2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.1函数的零点与方程的解课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第四章4.54.5.1一、选择题1．下列函数的图象中没有零点的是(D)[解析]从图中视察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D．2．已知函数f(x)的图象是连绵不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有(D)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(D)A．方程f(x)＝0肯定有实数解B．方程f(x)＝0肯定无实数解C．方程f(x)＝0肯定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解[解析]∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上不肯定有实数解．4．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的零点的个数为(A)A．0 B．1C．2 D．3[解析]函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A．二、填空题5．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是__0，eq\f(1,2)__.[解析]∵f(x)＝x＋b的零点是2，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(1,2).6．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1x≤0,3x－4x＞0))的零点的个数为__2__.[解析]当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1x≤0,3x－4x＞0))有2个零点．三、解答题7．求下列函数的零点．(1)y＝－x2－x＋20；(2)y＝x3＋8；(3)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；(4)y＝eq\f(x2＋4x－12,x－2).[解析](1)令y＝0，有－x2－x＋20＝0，解得x1＝－5，x2＝4.故所求函数的零点为－5,4.(2)y＝x3＋8＝(x＋2)(x2－2x＋4)．令(x＋2)(x2－2x＋4)＝0，解得x＝－2.故所求函数的零点为－2.(3)令(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝－eq\r(2)，x2＝eq\r(2)，x3＝1，x4＝2.故所求函数的零点为－eq\r(2)，eq\r(2)，1,2.(4)由题意知y＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝eq\f(x＋6x－2,x－2).令eq\f(x＋6x－2,x－2)＝0，解得x＝－6.故所求函数的零点为－6.B组·素养提升一、选择题1．(2024·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x－2有零点的一个区间是(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析]f(1)＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋eq\f(3,2)－2＝ln3－eq\f(1,2)>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C．2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连绵不断的曲线，则下列说法正确的是(CD)A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定[解析]依据函数零点存在定理可推断，若f(a)·f(b)<0，则肯定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B错误，D正确；若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错误，C正确．故选CD．二、填空题3．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，则f(x)在R上的零点个数为__0__.[解析]由题知，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，令lg(x2＋3x＋2)＝0，即x2＋3x＋1＝0，解得x＝eq\f(－3±\r(5),2)(舍去)．因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数的零点个数为0.4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__(eq\f(1,2)，1)__.[解析]画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．由图可知eq\f(1,2)<k<1.三、解答题5．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．[解析]设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种状况．第一种状况，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs