，，即、、、四点共面．四棱锥和四棱柱的高相等，在四边形中，与的交点为的中点，也是的中点，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：由题意知，、、三直线两两垂直，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，，0，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，．同理可得，平面的法向量，，．，．故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．6．（2024•江西模拟）已知如图，菱形的边长为2，对角线，现将菱形沿对角线翻折，使翻折至点．（1）求证：；（2）若，且点为线段的中点，求与平面夹角的正弦值．【解析】（1）如图所示，取的中点为，连结，，，，，，又，平面，平面，．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，在等腰△中，，同理，，，0，，，1，，，，，，0，，，，，，1，，，，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，取，得，，，．设与平面夹角为，则．与平面夹角的正弦值为．7．（2024•柯桥区二模）如图，在四棱锥中，，，．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）取的中点，连接、，，，又，，，、平面，平面，平面，；解：（2），，，而，由余弦定理可得：，即，解得，，则．取中点，连接，则，，可得平面，连接，在平面中，过作，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．在中，由，，，可得，在中，有．在中，有．．则，0，，，0，，，，，，，．，，，，0，，．设平面的一个法向量为，由，取，得．设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．8．（2024•香坊区校级一模）已知直三棱柱中，为正三角形，，为的中点．点在棱上，且．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）取中点，连接，设，以为坐标原点，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，，，，，直线平面．（Ⅱ），设平面的法向量为，，不妨取，则，．，平面的法向量为，设二面角的平面角为，．9．（2024•沙坪坝区校级模拟）如图，在正三棱柱中，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．【解析】（1）取中点，连接．由题设条件易知：与△全等，所以，，同理：△与全等，所以，，所以平面平面平面．（2）平面与平面所成角即为，，取中点，连接，则，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则：，设平面的法向量为，由得，易知为平面的法向量，设二面角的大小为，则，所以二面角的余弦值为．10．（2024•衡阳三模）如图，半圆弧所在平面与平面垂直，是上异于，的动点，，（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成的角为时，求二面角的正弦值．【解析】（1）证明：因为半圆弧所在平面与平面垂直，平面平面，由，所以平面，又平面，则有又为半圆弧所对的直径，所以，而，所以平面．（2）法1（空间向量法）：过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，即与平面所成的角，由已知条件得，，即为中点．由，，四边形为矩形，所以以为坐标原点，，，方向分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，2，，，2，，，0，，，0，，，0，由（1）知，平面，则平面的一个法向量设平面的法向量因为，由，得，取，则设二面角大小为，则所以，即二面角的正弦值为．法2（传统几何法）：二面角的大小即为二面角的大小与二面角大小的差，由（1）的证明可得，二面角的大小为，所以二面角的正弦值即为二面角的余弦值．由平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，则，取中点，连，由为半圆弧所对的直径，所以，，分别为，的中点，所以，则，又，所以平面则即为二面角的平面角，设，在中，，，所以，故二面角的正弦值为．11．（2024•滨州三模）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．（1）求证：平面；（2）设，已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【解析】（1）连接，，因为，是半圆弧的两个三等分点，所以，又，所以△，△，△均为等边三角形，所以，所以四边形是平行四边形．所以．因为，都是圆柱的母线，所以．又因为、平面，，、平面，，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）连接，因为是圆柱的母线，所以平面，所以为直线与平面所成的角，即．因为为圆的直径，所以，在中，，，所以，所以在中，．因为，，，、平面，所以平面，又平面，所以．在内，作于点，连接．因为，、平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角．在中，，在中，，所以，故二面角的余弦值为．12．（2024•南岗区校级模拟）图中组合体由一个棱长为2的正方体和一个四棱锥组成平面，，，三点共线，，是中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）点在棱上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）连接，连接交于，则．，，又，，四边形是平行四边形，得，故．平面，平面，平面；（Ⅱ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．则，0，，，2，，，0，，，，．，，．设平面的一个法向量为，由，取，得．设直线与平面所成角为．则．直线与平面所成角的正弦值为．13．（2024•龙潭区校级模拟）如图，在四棱锥中，，，为等边三角形，平面底面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【解析】（1）如图1，取中点，连接，，在中，，分别为，的中点，，，，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）取中点，中点，连接，，为正三角形，，在四边形中，，，，四边形为等腰梯形，，分别为，的中点，，平面底面，且平面底面，，底面，以点为原点，以向量，，的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图2，设，在等腰梯形中，，，，在等边三角形中，，，，，，1，，，，为中点，，，，．设平面的法向量为，则，即，取，得，设平面的法向量为，则，即，取，得，设二面角为，有，，二面角的正弦值为．14．（2024•东兴区校级模拟）如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求直线与平面所成角正弦值．【解析】（Ⅰ）过作，垂足为，连接，，，，在中，由余弦定理可得，，，，是